고려대학교 2027학년도 자연계열 실전모의고사 제3회 해설집

[1단계] 정적분으로 정의된 함수의 미분과 \(f(x)\), \(g(x)\)의 결정 (12점)

함수 \(g(x)\)의 양변을 \(x\)에 대하여 미분하면

\[ g'(x) = \bigl(2 - f(x)\bigr) - 2f(x) = 2 - 3f(x) \]

조건 (가)에서 \(g(x)\)가 \(x = 0\)과 \(x = \dfrac{4}{3}\)에서 극값을 가지므로 \(g'(0) = 0\), \(g'\!\left(\dfrac{4}{3}\right) = 0\)이다. 최고차항의 계수가 양수 \(a\) (\(a > 0\))인 이차함수 \(f(x)\)에 대하여

\[ g'(x) = -3a x\left(x - \frac{4}{3}\right) = -3a x^2 + 4a x \implies f(x) = a x^2 - \frac{4}{3}a x + \frac{2}{3} \]

\(a > 0\)이므로 \(g(x)\)는 \(x = 0\)에서 극솟값 \(g(0)\), \(x = \dfrac{4}{3}\)에서 극댓값 \(g\!\left(\dfrac{4}{3}\right)\)을 갖는다. 이때

\[ g\!\left(\frac{4}{3}\right) - g(0) = \int_{0}^{4/3} g'(t)\,dt = \int_{0}^{4/3} (-3at^2 + 4at)\,dt = \left[-at^3 + 2at^2\right]_{0}^{4/3} = \frac{32}{27}a \]

또한 \(g(0) = 2\int_{0}^{1} f(t)\,dt = 2\left[\dfrac{a}{3}t^3 - \dfrac{2a}{3}t^2 + \dfrac{2}{3}t\right]_{0}^{1} = \dfrac{4}{3} - \dfrac{2}{3}a\)이다. 조건 (나)에서

\[ g(0) + g\!\left(\frac{4}{3}\right) = 2g(0) + \frac{32}{27}a = \frac{8}{3} - \frac{4}{3}a + \frac{32}{27}a = \frac{8}{3} - \frac{4}{27}a = 2 \] \[ \frac{4}{27}a = \frac{2}{3} \implies a = \frac{9}{2} \]

따라서 \(f(x) = \dfrac{9}{2}x^2 - 6x + \dfrac{2}{3}\)이고, \(g'(x) = -\dfrac{27}{2}x^2 + 18x\), \(g(0) = \dfrac{4}{3} - 3 = -\dfrac{5}{3}\)이므로

\[ g(x) = -\frac{9}{2}x^3 + 9x^2 - \frac{5}{3} \]

(조건 (다) 검산: \(f(0) = \dfrac{2}{3} > 0\), \(f(1) = -\dfrac{5}{6} < 0\), \(f\!\left(\dfrac{4}{3}\right) = \dfrac{2}{3} > 0\)이므로 사잇값 정리에 의하여 두 실근은 각각 \((0, 1)\)과 \(\left(1, \dfrac{4}{3}\right)\)에 존재하여 모두 열린구간 \(\left(0, \dfrac{4}{3}\right)\)에 속한다.)

[2단계] 정적분 \(\int_{0}^{1} x g(x)\,dx\)의 계산 (9점)

\(g(x) = -\dfrac{9}{2}x^3 + 9x^2 - \dfrac{5}{3}\)를 직접 대입하거나 부분적분법 \(\int_0^1 x g(x)\,dx = \left[\dfrac{1}{2}x^2 g(x)\right]_0^1 - \dfrac{1}{2}\int_0^1 x^2 g'(x)\,dx\)를 적용하면

\[ \int_{0}^{1} x g(x)\,dx = \int_{0}^{1} \left(-\frac{9}{2}x^4 + 9x^3 - \frac{5}{3}x\right)\,dx = \left[-\frac{9}{10}x^5 + \frac{9}{4}x^4 - \frac{5}{6}x^2\right]_{0}^{1} \] \[ = -\frac{9}{10} + \frac{9}{4} - \frac{5}{6} = \frac{-54 + 135 - 50}{60} = \frac{31}{60} \]

[3단계] 정적분과 급수의 관계 및 치환적분 계산 (9점)

\(x_k = \dfrac{k\pi}{2n}\), \(\Delta x = \dfrac{\pi}{2n}\)으로 놓으면 주어진 급수의 극한 \(L\)은

\[ L = 2 \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} g\!\left(\sin\frac{k\pi}{2n}\right)\cos\frac{k\pi}{2n} \cdot \frac{\pi}{2n} = 2 \int_{0}^{\pi/2} g(\sin\theta)\cos\theta\,d\theta \]

\(u = \sin\theta\)로 치환하면 \(du = \cos\theta\,d\theta\)이고 적분 구간은 \([0, 1]\)이 되므로

\[ L = 2 \int_{0}^{1} g(u)\,du = 2 \int_{0}^{1} \left(-\frac{9}{2}u^3 + 9u^2 - \frac{5}{3}\right)\,du = 2\left[-\frac{9}{8} + 3 - \frac{5}{3}\right] = 2 \cdot \frac{5}{24} = \frac{5}{12} \]

[1단계] 기함수 미분을 통한 우함수 성질 \(g(-x) = g(x)\) 증명 (10점)

조건 (가)에서 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x) + f(-x) = 0\)이므로 양변을 \(x\)에 대하여 미분하면 연쇄법칙에 의하여

\[ f'(x) - f'(-x) = 0 \implies f'(-x) = f'(x) \]

이를 다시 한 번 \(x\)에 대하여 미분하면

\[ -f''(-x) = f''(x) \implies f''(x) + f''(-x) = 0 \]

조건 (가)에서 \(g'(x) = f''(x)\)이므로 \(g'(x) + g'(-x) = 0\)이다. 이제 \(G(x) = g(x) - g(-x)\)라 정의하면

\[ G'(x) = g'(x) + g'(-x) = 0 \]

이므로 \(G(x)\)는 실수 전체에서 상수함수이다. \(x = 0\)을 대입하면 \(G(0) = g(0) - g(0) = 0\)이므로 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(G(x) = 0\), 즉 \(g(-x) = g(x)\)가 성립한다.

[2단계] 치환적분을 통한 적분 구간 \([-1, 1]\) 통합 및 1차 부분적분 (10점)

구하는 정적분을 \(I = \int_{0}^{1} g(x)h'(x)\,dx + \int_{0}^{1} g(x)h'(-x)\,dx\)로 나누자. 두 번째 적분에서 \(t = -x\)로 치환하면 \(dt = -dx\)이고, [1단계]에 의해 \(g(-t) = g(t)\)이므로

\[ \int_{0}^{1} g(x)h'(-x)\,dx = \int_{0}^{-1} g(-t)h'(t)(-dt) = \int_{-1}^{0} g(t)h'(t)\,dt = \int_{-1}^{0} g(x)h'(x)\,dx \]

따라서 두 적분을 합치면 \(I = \int_{-1}^{1} g(x)h'(x)\,dx\)이다. 부분적분법을 적용하면 \(g(-1) = g(1) = 4\)이므로

\[ I = \bigl[g(x)h(x)\bigr]_{-1}^{1} - \int_{-1}^{1} g'(x)h(x)\,dx = g(1)h(1) - g(-1)h(-1) - \int_{-1}^{1} f''(x)h(x)\,dx \] \[ = 4 \times 5 - 4 \times 1 - \int_{-1}^{1} f''(x)h(x)\,dx = 16 - \int_{-1}^{1} f''(x)h(x)\,dx \]

[3단계] 2차 부분적분을 통한 최종 정적분 값 도출 (10점)

[1단계]에서 \(f'(-x) = f'(x)\)이고 조건 (나)에서 \(f'(1) = 0\)이므로 \(f'(-1) = f'(1) = 0\)이다. 따라서 \(\int_{-1}^{1} f''(x)h(x)\,dx\)에 부분적분법을 한 번 더 적용하면

\[ \int_{-1}^{1} f''(x)h(x)\,dx = \bigl[f'(x)h(x)\bigr]_{-1}^{1} - \int_{-1}^{1} f'(x)h'(x)\,dx = \bigl(f'(1)h(1) - f'(-1)h(-1)\bigr) - 6 = 0 - 6 = -6 \]

이를 [2단계]의 식에 대입하면

\[ I = 16 - (-6) = 22 \]

[1단계] 벡터 \(\overrightarrow{MN}\)을 \(\vec{a}, \vec{b}\)로 표현하기 (6점)

점 \(M\)은 선분 \(OA\)의 중점이므로 \(\overrightarrow{OM} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{OA} = \dfrac{1}{2}\vec{a}\)이다.

점 \(N\)은 선분 \(OB\)를 \(1 : 2\)로 내분하는 점이므로 \(\overrightarrow{ON} = \dfrac{1}{1+2}\overrightarrow{OB} = \dfrac{1}{3}\vec{b}\)이다.

따라서 벡터의 뺄셈에 의하여

\[ \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{ON} - \overrightarrow{OM} = -\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b} \]

[2단계] 기본 벡터의 내적 및 선분 \(AB\)의 길이 계산 (7점)

주어진 조건에서 \(|\vec{a}| = 4\), \(|\vec{b}| = 6\), \(\angle AOB = \dfrac{\pi}{3}\)이므로 두 벡터의 내적은

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\frac{\pi}{3} = 4 \times 6 \times \frac{1}{2} = 12 \]

\(\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a}\)이므로 선분 \(AB\)의 길이의 제곱은

\[ |\overrightarrow{AB}|^2 = |\vec{b} - \vec{a}|^2 = |\vec{a}|^2 - 2\vec{a}\cdot\vec{b} + |\vec{b}|^2 = 16 - 24 + 36 = 28 \implies \overline{AB} = 2\sqrt{7} \]

[3단계] 수선의 발 \(H\)에 대한 선분 \(MH\)의 길이 도출 (7점)

[방법 1: 벡터의 직교 조건 활용] 점 \(H\)가 직선 \(AB\) 위의 점이므로 실수 \(t\)에 대하여 \(\overrightarrow{AH} = t\overrightarrow{AB} = t(\vec{b} - \vec{a})\)로 놓을 수 있다. 한편 \(\overrightarrow{MA} = \dfrac{1}{2}\vec{a}\)이므로

\[ \overrightarrow{MH} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AH} = \left(\frac{1}{2} - t\right)\vec{a} + t\vec{b} \]

\(\overrightarrow{MH} \perp \overrightarrow{AB}\)이므로 \(\overrightarrow{MH} \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = 0\)이다. 이를 전개하면

\[ \left(\frac{1}{2} - t\right)(\vec{a}\cdot\vec{b} - |\vec{a}|^2) + t(|\vec{b}|^2 - \vec{a}\cdot\vec{b}) = 0 \implies \left(\frac{1}{2} - t\right)(12 - 16) + t(36 - 12) = 0 \] \[ -2 + 4t + 24t = 0 \implies 28t = 2 \implies t = \frac{1}{14} \]

따라서 \(\overrightarrow{MH} = \dfrac{6}{14}\vec{a} + \dfrac{1}{14}\vec{b} = \dfrac{1}{14}(6\vec{a} + \vec{b})\)이고, 그 크기의 제곱은

\[ |\overrightarrow{MH}|^2 = \frac{1}{196}\left(36|\vec{a}|^2 + 12\vec{a}\cdot\vec{b} + |\vec{b}|^2\right) = \frac{1}{196}(36 \times 16 + 12 \times 12 + 36) = \frac{756}{196} = \frac{27}{7} \] \[ \therefore \overline{MH} = \sqrt{\frac{27}{7}} = \frac{3\sqrt{21}}{7} \]

[방법 2: 삼각형 넓이 활용 검산] \(\triangle MAB\)의 넓이는 \(\dfrac{1}{2}\triangle OAB = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}\times 4\times 6\sin\dfrac{\pi}{3}\right) = 3\sqrt{3}\)이다. 한편 \(\triangle MAB = \dfrac{1}{2} \cdot \overline{AB} \cdot \overline{MH} = \sqrt{7}\,\overline{MH}\)이므로 \(\overline{MH} = \dfrac{3\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \dfrac{3\sqrt{21}}{7}\)로 완벽히 일치한다.

[1단계] 전확률 공식을 이용한 \(p_2, p_3\)의 도출 (8점)

\(k\)일차(\(k=1, 2, 3\))에 미션에 성공하는 사건을 \(A_k\)라 하고 \(P(A_k) = p_k\) (\(p_1 = p\))라 하자. 조건 (나), (다)에 의하여

\[ P(A_{k+1} \mid A_k) = \frac{3}{4}, \quad P(A_{k+1} \mid A_k^c) = \frac{1}{4} \]

확률의 곱셈정리와 덧셈정리(전확률 공식)에 의하여

\[ p_{k+1} = P(A_k)P(A_{k+1} \mid A_k) + P(A_k^c)P(A_{k+1} \mid A_k^c) = \frac{3}{4}p_k + \frac{1}{4}(1 - p_k) = \frac{1}{2}p_k + \frac{1}{4} \]

따라서 \(k = 1\)을 대입하면

\[ p_2 = \frac{1}{2}p + \frac{1}{4} \]

\(k = 2\)를 대입하면

\[ p_3 = \frac{1}{2}p_2 + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}p + \frac{1}{4}\right) + \frac{1}{4} = \frac{1}{4}p + \frac{3}{8} \]

[2단계] 사건 \(A_1 \cap A_3\)의 확률 계산 (6점)

1일차와 3일차에 모두 미션에 성공하는 사건 \(A_1 \cap A_3\)은 2일차의 성공 여부에 따라 서로 배반인 두 사건 \(A_1 \cap A_2 \cap A_3\)과 \(A_1 \cap A_2^c \cap A_3\)의 합사건이다.

• \(P(A_1 \cap A_2 \cap A_3) = p \times \dfrac{3}{4} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{16}p\)
• \(P(A_1 \cap A_2^c \cap A_3) = p \times \left(1 - \dfrac{3}{4}\right) \times \dfrac{1}{4} = p \times \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{16}p\)

따라서

\[ P(A_1 \cap A_3) = \frac{9}{16}p + \frac{1}{16}p = \frac{10}{16}p = \frac{5}{8}p \]

[3단계] 조건부확률 방정식 풀이와 \(p\)의 값 도출 (6점)

3일차 미션에 성공했을 때 1일차 미션에도 성공했을 조건부확률은

\[ P(A_1 \mid A_3) = \frac{P(A_1 \cap A_3)}{P(A_3)} = \frac{\frac{5}{8}p}{\frac{1}{4}p + \frac{3}{8}} = \frac{5p}{2p + 3} \]

문제의 조건에서 이 값이 \(\dfrac{9}{14}\)이므로

\[ \frac{5p}{2p + 3} = \frac{9}{14} \implies 70p = 18p + 27 \implies 52p = 27 \implies p = \frac{27}{52} \]

이는 \(0 \lt p \lt 1\) 조건을 만족시킨다.