고려대학교 2027학년도 자연계열 실전모의고사 제10회 해설집

[1단계] 조건 (가), (나)를 이용한 \(f(x)\)의 미정계수 표현 (10점)

함수 \(g(x)\)가 \(x = 0\)에서 미분가능하므로 \(x = 0\)에서 연속이다. 좌극한과 함숫값을 비교하면

\[ \lim_{x \to 0-} g(x) = 1 \cdot e^0 + 2\cos 0 = 3, \quad g(0) = f(0) \implies f(0) = 3 \]

또한 \(x > 0\)일 때 \(g'(x) = x f''(x) + 2f'(x)\)이고, \(x < 0\)일 때

\[ g'(x) = -e^{-x} - (1 - x)e^{-x} - 2\sin x = (x - 2)e^{-x} - 2\sin x \]

이므로 \(x = 0\)에서의 좌미분계수와 우미분계수가 같다는 조건에서

\[ \lim_{x \to 0-} g'(x) = -2 = \lim_{x \to 0+} g'(x) = 2f'(0) \implies f'(0) = -1 \]

최고차항의 계수가 \(a > 0\)인 삼차함수 \(f(x)\)가 조건 (가)에 의해 \(x = 1\)에서 변곡점을 가지므로 \(f''(x) = 6a(x - 1) = 6ax - 6a\)이다. 이를 적분하고 \(f'(0) = -1\), \(f(0) = 3\)을 대입하면

\[ f(x) = ax^3 - 3ax^2 - x + 3 \quad (a > 0) \]

을 얻는다.

[2단계] 조건 (다)를 이용한 \(a = 1\) 및 \(f(x)\) 확정 (10점)

곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \((t, f(t))\)에서의 접선의 방정식은

\[ y - (at^3 - 3at^2 - t + 3) = (3at^2 - 6at - 1)(x - t) \]

이다. 이 접선이 점 \((0, k)\)를 지나므로 \(x = 0, y = k\)를 대입하여 정리하면 \(-t\)와 \(+t\) 항이 소거되어

\[ k = -2at^3 + 3at^2 + 3 \]

이다. 삼차곡선에 그은 서로 다른 접선의 개수는 접점의 \(x\)좌표 \(t\)의 개수와 같으므로, \(\phi(t) = -2at^3 + 3at^2 + 3\)의 그래프와 직선 \(y = k\)가 서로 다른 세 점에서 만나야 한다. \(\phi'(t) = -6at(t - 1) = 0\)에서 \(a > 0\)이므로 \(\phi(t)\)는 \(t = 0\)에서 극솟값 \(\phi(0) = 3\), \(t = 1\)에서 극댓값 \(\phi(1) = a + 3\)을 갖는다. 따라서 서로 다른 세 실근을 가질 \(k\)의 범위는 \(3 < k < a + 3\)이고, 조건 (다)와 비교하면 \(a + 3 = 4 \implies a = 1\)이다. 그러므로

\[ f(x) = x^3 - 3x^2 - x + 3 = (x + 1)(x - 1)(x - 3) \]

이다.

[3단계] 구간 분할과 치환적분을 이용한 \(\int_{0}^{3} f(x)e^{F(x)}\,dx\)의 계산 (10점)

\(f(x) = (x+1)(x-1)(x-3)\)은 구간 \([0, 1]\)에서 \(f(x) \ge 0\)이고, 구간 \([1, 3]\)에서 \(f(x) \le 0\)이다. 미적분학의 기본정리에 의하여 \(F'(x) = |f(x)|\)이므로, \(0 \le x \le 1\)에서는 \(f(x) = F'(x)\)이고 \(1 \le x \le 3\)에서는 \(f(x) = -F'(x)\)이다. 먼저 \(F(0) = 0\)이고,

\[ F(1) = \int_{0}^{1} (t^3 - 3t^2 - t + 3)\,dt = \left[\frac{t^4}{4} - t^3 - \frac{t^2}{2} + 3t\right]_{0}^{1} = \frac{7}{4} \] \[ F(3) - F(1) = \int_{1}^{3} (-t^3 + 3t^2 + t - 3)\,dt = \left[-\frac{t^4}{4} + t^3 + \frac{t^2}{2} - 3t\right]_{1}^{3} = \frac{9}{4} - \left(-\frac{7}{4}\right) = 4 \implies F(3) = \frac{23}{4} \]

이다. 따라서 구하는 정적분은

\[ \int_{0}^{3} f(x)e^{F(x)}\,dx = \int_{0}^{1} F'(x)e^{F(x)}\,dx - \int_{1}^{3} F'(x)e^{F(x)}\,dx = \Bigl[e^{F(x)}\Bigr]_{0}^{1} - \Bigl[e^{F(x)}\Bigr]_{1}^{3} \] \[ = \left(e^{7/4} - 1\right) - \left(e^{23/4} - e^{7/4}\right) = 2e^{7/4} - e^{23/4} - 1 \]

이다.

[1단계] 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(g(-x) = g(x)\)임의 증명 (10점)

조건 (가)의 \(f(x) + f(-x) = 0\)의 양변을 \(x\)에 대하여 미분하면 합성함수의 미분법에 의하여

\[ f'(x) - f'(-x) = 0 \implies f'(-x) = f'(x) \]

이고, 다시 양변을 \(x\)에 대하여 미분하면

\[ -f''(-x) = f''(x) \implies f''(x) + f''(-x) = 0 \]

이다. 조건 (나)에서 \(f''(x) = g'(x)\)이므로 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(g'(x) + g'(-x) = 0\)이다. 이제 \(G(x) = g(x) - g(-x)\)라 하면

\[ G'(x) = g'(x) + g'(-x) = 0 \]

이므로 \(G(x)\)는 실수 전체에서 상수함수이다. \(x = 0\)을 대입하면 \(G(0) = g(0) - g(0) = 0\)이므로 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(G(x) = 0\), 즉 \(g(-x) = g(x)\)가 성립한다.

[2단계] 치환적분을 통한 대칭구간 \([-1, 1]\)로의 정적분 통합 (10점)

구하는 정적분을 두 항으로 나누면

\[ I = \int_{0}^{1} g(x)\bigl(h'(x) + h'(-x)\bigr)\,dx = \int_{0}^{1} g(x)h'(x)\,dx + \int_{0}^{1} g(x)h'(-x)\,dx \]

두 번째 적분에서 \(-x = t\)로 치환하면 \(dx = -dt\)이고, \(x = 0 \to t = 0\), \(x = 1 \to t = -1\)이다. 1단계에서 증명한 \(g(-t) = g(t)\)를 적용하면

\[ \int_{0}^{1} g(x)h'(-x)\,dx = \int_{0}^{-1} g(-t)h'(t)(-dt) = \int_{-1}^{0} g(t)h'(t)\,dt \]

따라서 두 적분을 하나로 합치면

\[ I = \int_{-1}^{0} g(x)h'(x)\,dx + \int_{0}^{1} g(x)h'(x)\,dx = \int_{-1}^{1} g(x)h'(x)\,dx \]

이다.

[3단계] 부분적분법을 이용한 정적분 \(I\)의 값 도출 (10점)

정적분 \(I = \int_{-1}^{1} g(x)h'(x)\,dx\)에 부분적분법을 적용하면, 조건 (나)에서 \(g'(x) = f''(x)\)이고 1단계에서 \(g(-1) = g(1) = 3\)이므로

\[ I = \Bigl[g(x)h(x)\Bigr]_{-1}^{1} - \int_{-1}^{1} g'(x)h(x)\,dx = g(1)h(1) - g(-1)h(-1) - \int_{-1}^{1} f''(x)h(x)\,dx \]

이다. 다시 \(\int_{-1}^{1} f''(x)h(x)\,dx\)에 부분적분법을 적용하면, 조건 (가)에서 \(f'(1) = f'(-1) = 0\)이므로

\[ \int_{-1}^{1} f''(x)h(x)\,dx = \Bigl[f'(x)h(x)\Bigr]_{-1}^{1} - \int_{-1}^{1} f'(x)h'(x)\,dx = 0 - \int_{-1}^{1} f'(x)h'(x)\,dx = -4 \]

이다. 따라서 조건 (나), (다)의 \(g(1) = g(-1) = 3\), \(h(1) = 6\), \(h(-1) = 2\)를 대입하면

\[ I = 3 \times 6 - 3 \times 2 - (-4) = 18 - 6 + 4 = 16 \]

이다.

[1단계] 단면 원 \(C_1\)의 넓이 및 접평면 \(\beta\)의 방정식 유도 (10점)

구 \(S\)의 중심 \(C(0, 0, 5)\)에서 평면 \(\alpha : z = 2\)에 내린 수선의 발을 \(H(0, 0, 2)\)라 하면, 점 \(C\)와 평면 \(\alpha\) 사이의 거리는 \(\overline{CH} = |5 - 2| = 3\)이다. 구의 반지름이 \(R = 5\)이므로 피타고라스 정리에 의하여 원 \(C_1\)의 반지름 \(r_1\)은

\[ r_1 = \sqrt{R^2 - \overline{CH}^2} = \sqrt{25 - 9} = 4 \]

이고, 따라서 원 \(C_1\)의 넓이는 \(S = \pi r_1^2 = 16\pi\)이다.

한편 구 \(S\) 위의 점 \(P(3, 0, 1)\)에서의 접평면 \(\beta\)는 반지름 \(CP\)에 수직이다. 평면 \(\beta\) 위의 임의의 점 \(Q(x, y, z)\)에 대하여 피타고라스 정리 \(\overline{CQ}^2 = \overline{CP}^2 + \overline{PQ}^2\)이 성립하므로

\[ x^2 + y^2 + (z - 5)^2 = 25 + (x - 3)^2 + y^2 + (z - 1)^2 \]

양변을 전개하여 정리하면 \(x^2 + y^2 + z^2 - 10z + 25 = 25 + x^2 - 6x + 9 + y^2 + z^2 - 2z + 1\)로부터

\[ 6x - 8z - 10 = 0 \iff 3x - 4z - 5 = 0 \]

이 평면 \(\beta\)의 방정식이다.

[2단계] 두 평면 \(\alpha, \beta\)가 이루는 이면각의 코사인값 및 정사영의 넓이 (10점)

직선 \(CH\)는 평면 \(\alpha\)에 수직이고, 직선 \(CP\)는 평면 \(\beta\)에 수직이다. 따라서 두 평면 \(\alpha\)와 \(\beta\)가 이루는 예각의 크기 \(\theta\)는 두 직선 \(CH\)와 \(CP\)가 이루는 예각의 크기와 같다.

세 점 \(C(0, 0, 5)\), \(H(0, 0, 2)\), \(P(3, 0, 1)\)는 모두 \(xz\)평면(\(y = 0\)) 위에 있으며, 점 \(P(3, 0, 1)\)에서 직선 \(CH\)(\(z\)축)에 내린 수선의 발을 \(K(0, 0, 1)\)이라 하면 직각삼각형 \(CKP\)에서

\[ \overline{CK} = 5 - 1 = 4, \quad \overline{KP} = 3, \quad \overline{CP} = 5 \]

이므로 \(\angle HCP = \theta\)에 대하여

\[ \cos\theta = \frac{\overline{CK}}{\overline{CP}} = \frac{4}{5} \]

이다. 따라서 원 \(C_1\)의 평면 \(\beta\) 위로의 정사영의 넓이 \(S'\)는

\[ S' = S\cos\theta = 16\pi \times \frac{4}{5} = \frac{64}{5}\pi \]

이다.

[1단계] 둘째 날 3경기에서 이길 확률 \(P(W_3)\)의 수식화 (8점)

첫째 날 두 경기 중 적어도 한 경기를 이기는 사건을 \(E\)라 하면, 여사건 \(E^c\)는 첫째 날 두 경기를 모두 지는 사건이다. 첫째 날 두 경기는 서로 독립이므로

\[ P(E^c) = (1 - x)(1 - y), \quad P(E) = 1 - (1 - x)(1 - y) \]

이다. 둘째 날 3경기에서 이기는 사건을 \(W_3\)이라 하면, 조건 (가)와 (나)에 의하여 \(P(W_3 | E) = x\), \(P(W_3 | E^c) = x \wedge y\)이다. 따라서 전체확률의 법칙(배반사건의 덧셈정리와 곱셈정리)에 의하여

\[ P(W_3) = P(E)P(W_3 | E) + P(E^c)P(W_3 | E^c) = x\bigl\{1 - (1 - x)(1 - y)\bigr\} + (x \wedge y)(1 - x)(1 - y) \]

이다.

[2단계] \(x = \dfrac{1}{3} \le y < 1\)일 때 \(P(W_3)\)와 \(P(W_4)\)의 계산 (6점)

\(x = \dfrac{1}{3}\)이고 \(\dfrac{1}{3} \le y < 1\)이므로 \(x \le y\)가 성립하여 \(x \wedge y = x = \dfrac{1}{3}\)이다. 이를 1단계의 식에 대입하면

\[ P(W_3) = \frac{1}{3}\bigl\{1 - P(E^c)\bigr\} + \frac{1}{3}P(E^c) = \frac{1}{3} \]

이다. 마찬가지로 둘째 날 4경기에서 이기는 사건을 \(W_4\)라 하면 \(P(W_4 | E) = y\), \(P(W_4 | E^c) = x \wedge y = \dfrac{1}{3}\)이고, \(P(E^c) = \left(1 - \dfrac{1}{3}\right)(1 - y) = \dfrac{2}{3}(1 - y)\), \(P(E) = 1 - \dfrac{2}{3}(1 - y) = \dfrac{1 + 2y}{3}\)이므로

\[ P(W_4) = y \cdot \frac{1 + 2y}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{2(1 - y)}{3} = \frac{6y^2 + y + 2}{9} \]

이다.

[3단계] 이차부등식의 풀이와 \(y\)의 값의 범위 결정 (6점)

조건에서 \(P(W_3) + P(W_4) \le \dfrac{10}{9}\)이므로

\[ \frac{1}{3} + \frac{6y^2 + y + 2}{9} \le \frac{10}{9} \iff 3 + 6y^2 + y + 2 \le 10 \iff 6y^2 + y - 5 \le 0 \]

좌변을 인수분해하면 \((6y - 5)(y + 1) \le 0\)이므로 \(-1 \le y \le \dfrac{5}{6}\)이다. 전제 조건 \(\dfrac{1}{3} \le y < 1\)과의 공통범위를 구하면

\[ \frac{1}{3} \le y \le \frac{5}{6} \]

이다.