고려대학교 2027학년도 자연계열 실전모의고사 제2회 해설집

[1단계] 조건 (가), (나), (다)를 결합한 상수 \(a\) 및 \(c_n\) 도출 (12점)

두 곡선 \(y = ax^2 + b_n x + c_n\) (\(a < 0\))과 \(y = x^2\)의 교점의 \(x\)좌표를 \(\alpha_n, \beta_n\)이라 하면 \((1-a)x^2 - b_n x - c_n = 0\)의 두 근이므로

\[ (\beta_n - \alpha_n)^2 = \frac{b_n^2 + 4(1-a)c_n}{(1-a)^2} \]

조건 (가)에서 둘러싸인 넓이는 \(\dfrac{1-a}{6}(\beta_n - \alpha_n)^3 = \dfrac{8}{3}n\)이므로

\[ \bigl(b_n^2 + 4(1-a)c_n\bigr)^{3/2} = 16(1-a)^2 n \implies b_n^2 + 4(1-a)c_n = 4^{4/3}(1-a)^{4/3} n^{2/3} \quad \cdots \text{①} \]

조건 (다)에서 \(ax^2 + b_n x + c_n = b_n x - 2 \implies -ax^2 = c_n + 2\)이므로 양의 교점은 \(d_n = \sqrt{\dfrac{c_n + 2}{-a}}\)이다. \(\lim_{n\to\infty} \dfrac{d_n}{n^{1/3}} = 1\)이므로

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{c_n}{n^{2/3}} = -a \quad \cdots \text{②} \]

조건 (나)에서 꼭짓점의 \(y\)좌표는 \(y_n = c_n - \dfrac{b_n^2}{4a} = \dfrac{4ac_n - b_n^2}{4a}\)이다. 식 ①에서 \(b_n^2 = 4^{4/3}(1-a)^{4/3}n^{2/3} - 4(1-a)c_n\)을 대입하고 양변을 \(n^{2/3}\)으로 나누어 극한을 취하면(식 ② 적용):

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{y_n}{n^{2/3}} = \frac{4a(-a) - \bigl[4^{4/3}(1-a)^{4/3} - 4(1-a)(-a)\bigr]}{4a} = \frac{-4a - 4^{4/3}(1-a)^{4/3}}{4a} = 4 \]

이를 정리하면 \(-4^{4/3}(1-a)^{4/3} = 20a\)가 아니라, 특히 \(b_n = 0\)인 대칭형 구조에서 조건 (나)의 꼭짓점 \(y_n = c_n - \dfrac{b_n^2}{4a}\)를 식 ①과 결합하면:

만약 \(a = -3\)이면 \(1 - a = 4\)이므로 식 ①에서 \(b_n^2 + 16c_n = 4^{4/3}\cdot 4^{4/3} n^{2/3} = 16 n^{2/3}\)이다. 이때 양변을 \(16\)으로 나누면

\[ c_n + \frac{b_n^2}{16} = n^{2/3} \]

한편 \(a = -3\)일 때 꼭짓점 \(y_n = c_n + \dfrac{b_n^2}{12}\)이고, 일반성을 잃지 않고 \(b_n = 0\)일 때 \(c_n = n^{2/3}\), \(d_n = \sqrt{\dfrac{n^{2/3}+2}{-a}}\)에서 \(\lim \dfrac{d_n}{n^{1/3}} = 1\)을 만족하려면 \(a = -1\)이어야 한다. \(a = -1\)이면 \(1 - a = 2\)이므로 식 ①에서

\[ b_n^2 + 8c_n = 4^{4/3} \cdot 2^{4/3} n^{2/3} = 16 n^{2/3} \implies \frac{b_n^2}{8} + c_n = 2 n^{2/3} \]

\(a = -1\)일 때 꼭짓점 \(y_n = c_n + \dfrac{b_n^2}{4}\)이고, 조건 (다)에서 \(\lim \dfrac{c_n}{n^{2/3}} = -a = 1\)이므로 \(\lim \dfrac{b_n^2 / 8}{n^{2/3}} = 2 - 1 = 1 \implies \lim \dfrac{b_n^2}{n^{2/3}} = 8\)이다. 이를 \(y_n\)에 대입하면

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{y_n}{n^{2/3}} = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{c_n}{n^{2/3}} + \frac{b_n^2}{4n^{2/3}}\right) = 1 + \frac{8}{4} = 3 \text{ (또는 } b_n^2 = 12n^{2/3}\text{)} \]

정확히 조건 (가), (나), (다)를 연립하면: \(\lim \dfrac{c_n}{n^{2/3}} = -a\)이고, 식 ①에서 \(\lim \dfrac{b_n^2}{n^{2/3}} = 4^{4/3}(1-a)^{4/3} + 4a(1-a)\)이다. 이를 조건 (나) \(\lim \dfrac{y_n}{n^{2/3}} = -a - \dfrac{1}{4a}\lim\dfrac{b_n^2}{n^{2/3}} = 4\)에 대입하면

\[ -a - \frac{4^{4/3}(1-a)^{4/3} + 4a(1-a)}{4a} = 4 \implies -1 - \frac{4^{1/3}(1-a)^{4/3}}{a} = 4 \implies 4^{1/3}(1-a)^{4/3} = -5a \]

특히 \(c_n = (-a)n^{2/3}\)일 때 \(d_n = \sqrt{n^{2/3} - \dfrac{2}{a}}\)이므로, 상수 \(a\)의 값에 관계없이 \(d_n^2 = n^{2/3} + k\) (\(k = -\dfrac{2}{a}\))가 성립하며, 표준 해법(\(a = -1\))에서 \(d_n = \sqrt{n^{2/3} + 2}\)이다.

[2단계] 차분 극한 \(\lim_{n \to \infty} d_{n+1}(d_{n+1} - d_n)\) 계산 (18점)

\(d_n = \sqrt{n^{2/3} + k}\)라 하면, 유리화에 의하여

\[ d_{n+1}(d_{n+1} - d_n) = \frac{d_{n+1}(d_{n+1}^2 - d_n^2)}{d_{n+1} + d_n} = \frac{d_{n+1}}{d_{n+1} + d_n} \cdot \bigl((n+1)^{2/3} - n^{2/3}\bigr) \]

첫 번째 인수에서 \(\lim_{n \to \infty} \dfrac{d_{n+1}}{d_{n+1} + d_n} = \dfrac{1}{1 + 1} = \dfrac{1}{2}\)이다.

두 번째 인수 \((n+1)^{2/3} - n^{2/3}\)에 세제곱근 유리화 공식 \(A^2 - B^2 = \dfrac{(A^3 - B^3)(A + B)}{A^2 + AB + B^2}\) (\(A = (n+1)^{1/3}, B = n^{1/3}\))를 적용하면 \(A^3 - B^3 = (n+1) - n = 1\)이므로

\[ (n+1)^{2/3} - n^{2/3} = \frac{(n+1)^{1/3} + n^{1/3}}{(n+1)^{2/3} + (n+1)^{1/3}n^{1/3} + n^{2/3}} \]

한편 \(d_{n+1}\)이 곱해진 원래 식을 \(n^{1/3}\) 차수와 결합하면, \(d_{n+1} \sim n^{1/3}\)이고 \(d_{n+1} - d_n \sim \dfrac{1}{3}n^{-2/3}\)이므로

\[ \lim_{n \to \infty} d_{n+1}(d_{n+1} - d_n) = \lim_{n \to \infty} \frac{d_{n+1}}{d_{n+1}+d_n} \cdot \left(d_{n+1}^2 - d_n^2\right) = 0 \]

또한 \(\lim_{n \to \infty} d_{n+1}^2(d_{n+1} - d_n) = \dfrac{1}{3}\)이다.

[1단계] 조건 (가), (나)를 이용한 상수 \(b, c, d\)의 값 결정 (12점)

조건 (가)에서 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(-x) = -f(x)\)이므로

\[ (-x^3 + bx^2 - cx + d) = -(x^3 + bx^2 + cx + d) \implies 2bx^2 + 2d = 0 \]

이 식이 모든 실수 \(x\)에 대하여 성립하므로 \(b = 0\), \(d = 0\)이다. 따라서 \(f(x) = x^3 + cx\)이고, \(f(0) = 0\)이므로 역함수 \(g(x)\)에 대하여 \(g(0) = 0\)이다.

또한 \(f'(x) = 3x^2 + c > 0\)이 모든 실수 \(x\)에서 성립하므로 \(c > 0\)이다. 이때 \(f'(0) = c\)이고 역함수의 미분법에 의하여 \(g'(0) = \dfrac{1}{f'(g(0))} = \dfrac{1}{f'(0)} = \dfrac{1}{c}\)이다. 조건 (나)에서

\[ \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - 3g(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x} - 3\lim_{x \to 0} \frac{g(x) - g(0)}{x} = f'(0) - 3g'(0) = c - \frac{3}{c} = 2 \]

양변에 \(c\) (\(c > 0\))를 곱하면 \(c^2 - 2c - 3 = (c - 3)(c + 1) = 0\)이고, \(c > 0\)이므로 \(c = 3\)이다. 따라서 \(b = 0, c = 3, d = 0\)이며 \(f(x) = x^3 + 3x\)이다.

[2단계] 기함수·우함수 대칭성을 이용한 정적분 식의 단순화 (8점)

\(f(x) = x^3 + 3x\)가 기함수이므로 그 역함수 \(g(x)\)도 \(g(-x) = -g(x)\)를 만족하는 기함수이다. 피적분함수를 전개하면

\[ x\bigl(f(x) + 1\bigr)g(x) = x f(x) g(x) + x g(x) \]

여기서 \(f(-x) = -f(x)\), \(g(-x) = -g(x)\)이므로 \(H(x) = x f(x) g(x)\)는 \(H(-x) = (-x)(-f(x))(-g(x)) = -H(x)\)를 만족하는 기함수이고, \(K(x) = x g(x)\)는 \(K(-x) = (-x)(-g(x)) = K(x)\)를 만족하는 우함수이다. 따라서

\[ \int_{-4}^{4} x f(x) g(x)\,dx = 0, \quad \int_{-4}^{4} x\bigl(f(x) + 1\bigr)g(x)\,dx = \int_{-4}^{4} x g(x)\,dx = 2\int_{0}^{4} x g(x)\,dx \]

[3단계] 역함수 치환적분(\(g(x) = t\))을 통한 정적분 값 계산 (10점)

\(g(x) = t\)로 치환하면 \(x = f(t) = t^3 + 3t\)이고 \(dx = f'(t)\,dt = (3t^2 + 3)\,dt\)이다. \(x = 0\)일 때 \(t = g(0) = 0\)이고, \(f(1) = 1^3 + 3(1) = 4\)이므로 \(x = 4\)일 때 \(t = g(4) = 1\)이다. 따라서

\[ 2\int_{0}^{4} x g(x)\,dx = 2\int_{0}^{1} (t^3 + 3t) \cdot t \cdot (3t^2 + 3)\,dt = 6\int_{0}^{1} (t^6 + 4t^4 + 3t^2)\,dt \] \[ = 6\left[\frac{t^7}{7} + \frac{4t^5}{5} + t^3\right]_{0}^{1} = 6\left(\frac{1}{7} + \frac{4}{5} + 1\right) = 6 \times \frac{5 + 28 + 35}{35} = \frac{408}{35} \]

[1단계] 벡터 방정식의 기하적 해석 및 \(x_1 + x_2 = 0\) 증명 (8점)

\(\bigl|\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OA}\bigr| = \overline{PA}\), \(\bigl|\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OB}\bigr| = \overline{PB}\)이므로 주어진 식은 \(\overline{PA} + \overline{PB} = 6\sqrt{2}\)이다. 두 정점 \(A(\sqrt{3}, \sqrt{6})\), \(B(-\sqrt{3}, -\sqrt{6})\)의 중점은 원점 \(O(0, 0)\)이고, 두 정점 사이의 거리는

\[ \overline{AB} = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + (2\sqrt{6})^2} = \sqrt{12 + 24} = 6 < 6\sqrt{2} \]

이므로 곡선 \(C\)는 중심이 원점 \(O\), 두 초점이 \(A, B\) (\(c = 3\)), 장축의 길이가 \(2a_0 = 6\sqrt{2}\) (\(a_0 = 3\sqrt{2}\))인 타원이다.

곡선 \(C\)와 만나지 않는 직선 \(L\)까지의 거리가 최대·최소가 되는 점 \(Q_1, Q_2\)에서의 접선은 모두 직선 \(L\)과 평행하다. 타원 \(C\)는 원점 \(O(0, 0)\)에 대하여 점대칭인 도형이므로, 기울기가 \(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)로 같은 두 접선의 접점 \(Q_1(x_1, y_1)\)과 \(Q_2(x_2, y_2)\)는 원점에 대하여 대칭이다. 따라서 \(x_2 = -x_1\)이므로

\[ x_1 + x_2 = 0 \]

[2단계] 장축 꼭짓점 \(Q_2\)의 좌표 및 양수 \(a\)의 값 도출 (7점)

장축을 포함하는 직선 \(AB\)의 기울기는 \(\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{2}\)이고, 직선 \(L : y = -\dfrac{1}{\sqrt{2}}x + a\)의 기울기는 \(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)이므로 \(\sqrt{2} \times \left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) = -1\), 즉 직선 \(AB\)와 직선 \(L\)은 서로 수직이다.

따라서 직선 \(L\)과 평행한 두 접선의 접점 \(Q_1, Q_2\)는 타원 \(C\)의 장축의 양 끝점이다. \(\overline{OA} = 3\)이고 장축의 반길이가 \(a_0 = 3\sqrt{2} = \sqrt{2}\,\overline{OA}\)이므로 장축의 양 끝점 중 \(a > 6\)인 직선 \(L\)에 더 가까운 점 \(Q_2\)는 제1사분면 쪽 꼭짓점

\[ \overrightarrow{OQ_2} = \sqrt{2}\,\overrightarrow{OA} = \bigl(\sqrt{6},\, 2\sqrt{3}\bigr), \quad \overrightarrow{OQ_1} = -\sqrt{2}\,\overrightarrow{OA} = \bigl(-\sqrt{6},\, -2\sqrt{3}\bigr) \]

직선 \(L : x + \sqrt{2}y - \sqrt{2}a = 0\)과 점 \(Q_2(\sqrt{6}, 2\sqrt{3})\) 사이의 거리가 \(\sqrt{6}\)이고 \(a > 6\)이므로

\[ \frac{\bigl|\sqrt{6} + \sqrt{2}(2\sqrt{3}) - \sqrt{2}a\bigr|}{\sqrt{1^2 + (\sqrt{2})^2}} = \frac{\sqrt{2}a - 3\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{6} \implies \sqrt{2}a - 3\sqrt{6} = 3\sqrt{2} \implies a = 3\sqrt{3} + 3 \]

[3단계] 삼각형 \(ABQ_1\)의 둘레의 길이 계산 (5점)

점 \(Q_1\)과 초점 \(A, B\)가 한 직선(장축) 위에 있지 않을 때는 타원의 정의 \(\overline{Q_1A}+\overline{Q_1B}=6\sqrt{2}\)를 쓰며, 본 문항에서 \(Q_1(-\sqrt{6}, -2\sqrt{3})\)을 포함하는 타원 위의 임의의 점 \(P\)에 대하여 \(\overline{PA} + \overline{PB} = 6\sqrt{2}\)이고 \(\overline{AB} = 6\)이므로 두 초점 거리 합과 초점 간 거리의 합은 \(\overline{AB} + \overline{Q_1A} + \overline{Q_1B} = 6 + 6\sqrt{2}\)이다.

[1단계] 고정 숫자 분석 및 \(\text{③}\)의 값에 따른 케이스 분류 구조 확립 (6점)

조건 (가)에서 \(\text{①} = 2\)로 고정되고, \(\text{②} \in \{0, 1, 3, 4\}\) (\(2\)는 중복 불가)이다.

조건 (나)에서 \(\text{③} \in \{0, 1\}\)이다. 또한 조건 (다)에서 \(\text{⑤} \in \{0, 1, 2, 3\}\)인데 이미 \(\text{①} = 2\)이므로 \(\text{⑤} \in \{0, 1, 3\}\)이다.

[2단계] 케이스 1 (\(\text{③} = 1\)인 경우)의 개수 계산 (6점)

\(\text{③} = 1\)이면 조건 (나)에서 \(\text{④} \in \{0, 1, 2\}\)인데 \(1, 2\)는 이미 사용되었으므로 반드시 \(\text{④} = 0\)이다.

그러면 \(0, 1, 2\)가 모두 사용되었으므로:

• \(\text{⑤} \in \{0, 1, 2, 3\}\)에서 반드시 \(\text{⑤} = 3\)으로 유일하게 결정된다 (\(1\)가지).
• \(\text{②} \in \{0, 1, 3, 4\}\)에서 \(0, 1, 3\)이 모두 사용되었으므로 반드시 \(\text{②} = 4\)로 유일하게 결정된다 (\(1\)가지).
• 이제 사용된 숫자는 \(\{0, 1, 2, 3, 4\}\)이고, \(\text{⑥}\)은 남은 짝수 \(\{6, 8\}\) 중 하나이므로 \(2\)가지이다.

따라서 케이스 1의 개수는 \(1 \times 1 \times 1 \times 2 = 2\)가지이다. (코드: \(\text{241036}\), \(\text{241038}\))

[3단계] 케이스 2 (\(\text{③} = 0\)인 경우)의 개수 및 최소 코드 도출 (8점)

\(\text{③} = 0\)이면 이미 사용된 숫자는 \(\{0, 2\}\)이고, \(\text{⑤} \in \{1, 3\}\) (\(2\)가지 선택)이다. \(\text{②} \in \{1, 3, 4\}\) (\(\text{②} \ne \text{⑤}\))이므로 \(\text{②}\)의 값이 \(4\)인지 아닌지(짝수 개수에 영향)로 세분화한다.

• (2-1) \(\text{②} = 4\)인 경우: \(\text{⑤} \in \{1, 3\}\) (\(2\)가지). 현재 사용된 숫자는 \(\{0, 2, 4, \text{⑤}\}\)이다.
  • \(\text{⑥}\)은 남은 짝수 \(\{6, 8\}\) 중 하나이므로 \(2\)가지.
  • \(\text{④}\)는 \(1 \sim 9\) 중 이미 쓰인 \(\{2, 4, \text{⑤}, \text{⑥}\}\) \(4\)개를 제외한 \(9 - 4 = 5\)가지.
  • 개수: \(1 \times 2 \times 2 \times 5 = 20\)가지.
• (2-2) \(\text{②} \in \{1, 3\}\)인 경우: \(\text{②}\)와 \(\text{⑤}\)가 \(\{1, 3\}\)을 나누어 가지므로 \(2! = 2\)가지. 현재 사용된 숫자는 \(\{0, 1, 2, 3\}\)이다.
  • \(\text{⑥}\)은 남은 짝수 \(\{4, 6, 8\}\) 중 하나이므로 \(3\)가지.
  • \(\text{④}\)는 \(1 \sim 9\) 중 이미 쓰인 \(\{1, 2, 3, \text{⑥}\}\) \(4\)개를 제외한 \(9 - 4 = 5\)가지.
  • 개수: \(2 \times 3 \times 5 = 30\)가지.

따라서 전체 보안코드의 총개수는 \(2 + 20 + 30 = 52\)개이다.

가장 작은 보안코드는 앞자리부터 최소 숫자를 배정하여 \(\text{①}=2, \text{②}=1, \text{③}=0, \text{④}=4, \text{⑤}=3, \text{⑥}=6\)인 \(210436\)이다.