| 회차 | 출제 기준 및 대표 모집단위 매핑 | 문항 배점 구성 |
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| 제3회 | 2025학년도 자연계 오전 기출 완벽 변형 (정적분 정의 함수·부분적분·벡터 내적·조건부확률) | 문항1(30점) / 문항2(30점) / 문항3(20점) / 문항4(20점) |
최고차항의 계수가 양수인 이차함수 \(f(x)\)와 실수 전체의 집합에서 정의된 함수
\[ g(x) = \int_{0}^{x} \bigl(2 - f(t)\bigr)\,dt + 2\int_{x}^{1} f(t)\,dt \]가 다음 세 조건을 만족시킨다.
(가) 함수 \(g(x)\)는 \(x = 0\)과 \(x = \dfrac{4}{3}\)에서 극값을 갖는다.
(나) 함수 \(g(x)\)의 극댓값과 극솟값의 합은 \(2\)이다.
(다) 방정식 \(f(x) = 0\)의 모든 실근은 열린구간 \(\left(0, \dfrac{4}{3}\right)\)에 속하고 \(f(1) < 0\)이다.
이때 정적분 \(\int_{0}^{1} x g(x)\,dx\)의 값과 무한급수 \(\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \dfrac{\pi}{n} g\!\left(\sin\dfrac{k\pi}{2n}\right)\cos\dfrac{k\pi}{2n}\)의 값을 각각 구하고, 그 과정을 논리적으로 서술하시오. [30점]
실수 전체의 집합에서 이계도함수가 연속인 세 함수 \(f(x), g(x), h(x)\)가 다음 세 조건을 만족시킨다.
(가) 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x) + f(-x) = 0\)이고 \(f''(x) = g'(x)\)이다.
(나) \(f'(1) = 0\), \(g(1) = 4\)이다.
(다) \(h(1) = 5\), \(h(-1) = 1\)이고 \(\int_{-1}^{1} f'(x)h'(x)\,dx = 6\)이다.
(1) 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(g(-x) = g(x)\)가 성립함을 보이시오. [10점]
(2) 정적분 \(\int_{0}^{1} g(x)\bigl(h'(x) + h'(-x)\bigr)\,dx\)의 값을 구하고, 그 과정을 논리적으로 서술하시오. [20점]
평면 위의 삼각형 \(OAB\)에서 \(\overline{OA} = 4\), \(\overline{OB} = 6\), \(\angle AOB = \dfrac{\pi}{3}\)이다. 선분 \(OA\)의 중점을 \(M\), 선분 \(OB\)를 \(1 : 2\)로 내분하는 점을 \(N\)이라 하자. 점 \(M\)에서 직선 \(AB\)에 내린 수선의 발을 \(H\)라 할 때, 다음 물음에 답하시오.
(1) \(\overrightarrow{OA} = \vec{a}\), \(\overrightarrow{OB} = \vec{b}\)라 할 때, 벡터 \(\overrightarrow{MN}\)을 \(\vec{a}, \vec{b}\)로 나타내시오.
(2) 선분 \(MH\)의 길이를 구하고, 그 과정을 논리적으로 서술하시오. [20점]
어느 인공지능 로봇이 사흘(1일차, 2일차, 3일차) 동안 매일 한 번씩 자율주행 미션을 수행한다. 각 날짜의 미션은 성공하거나 실패하며, 다음 규칙을 따른다.
(가) 1일차 미션에 성공할 확률은 \(p\) (\(0 \lt p \lt 1\))이다.
(나) \(k\)일차(\(k = 1, 2\)) 미션에 성공했을 때 \((k+1)\)일차 미션에 성공할 조건부확률은 \(\dfrac{3}{4}\)이다.
(다) \(k\)일차(\(k = 1, 2\)) 미션에 실패했을 때 \((k+1)\)일차 미션에 성공할 조건부확률은 \(\dfrac{1}{4}\)이다.
2일차 미션에 성공할 확률을 \(p_2\), 3일차 미션에 성공할 확률을 \(p_3\)이라 할 때, 다음 물음에 답하시오.
(1) \(p_2\)와 \(p_3\)을 각각 \(p\)에 대한 식으로 나타내시오.
(2) 3일차 미션에 성공했을 때 1일차 미션에도 성공했을 조건부확률이 \(\dfrac{9}{14}\)가 되도록 하는 상수 \(p\)의 값을 구하고, 그 과정을 논리적으로 서술하시오. [20점]