| 회차 | 출제 기준 및 대표 모집단위 매핑 | 문항 배점 구성 |
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| 제10회 | 2027학년도 파이널 종합 실전모의고사 (변곡점 접선 개수·도함수 대칭 부분적분·공간도형 구와 정사영·2일차 조건부확률) | 문항1(30점) / 문항2(30점) / 문항3(20점) / 문항4(20점) |
최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 \(f(x)\)가 다음 세 조건을 모두 만족시킨다.
(가) 곡선 \(y = f(x)\)는 \(x = 1\)에서 변곡점을 갖는다.
(나) 실수 전체의 집합에서 정의된 함수
\[ g(x) = \begin{cases} x f'(x) + f(x) & (x \ge 0) \\ (1 - x)e^{-x} + 2\cos x & (x < 0) \end{cases} \]는 \(x = 0\)에서 미분가능하다.
(다) 점 \((0, k)\)에서 곡선 \(y = f(x)\)에 서로 다른 세 개의 접선을 그을 수 있는 실수 \(k\)의 값의 범위는 \(3 < k < 4\)이다.
다음 물음에 답하시오. [30점]
(1) 삼차함수 \(f(x)\)의 식을 구하고, 그 과정을 논리적으로 서술하시오. (20점)
(2) 함수 \(F(x) = \int_{0}^{x} |f(t)|\,dt\)라 할 때, 정적분 \(\int_{0}^{3} f(x)e^{F(x)}\,dx\)의 값을 구하고 그 과정을 논리적으로 서술하시오. (10점)
실수 전체의 집합에서 이계도함수를 갖는 세 함수 \(f(x), g(x), h(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.
(가) \(f(x) + f(-x) = 0\)이고, \(f'(-1) = f'(1) = 0\)이다.
(나) \(f''(x) = g'(x)\)이고, \(g(1) = 3\)이다.
(다) \(h(1) = 6\), \(h(-1) = 2\)이고, \(\int_{-1}^{1} f'(x)h'(x)\,dx = 4\)이다.
다음 물음에 답하시오. [30점]
(1) 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(g(-x) = g(x)\)가 성립함을 증명하시오. (10점)
(2) 정적분 \(\int_{0}^{1} g(x)\bigl(h'(x) + h'(-x)\bigr)\,dx\)의 값을 구하고, 그 과정을 논리적으로 서술하시오. (20점)
좌표공간에서 중심이 \(C(0, 0, 5)\)이고 반지름의 길이가 \(5\)인 구 \(S : x^2 + y^2 + (z - 5)^2 = 25\)가 있다. 구 \(S\)와 평면 \(\alpha : z = 2\)가 만나서 생기는 원을 \(C_1\)이라 하고, 구 \(S\) 위의 점 \(P(3, 0, 1)\)에서 구 \(S\)에 접하는 평면을 \(\beta\)라 하자. 다음 물음에 답하시오. [20점]
(1) 원 \(C_1\)의 넓이를 구하고, 구 \(S\) 위의 점 \(Q(x, y, z)\)가 접평면 \(\beta\) 위에 있을 필요충분조건(\(\overrightarrow{CP} \perp \overrightarrow{PQ}\))을 이용하여 평면 \(\beta\)의 방정식을 유도하시오. (10점)
(2) 두 평면 \(\alpha\)와 \(\beta\)가 이루는 예각의 크기를 \(\theta\)라 할 때 \(\cos\theta\)의 값을 구하고, 원 \(C_1\)의 평면 \(\beta\) 위로의 정사영의 넓이를 구하시오. (10점)
두 실수 \(x, y\)에 대하여 \(x, y\) 중 크지 않은 값을 \(x \wedge y\)라 하자. (즉, \(x \le y\)이면 \(x \wedge y = x\)이고, \(x > y\)이면 \(x \wedge y = y\)이다.)
어떤 선수가 이틀 동안 하루에 두 번씩 총 네 번의 경기를 치른다. 첫째 날에는 1경기와 2경기를 치르고, 둘째 날에는 3경기와 4경기를 치르며, 모든 경기에 무승부는 없다. 첫째 날 1경기에서 이길 확률은 \(x\), 2경기에서 이길 확률은 \(y\) (\(0 < x < 1, 0 < y < 1\))이고 첫째 날의 두 경기는 서로 독립이다. 둘째 날의 각 경기에서 이길 확률은 첫째 날의 결과에 따라 다음과 같이 정해진다.
(가) 첫째 날 치른 두 경기 중 적어도 한 경기를 이긴 경우, 둘째 날 3경기에서 이길 확률은 \(x\), 4경기에서 이길 확률은 \(y\)이다.
(나) 첫째 날 치른 두 경기를 모두 진 경우, 둘째 날 3경기에서 이길 확률과 4경기에서 이길 확률은 모두 \(x \wedge y\)이다.
다음 물음에 답하시오. [20점]
(1) 둘째 날 3경기에서 이길 확률 \(P(W_3)\)을 \(x, y, x \wedge y\)를 사용하여 나타내고, 그 과정을 서술하시오. (8점)
(2) \(x = \dfrac{1}{3}\)이고 \(\dfrac{1}{3} \le y < 1\)일 때, 둘째 날 3경기에서 이길 확률과 4경기에서 이길 확률의 합이 \(\dfrac{10}{9}\) 이하가 되도록 하는 실수 \(y\)의 값의 범위를 구하고 그 과정을 논리적으로 서술하시오. (12점)