| 회차 | 출제 기준 및 대표 모집단위 매핑 | 문항 배점 구성 |
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| 제2회 | 2026학년도 자연계 오후 기출 완벽 변형 (공과대·정보대·스마트보안·보건과학대 표준) | 문항1(30점) / 문항2(30점) / 문항3(20점) / 문항4(20점) |
자연수 \(n\)에 대하여 최고차항의 계수가 음수인 이차함수 \(y = a x^2 + b_n x + c_n\)의 그래프가 다음 세 조건을 만족시킨다.
(가) 곡선 \(y = a x^2 + b_n x + c_n\)과 곡선 \(y = x^2\)으로 둘러싸인 도형의 넓이는 \(\dfrac{8}{3}n\)이다.
(나) 곡선 \(y = a x^2 + b_n x + c_n\)의 꼭짓점의 \(y\)좌표 \(y_n\)에 대하여 \(\lim_{n \to \infty} \dfrac{y_n}{\sqrt[3]{n^2}} = 4\)이다.
(다) 곡선 \(y = a x^2 + b_n x + c_n\)과 직선 \(y = b_n x - 2\)가 만나는 두 점 중 \(x\)좌표가 양수인 점의 \(x\)좌표 \(d_n\)에 대하여 \(\lim_{n \to \infty} \dfrac{d_n}{\sqrt[3]{n}} = 1\)이다.
상수 \(a\)의 값과 극한값 \(\lim_{n \to \infty} d_{n+1}(d_{n+1} - d_n)\)을 각각 구하고, 그 과정을 논리적으로 서술하시오. [30점]
실수 전체의 집합에서 증가하고 미분가능한 역함수 \(g(x)\)를 갖는 삼차함수 \(f(x) = x^3 + bx^2 + cx + d\) (\(b, c, d\)는 상수)가 다음 두 조건을 만족시킨다.
(가) 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(-x) = -f(x)\)이고 \(f'(x) > 0\)이다.
(나) \(\lim_{x \to 0} \dfrac{f(x) - 3g(x)}{x} = 2\)이다.
(1) 상수 \(b, c, d\)의 값을 각각 구하시오. [12점]
(2) 정적분 \(\int_{-4}^{4} x\bigl(f(x) + 1\bigr)g(x)\,dx\)의 값을 구하고, 그 과정을 논리적으로 서술하시오. [18점]
좌표평면 위의 두 점 \(A(\sqrt{3}, \sqrt{6})\), \(B(-\sqrt{3}, -\sqrt{6})\)과 점 \(P(x, y)\)가 다음 벡터 방정식을 만족시킨다.
\[ \bigl|\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OA}\bigr| + \bigl|\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OB}\bigr| = 6\sqrt{2} \]점 \(P\)가 나타내는 곡선 \(C\)와 만나지 않는 직선 \(L : y = -\dfrac{1}{\sqrt{2}}x + a\) (\(a > 6\))에 대하여, 곡선 \(C\) 위의 점에서 직선 \(L\)까지의 거리가 최대가 되는 점을 \(Q_1(x_1, y_1)\), 최소가 되는 점을 \(Q_2(x_2, y_2)\)라 할 때, 다음 물음에 답하시오.
(1) \(x_1 + x_2\)의 값을 구하고, 그 이유를 곡선 \(C\)의 대칭성을 이용하여 서술하시오. [8점]
(2) 점 \(Q_2\)에서 직선 \(L\)까지의 거리가 \(\sqrt{6}\)일 때, 양수 \(a\)의 값과 삼각형 \(ABQ_1\)의 둘레의 길이를 각각 구하고 그 과정을 논리적으로 서술하시오. [12점]
\(0\)부터 \(9\)까지의 서로 다른 \(10\)개의 숫자 중에서 \(6\)개를 택하여 일렬로 나열한 \(6\)자리 보안코드 \(\text{①②③④⑤⑥}\)이 다음 세 조건을 만족시킨다.
(가) 첫째 자리와 둘째 자리로 이루어진 두 자리 수 \(\text{①②}\)는 \(20\) 이상 \(24\) 이하의 자연수이다.
(나) 셋째 자리와 넷째 자리로 이루어진 두 자리 수 \(\text{③④}\)는 \(01\) 이상 \(12\) 이하의 자연수이다. (즉, \(\text{③} = 0\)이면 \(\text{④} \in \{1,2,\dots,9\}\)이고, \(\text{③} = 1\)이면 \(\text{④} \in \{0, 1, 2\}\)이다.)
(다) 다섯째 자리 숫자 \(\text{⑤}\)는 \(0, 1, 2, 3\) 중 하나이고, 여섯째 자리 숫자 \(\text{⑥}\)은 짝수이다.
\(6\)개의 숫자 \(\text{①, ②, ③, ④, ⑤, ⑥}\)이 모두 다른 보안코드의 총개수와 그중 가장 작은 보안코드를 각각 구하고, 그 과정을 논리적으로 서술하시오. [20점]