고려대학교 2027학년도 자연계열 실전모의고사 제4회 해설집

[1단계] 매개변수 미분법을 이용한 접선 \(\ell_a\)의 방정식 및 절편 도출 (10점)

\(x'(t) = -6\cos^2 t \sin t\), \(y'(t) = 12\sin^2 t \cos t\)이므로 \(t = a\) (\(0 \lt a \lt \dfrac{\pi}{2}\))에서의 접선의 기울기는

\[ \frac{dy}{dx}\bigg|_{t=a} = \frac{12\sin^2 a \cos a}{-6\cos^2 a \sin a} = -2\tan a = -\frac{2\sin a}{\cos a} \]

따라서 점 \(P(2\cos^3 a, 4\sin^3 a)\)에서의 접선 \(\ell_a\)의 방정식은

\[ y - 4\sin^3 a = -\frac{2\sin a}{\cos a}(x - 2\cos^3 a) \implies 2\sin a \cdot x + \cos a \cdot y = 4\sin a \cos a(\cos^2 a + \sin^2 a) = 4\sin a \cos a \]

양변을 \(4\sin a \cos a\)로 나누면

\[ \frac{x}{2\cos a} + \frac{y}{4\sin a} = 1 \]

이므로 접선 \(\ell_a\)의 \(x\)절편은 \(X = 2\cos a\), \(y\)절편은 \(Y = 4\sin a\)이다.

[2단계] 삼각형의 넓이 \(S(a)\)의 최댓값 도출 (5점)

\(0 \lt a \lt \dfrac{\pi}{2}\)에서 \(X > 0, Y > 0\)이므로 넓이 \(S(a)\)는

\[ S(a) = \frac{1}{2} X Y = \frac{1}{2} (2\cos a)(4\sin a) = 4\sin a \cos a = 2\sin(2a) \]

\(0 < 2a < \pi\)이므로 \(\sin(2a)\)는 \(2a = \dfrac{\pi}{2}\), 즉 \(a = \dfrac{\pi}{4}\)일 때 최댓값 \(1\)을 갖는다. 따라서 \(S(a)\)의 최댓값은 \(2\)이다.

[3단계] 탄젠트 덧셈정리와 산술·기하 평균을 이용한 \(\tan\bigl(\theta(a)\bigr)\)의 최댓값 계산 (15점)

직선 \(\ell_a\)의 기울기는 \(m_1 = -2\tan a\)이고, 직선 \(L_a : y = -(\tan a)x\)의 기울기는 \(m_2 = -\tan a\)이다. \(u = \tan a > 0\)이라 하면 두 직선이 이루는 예각 \(\theta(a)\)에 대하여 삼각함수 탄젠트 덧셈정리에 의하여

\[ \tan\bigl(\theta(a)\bigr) = \left|\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}\right| = \frac{|-2u - (-u)|}{1 + (-2u)(-u)} = \frac{u}{1 + 2u^2} = \frac{1}{\dfrac{1}{u} + 2u} \]

\(u > 0\)이므로 산술·기하 평균 부등식에 의하여

\[ \frac{1}{u} + 2u \ge 2\sqrt{\frac{1}{u} \cdot 2u} = 2\sqrt{2} \implies \tan\bigl(\theta(a)\bigr) \le \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4} \]

등호는 \(\dfrac{1}{u} = 2u\), 즉 \(u^2 = \dfrac{1}{2}\)에서 \(u = \tan a = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)일 때 성립한다.

[1단계] 변곡점 조건 및 접선 개수 조건을 이용한 \(f(x)\)와 \(a, b\) 결정 (15점)

조건 (나)에서 최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수 \(f(x)\)의 변곡점이 \((1, 2)\)이므로 \(f''(1) = 0, f(1) = 2\)이다. 따라서 상수 \(p\)에 대하여

\[ f(x) = (x - 1)^3 + p(x - 1) + 2 \]

로 놓을 수 있다. 이때 \(f(0) = -1 - p + 2 = 1 - p\)이고, \(f'(x) = 3(x-1)^2 + p\)에서 \(f'(0) = 3 + p\)이다.

조건 (가)에서 \(g(x)\)가 \(x = 0\)에서 연속이고 미분가능하므로

\[ b = f(0) = 1 - p, \quad a = f'(0) = 3 + p \]

따라서 \(x < 0\)일 때 \(g(x) = ax + b\)는 곡선 \(y = f(x)\) (\(x \ge 0\))의 점 \((0, b)\)에서의 접선과 일치한다!

점 \((0, k)\)에서 곡선 \(y = f(x)\) (\(x > 0\))의 점 \((t, f(t))\) (\(t > 0\))에 그은 접선의 방정식은 \(y - f(t) = f'(t)(x - t)\)이고, 여기에 \((0, k)\)를 대입하면

\[ k = f(t) - t f'(t) = \bigl(t^3 - 3t^2 + (3+p)t + (1-p)\bigr) - t\bigl(3t^2 - 6t + 3 + p\bigr) = -2t^3 + 3t^2 + (1 - p) \]

\(h(t) = -2t^3 + 3t^2 + (1 - p)\) (\(t > 0\))라 하면 \(h'(t) = -6t^2 + 6t = -6t(t - 1)\)이므로 \(t > 0\)에서 \(h(t)\)는 \(t = 1\)에서 극댓값 \(h(1) = 1 + (1 - p) = 2 - p\)를 갖고, \(\lim_{t \to 0^+} h(t) = 1 - p = b\)이다.

점 \((0, k)\)에서 그을 수 있는 접선이 \(3\)개가 되려면 \(h(t) = k\)의 양의 실근이 \(2\)개이고 추가 접선이 존재해야 하므로 \(k\)의 범위는 \(h(0) \lt k \lt h(1)\) (또는 변곡점 접선 기준 범위)이다. 조건 (다)에서 하한이 \(k = 4\)이므로

\[ b = 1 - p = 4 \implies p = -3 \]

이때 \(a = 3 + p = 0\), \(b = 4\)이고, 삼차함수 \(f(x)\)는

\[ f(x) = (x - 1)^3 - 3(x - 1) + 2 = x^3 - 3x^2 + 4 \]

[2단계] 부정적분 \(F(x)\)의 결정 및 치환적분 계산 (15점)

\(F'(x) = f(x) = x^3 - 3x^2 + 4\)이고 \(F(0) = 0\)이므로

\[ F(x) = \int_{0}^{x} (t^3 - 3t^2 + 4)\,dt = \frac{1}{4}x^4 - x^3 + 4x \]

\(x = 2\)를 대입하면

\[ F(2) = \frac{1}{4}(16) - 8 + 8 = 4 \]

따라서 치환적분법(\(u = F(x), du = f(x)\,dx\))에 의하여 구하는 정적분은

\[ \int_{0}^{2} f(x) e^{F(x)}\,dx = \Bigl[e^{F(x)}\Bigr]_{0}^{2} = e^{F(2)} - e^{F(0)} = e^4 - e^0 = e^4 - 1 \]

[1단계] 가중중심 정점 \(G\)의 도입 및 단일 벡터 \(6\overrightarrow{GP}\)로의 변환 (8점)

원점 \(O\)에 대하여 각 점의 위치벡터를 분해하면

\[ \overrightarrow{A_1 P} + 3\overrightarrow{A_2 P} + 2\overrightarrow{A_3 P} = (\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OA_1}) + 3(\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OA_2}) + 2(\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OA_3}) \] \[ = 6\overrightarrow{OP} - \bigl(\overrightarrow{OA_1} + 3\overrightarrow{OA_2} + 2\overrightarrow{OA_3}\bigr) \]

여기서 정점 \(G\)의 위치벡터를

\[ \overrightarrow{OG} = \frac{\overrightarrow{OA_1} + 3\overrightarrow{OA_2} + 2\overrightarrow{OA_3}}{6} \]

라 정의하면, 세 정점 \(A_1(-2, 1)\), \(A_2(2, -1)\), \(A_3(4, 7)\)의 좌표로부터 점 \(G\)의 좌표는

\[ G = \left(\frac{-2 + 3(2) + 2(4)}{6},\, \frac{1 + 3(-1) + 2(7)}{6}\right) = \left(\frac{12}{6},\, \frac{12}{6}\right) = (2, 2) \]

따라서 주어진 벡터 합의 크기의 제곱은 다음과 같이 간단히 정리된다.

\[ \bigl|\overrightarrow{A_1 P} + 3\overrightarrow{A_2 P} + 2\overrightarrow{A_3 P}\bigr|^2 = \bigl|6(\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OG})\bigr|^2 = 36\,\overline{GP}^2 \]

[2단계] 정점 \(G\)와 원 \(C\)의 중심 사이의 거리 및 \(\overline{GP}\)의 범위 도출 (7점)

원 \(C : (x - 5)^2 + (y - 5)^2 = 4\)의 중심은 \(M(5, 5)\)이고 반지름의 길이는 \(r = 2\)이다.

정점 \(G(2, 2)\)와 원의 중심 \(M(5, 5)\) 사이의 거리 \(d\)는

\[ d = \overline{GM} = \sqrt{(5 - 2)^2 + (5 - 2)^2} = \sqrt{9 + 9} = 3\sqrt{2} \]

\(d = 3\sqrt{2} > 2 = r\)이므로 점 \(G\)는 원 \(C\)의 외부에 있다. 따라서 원 \(C\) 위의 점 \(P\)에 대하여 선분 \(GP\)의 길이의 범위는 삼각부등식에 의하여

\[ d - r \le \overline{GP} \le d + r \implies 3\sqrt{2} - 2 \le \overline{GP} \le 3\sqrt{2} + 2 \]

[3단계] 최솟값과 최댓값 계산 (5점)

• 최솟값: \(\overline{GP} = 3\sqrt{2} - 2\)일 때 \[ 36(3\sqrt{2} - 2)^2 = 36(18 - 12\sqrt{2} + 4) = 36(22 - 12\sqrt{2}) = 792 - 432\sqrt{2} \]
• 최댓값: \(\overline{GP} = 3\sqrt{2} + 2\)일 때 \[ 36(3\sqrt{2} + 2)^2 = 36(22 + 12\sqrt{2}) = 792 + 432\sqrt{2} \]

[1단계] 조합을 이용한 수열 \(\{a_n\}\)의 일반항 유도 (8점)

꺼낸 \(2\)개의 공이 서로 같은 색인 경우는 (모두 흰 공), (모두 검은 공), (모두 붉은 공)인 세 가지 배반사건으로 나뉜다.

• 흰 공 \(2\)개를 꺼내는 경우의 수 : \({}_{n}\mathrm{C}_{2} = \dfrac{n(n-1)}{2}\) (단, \(n=1\)일 때도 \(0\)으로 성립)
• 검은 공 \(2\)개를 꺼내는 경우의 수 : \({}_{n+2}\mathrm{C}_{2} = \dfrac{(n+2)(n+1)}{2}\)
• 붉은 공 \(2\)개를 꺼내는 경우의 수 : \({}_{n+4}\mathrm{C}_{2} = \dfrac{(n+4)(n+3)}{2}\)

합의 법칙에 의하여

\[ a_n = \frac{n(n-1) + (n+2)(n+1) + (n+4)(n+3)}{2} = \frac{(n^2 - n) + (n^2 + 3n + 2) + (n^2 + 7n + 12)}{2} \] \[ \therefore a_n = \frac{3n^2 + 9n + 14}{2} \]

[2단계] 일반항의 분모 인수분해 및 부분분수 분해 (6점)

급수의 일반항의 분모에 \(a_n\)을 대입하여 정리하면

\[ a_n + 6n + 11 = \frac{3n^2 + 9n + 14}{2} + \frac{12n + 22}{2} = \frac{3n^2 + 21n + 36}{2} = \frac{3(n^2 + 7n + 12)}{2} = \frac{3(n+3)(n+4)}{2} \]

따라서 급수의 일반항은 부분분수 공식에 의하여 다음과 같이 분해된다.

\[ \frac{1}{a_n + 6n + 11} = \frac{2}{3(n+3)(n+4)} = \frac{2}{3}\left(\frac{1}{n+3} - \frac{1}{n+4}\right) \]

[3단계] 부분합 \(S_N\) 계산 및 무한급수의 합 도출 (6점)

첫째항부터 제\(N\)항까지의 부분합 \(S_N\)을 구하면 연쇄 소거(망원급수)에 의하여

\[ S_N = \sum_{n=1}^{N} \frac{2}{3}\left(\frac{1}{n+3} - \frac{1}{n+4}\right) = \frac{2}{3}\left[\left(\frac{1}{4} - \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{6}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{N+3} - \frac{1}{N+4}\right)\right] \] \[ = \frac{2}{3}\left(\frac{1}{4} - \frac{1}{N+4}\right) \]

따라서 구하는 무한급수의 합은

\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_n + 6n + 11} = \lim_{N \to \infty} S_N = \lim_{N \to \infty} \frac{2}{3}\left(\frac{1}{4} - \frac{1}{N+4}\right) = \frac{2}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{6} \]