| 회차 | 출제 기준 및 대표 모집단위 매핑 | 문항 배점 구성 |
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| 제4회 | 2025학년도 자연계 오후 기출 완벽 변형 (매개변수 미분·변곡점 초월함수·원 위 벡터·망원급수) | 문항1(30점) / 문항2(30점) / 문항3(20점) / 문항4(20점) |
매개변수 \(t\) (\(0 \lt t \lt \dfrac{\pi}{2}\))로 나타내어진 곡선
\[ x(t) = 2\cos^3 t, \quad y(t) = 4\sin^3 t \]위의 점 \(P\bigl(2\cos^3 a,\, 4\sin^3 a\bigr)\) (\(0 \lt a \lt \dfrac{\pi}{2}\))에서의 접선을 \(\ell_a\)라 하자. 직선 \(\ell_a\)와 \(x\)축, \(y\)축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 \(S(a)\)라 하고, 직선 \(\ell_a\)가 직선 \(L_a : y = -(\tan a)x\)와 이루는 예각의 크기를 \(\theta(a)\)라 할 때, 다음 물음에 답하시오.
(1) 접선 \(\ell_a\)의 방정식을 구하고, 삼각형의 넓이 \(S(a)\)가 가질 수 있는 최댓값을 구하시오. [15점]
(2) \(\tan\bigl(\theta(a)\bigr)\)의 최댓값과 그때의 \(\tan a\)의 값을 각각 구하고, 그 과정을 논리적으로 서술하시오. [15점]
최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수 \(f(x)\)와 실수 전체의 집합에서 정의된 함수
\[ g(x) = \begin{cases} ax + b & (x < 0) \\ f(x) & (x \ge 0) \end{cases} \]가 다음 세 조건을 만족시킨다.
(가) 함수 \(g(x)\)는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.
(나) 곡선 \(y = f(x)\)의 변곡점의 좌표는 \((1, 2)\)이다.
(다) 점 \((0, k)\)에서 곡선 \(y = g(x)\)에 그을 수 있는 접선의 개수가 \(3\)이 되도록 하는 실수 \(k\)의 값의 범위는 \(4 \lt k \lt \dfrac{116}{27}\)이다.
함수 \(f(x)\)의 한 부정적분 \(F(x)\)가 \(F(0) = 0\)을 만족시킬 때, 상수 \(a, b\)의 값과 정적분 \(\int_{0}^{2} f(x) e^{F(x)}\,dx\)의 값을 각각 구하고, 그 과정을 논리적으로 서술하시오. [30점]
좌표평면 위에 세 정점 \(A_1(-2, 1)\), \(A_2(2, -1)\), \(A_3(4, 7)\)과 원 \(C : (x - 5)^2 + (y - 5)^2 = 4\)가 있다. 원 \(C\) 위를 움직이는 점 \(P\)에 대하여
\[ \bigl|\overrightarrow{A_1 P} + 3\overrightarrow{A_2 P} + 2\overrightarrow{A_3 P}\bigr|^2 \]의 최솟값과 최댓값을 각각 구하고, 그 과정을 논리적으로 서술하시오. [20점]
자연수 \(n\)에 대하여 주머니 속에 흰 공 \(n\)개, 검은 공 \((n+2)\)개, 붉은 공 \((n+4)\)개가 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 \(2\)개의 공을 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 \(2\)개의 공이 서로 같은 색일 경우의 수를 \(a_n\)이라 하자.
(1) 수열 \(\{a_n\}\)의 일반항을 \(n\)에 대한 다항식으로 나타내시오.
(2) 무한급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{a_n + 6n + 11}\)의 합을 구하고, 그 과정을 논리적으로 서술하시오. [20점]