🎯 [1단계: 출제의도] 포물선과 직선으로 둘러싸인 넓이 공식 \(\dfrac{|\alpha-\beta|^3}{6}\) 및 두 교점 사이의 현의 길이 공식을 근과 계수의 관계로 표현하고, 무리식의 차분 극한을 유리화·인수분해하여 정확히 계산할 수 있는지 평가합니다.
🔑 [2단계: 조건 번역 및 핵심 발상] 이차방정식 \(x^2 - mx - 2 = 0\)의 두 실근을 \(\alpha, \beta\)라 하면 \(\alpha + \beta = m\), \(\alpha\beta = -2\)이므로 \((\alpha-\beta)^2 = m^2 + 8\)입니다. 조건 (가)의 넓이는 \(\dfrac{(a_n^2+8)^{3/2}}{6} = \dfrac{4}{3}n\)이고, 조건 (나)의 현의 길이 제곱은 \((1+b_n^2)(b_n^2+8) = 2n^2\)입니다.
[1단계] 조건 (가)를 이용한 \(a_n^2\)의 관계식 및 첫 번째 극한값 도출 (10점)
포물선 \(y = x^2\)과 직선 \(y = a_n x + 2\)의 교점의 \(x\)좌표를 \(\alpha_n, \beta_n\) (\(\alpha_n < \beta_n\))이라 하면, \(\alpha_n, \beta_n\)은 이차방정식 \(x^2 - a_n x - 2 = 0\)의 두 근이다. 근과 계수의 관계에 의하여 \(\alpha_n + \beta_n = a_n\), \(\alpha_n \beta_n = -2\)이므로
\[ (\beta_n - \alpha_n)^2 = (\alpha_n + \beta_n)^2 - 4\alpha_n \beta_n = a_n^2 + 8 \implies \beta_n - \alpha_n = \sqrt{a_n^2 + 8} \]
포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S_n\)은 정적분 공식에 의하여
\[ S_n = \int_{\alpha_n}^{\beta_n} (a_n x + 2 - x^2)\,dx = \frac{(\beta_n - \alpha_n)^3}{6} = \frac{(a_n^2 + 8)^{3/2}}{6} \]
조건 (가)에서 \(S_n = \dfrac{4}{3}n\)이므로 \((a_n^2 + 8)^{3/2} = 8n\)이고, 양변에 \(\dfrac{2}{3}\)제곱을 취하면
\[ a_n^2 + 8 = (8n)^{2/3} = 4\sqrt[3]{n^2} \implies a_n^2 = 4\sqrt[3]{n^2} - 8 \]
따라서 첫 번째 극한값은 다음과 같다.
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n^2}{\sqrt[3]{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \left(4 - \frac{8}{\sqrt[3]{n^2}}\right) = 4 \]
[2단계] 조건 (나)를 이용한 \(b_n\)의 관계식 및 두 번째 극한값 도출 (10점)
포물선 \(y = x^2\)과 직선 \(y = b_n x + 2\)의 두 교점을 \(P(p_n, b_n p_n + 2)\), \(Q(q_n, b_n q_n + 2)\)라 하면, \(p_n + q_n = b_n\), \(p_n q_n = -2\)이므로 \((q_n - p_n)^2 = b_n^2 + 8\)이다. 두 교점 사이의 거리가 \(\sqrt{2}\,n\)이므로
\[ \overline{PQ}^2 = (q_n - p_n)^2 + b_n^2(q_n - p_n)^2 = (b_n^2 + 1)(b_n^2 + 8) = 2n^2 \]
이를 \(b_n^2\)에 대한 이차방정식으로 정리하면 \((b_n^2)^2 + 9b_n^2 + 8 - 2n^2 = 0\)이고, \(b_n^2 > 0\)이므로 근의 공식에 의하여
\[ b_n^2 = \frac{-9 + \sqrt{81 - 4(8 - 2n^2)}}{2} = \frac{\sqrt{8n^2 + 49} - 9}{2} \]
양변을 \(n\)으로 나누어 극한을 취하면
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{b_n^2}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{8 + \frac{49}{n^2}} - \frac{9}{n}}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \]
조건에서 \(a_n < b_n\)이고 \(n \ge 5\)일 때 \(b_n^2 > a_n^2 > 0\)이므로 \(b_n > 0\)이다. 따라서
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{b_n}{\sqrt{n}} = \sqrt{\sqrt{2}} = \sqrt[4]{2} \]
[3단계] \(\lim_{n \to \infty} (b_n - a_n)\)의 판정 (10점)
\(n \to \infty\)일 때 \(b_n\)은 \(\sqrt[4]{2}\,\sqrt{n} = 2^{1/4} n^{1/2}\)의 차수로 발산하고, \(|a_n| = \sqrt{4n^{2/3}-8}\)은 \(2n^{1/3}\)의 차수로 발산한다. 지수 비교에서 \(\dfrac{1}{2} > \dfrac{1}{3}\)이므로
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{|a_n|}{b_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{4n^{2/3}-8}}{\sqrt{n}} \cdot \frac{\sqrt{n}}{b_n} = 0 \cdot \frac{1}{\sqrt[4]{2}} = 0 \]
따라서 \(b_n - a_n = b_n\left(1 - \dfrac{a_n}{b_n}\right)\)에서 \(b_n \to \infty\)이고 \(1 - \dfrac{a_n}{b_n} \to 1\)이므로 \(\lim_{n \to \infty} (b_n - a_n) = \infty\) (발산)이다.
✅ [4단계: 최종 정답] \(\lim_{n \to \infty} \dfrac{a_n^2}{\sqrt[3]{n^2}} = 4\), \(\quad \lim_{n \to \infty} \dfrac{b_n}{\sqrt{n}} = \sqrt[4]{2}\), \(\quad \lim_{n \to \infty} (b_n - a_n) = \infty\text{ (양의 무한대로 발산)}\)