2027학년도 고려대학교 자연계열 실전모의고사 5회분 문제집 (제1권 통합본)

좌표평면 위의 포물선 \(y = x^2\)과 점 \((0, 2)\)를 지나는 두 직선 \(y = a_n x + 2\), \(y = b_n x + 2\) (\(a_n < b_n\))가 다음 두 조건을 만족시킨다.

수열 \(\{a_n\}\)과 \(\{b_n\}\)에 대하여 세 극한값 \(\lim_{n \to \infty} \dfrac{a_n^2}{\sqrt[3]{n^2}}\), \(\lim_{n \to \infty} \dfrac{b_n}{\sqrt{n}}\), \(\lim_{n \to \infty} (b_n - a_n)\)을 각각 구하고, 그 과정을 논리적으로 서술하시오. [30점]

삼차함수 \(f(x) = x^3 - 6x\)와 최고차항의 계수가 양수인 이차함수 \(g(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다.

두 곡선 \(y = f(x)\)와 \(y = g(x)\)로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하고, 그 과정을 논리적으로 서술하시오. [30점]

두 초점이 \(F(c, 0)\), \(F'(-c, 0)\) (\(c > 0\))이고 장축의 길이가 \(8\)인 타원 \(C : \dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{16-c^2} = 1\)이 있다. 타원 \(C\) 위의 제1사분면의 점 \(P\)에 대하여 두 선분 \(PF\), \(PF'\)의 길이의 비가 \(1 : 3\)이고, 원점 \(O\)에 대하여 선분 \(OP\)의 길이가 \(\sqrt{7}\)이다. 이때 양수 \(c\)의 값과 삼각형 \(PF'F\)의 넓이를 각각 구하고, 그 과정을 논리적으로 서술하시오. [20점]

다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 정수 \(x_1, x_2, x_3, x_4\)의 모든 순서쌍 \((x_1, x_2, x_3, x_4)\)의 개수를 구하고, 그 과정을 논리적으로 서술하시오. [20점]

자연수 \(n\)에 대하여 최고차항의 계수가 음수인 이차함수 \(y = a x^2 + b_n x + c_n\)의 그래프가 다음 세 조건을 만족시킨다.

상수 \(a\)의 값과 극한값 \(\lim_{n \to \infty} d_{n+1}(d_{n+1} - d_n)\)을 각각 구하고, 그 과정을 논리적으로 서술하시오. [30점]

실수 전체의 집합에서 증가하고 미분가능한 역함수 \(g(x)\)를 갖는 삼차함수 \(f(x) = x^3 + bx^2 + cx + d\) (\(b, c, d\)는 상수)가 다음 두 조건을 만족시킨다.

(1) 상수 \(b, c, d\)의 값을 각각 구하시오. [12점]

(2) 정적분 \(\int_{-4}^{4} x\bigl(f(x) + 1\bigr)g(x)\,dx\)의 값을 구하고, 그 과정을 논리적으로 서술하시오. [18점]

좌표평면 위의 두 점 \(A(\sqrt{3}, \sqrt{6})\), \(B(-\sqrt{3}, -\sqrt{6})\)과 점 \(P(x, y)\)가 다음 벡터 방정식을 만족시킨다.

\[ \bigl|\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OA}\bigr| + \bigl|\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OB}\bigr| = 6\sqrt{2} \]

점 \(P\)가 나타내는 곡선 \(C\)와 만나지 않는 직선 \(L : y = -\dfrac{1}{\sqrt{2}}x + a\) (\(a > 6\))에 대하여, 곡선 \(C\) 위의 점에서 직선 \(L\)까지의 거리가 최대가 되는 점을 \(Q_1(x_1, y_1)\), 최소가 되는 점을 \(Q_2(x_2, y_2)\)라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) \(x_1 + x_2\)의 값을 구하고, 그 이유를 곡선 \(C\)의 대칭성을 이용하여 서술하시오. [8점]

(2) 점 \(Q_2\)에서 직선 \(L\)까지의 거리가 \(\sqrt{6}\)일 때, 양수 \(a\)의 값과 삼각형 \(ABQ_1\)의 둘레의 길이를 각각 구하고 그 과정을 논리적으로 서술하시오. [12점]

\(0\)부터 \(9\)까지의 서로 다른 \(10\)개의 숫자 중에서 \(6\)개를 택하여 일렬로 나열한 \(6\)자리 보안코드 \(\text{①②③④⑤⑥}\)이 다음 세 조건을 만족시킨다.

\(6\)개의 숫자 \(\text{①, ②, ③, ④, ⑤, ⑥}\)이 모두 다른 보안코드의 총개수와 그중 가장 작은 보안코드를 각각 구하고, 그 과정을 논리적으로 서술하시오. [20점]

최고차항의 계수가 양수인 이차함수 \(f(x)\)와 실수 전체의 집합에서 정의된 함수

\[ g(x) = \int_{0}^{x} \bigl(2 - f(t)\bigr)\,dt + 2\int_{x}^{1} f(t)\,dt \]

가 다음 세 조건을 만족시킨다.

이때 정적분 \(\int_{0}^{1} x g(x)\,dx\)의 값과 무한급수 \(\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \dfrac{\pi}{n} g\!\left(\sin\dfrac{k\pi}{2n}\right)\cos\dfrac{k\pi}{2n}\)의 값을 각각 구하고, 그 과정을 논리적으로 서술하시오. [30점]

실수 전체의 집합에서 이계도함수가 연속인 세 함수 \(f(x), g(x), h(x)\)가 다음 세 조건을 만족시킨다.

(1) 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(g(-x) = g(x)\)가 성립함을 보이시오. [10점]

(2) 정적분 \(\int_{0}^{1} g(x)\bigl(h'(x) + h'(-x)\bigr)\,dx\)의 값을 구하고, 그 과정을 논리적으로 서술하시오. [20점]

평면 위의 삼각형 \(OAB\)에서 \(\overline{OA} = 4\), \(\overline{OB} = 6\), \(\angle AOB = \dfrac{\pi}{3}\)이다. 선분 \(OA\)의 중점을 \(M\), 선분 \(OB\)를 \(1 : 2\)로 내분하는 점을 \(N\)이라 하자. 점 \(M\)에서 직선 \(AB\)에 내린 수선의 발을 \(H\)라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) \(\overrightarrow{OA} = \vec{a}\), \(\overrightarrow{OB} = \vec{b}\)라 할 때, 벡터 \(\overrightarrow{MN}\)을 \(\vec{a}, \vec{b}\)로 나타내시오.

(2) 선분 \(MH\)의 길이를 구하고, 그 과정을 논리적으로 서술하시오. [20점]

어느 인공지능 로봇이 사흘(1일차, 2일차, 3일차) 동안 매일 한 번씩 자율주행 미션을 수행한다. 각 날짜의 미션은 성공하거나 실패하며, 다음 규칙을 따른다.

2일차 미션에 성공할 확률을 \(p_2\), 3일차 미션에 성공할 확률을 \(p_3\)이라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) \(p_2\)와 \(p_3\)을 각각 \(p\)에 대한 식으로 나타내시오.

(2) 3일차 미션에 성공했을 때 1일차 미션에도 성공했을 조건부확률이 \(\dfrac{9}{14}\)가 되도록 하는 상수 \(p\)의 값을 구하고, 그 과정을 논리적으로 서술하시오. [20점]

매개변수 \(t\) (\(0 \lt t \lt \dfrac{\pi}{2}\))로 나타내어진 곡선

\[ x(t) = 2\cos^3 t, \quad y(t) = 4\sin^3 t \]

위의 점 \(P\bigl(2\cos^3 a,\, 4\sin^3 a\bigr)\) (\(0 \lt a \lt \dfrac{\pi}{2}\))에서의 접선을 \(\ell_a\)라 하자. 직선 \(\ell_a\)와 \(x\)축, \(y\)축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 \(S(a)\)라 하고, 직선 \(\ell_a\)가 직선 \(L_a : y = -(\tan a)x\)와 이루는 예각의 크기를 \(\theta(a)\)라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) 접선 \(\ell_a\)의 방정식을 구하고, 삼각형의 넓이 \(S(a)\)가 가질 수 있는 최댓값을 구하시오. [15점]

(2) \(\tan\bigl(\theta(a)\bigr)\)의 최댓값과 그때의 \(\tan a\)의 값을 각각 구하고, 그 과정을 논리적으로 서술하시오. [15점]

최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수 \(f(x)\)와 실수 전체의 집합에서 정의된 함수

\[ g(x) = \begin{cases} ax + b & (x < 0) \\ f(x) & (x \ge 0) \end{cases} \]

가 다음 세 조건을 만족시킨다.

함수 \(f(x)\)의 한 부정적분 \(F(x)\)가 \(F(0) = 0\)을 만족시킬 때, 상수 \(a, b\)의 값과 정적분 \(\int_{0}^{2} f(x) e^{F(x)}\,dx\)의 값을 각각 구하고, 그 과정을 논리적으로 서술하시오. [30점]

좌표평면 위에 세 정점 \(A_1(-2, 1)\), \(A_2(2, -1)\), \(A_3(4, 7)\)과 원 \(C : (x - 5)^2 + (y - 5)^2 = 4\)가 있다. 원 \(C\) 위를 움직이는 점 \(P\)에 대하여

\[ \bigl|\overrightarrow{A_1 P} + 3\overrightarrow{A_2 P} + 2\overrightarrow{A_3 P}\bigr|^2 \]

의 최솟값과 최댓값을 각각 구하고, 그 과정을 논리적으로 서술하시오. [20점]

자연수 \(n\)에 대하여 주머니 속에 흰 공 \(n\)개, 검은 공 \((n+2)\)개, 붉은 공 \((n+4)\)개가 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 \(2\)개의 공을 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 \(2\)개의 공이 서로 같은 색일 경우의 수를 \(a_n\)이라 하자.

(1) 수열 \(\{a_n\}\)의 일반항을 \(n\)에 대한 다항식으로 나타내시오.

(2) 무한급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{a_n + 6n + 11}\)의 합을 구하고, 그 과정을 논리적으로 서술하시오. [20점]

자연수 \(n\)에 대하여 반지름의 길이가 \(R_n\)인 원 \(C_n\)에 내접하는 사각형 \(A_n B_n C_n D_n\)이 다음 세 조건을 만족시킨다.

이때 외접원의 반지름 \(R_n\)과 사각형의 넓이 \(S_n\)을 각각 \(n\)에 대한 식으로 나타내고, 극한값 \(\lim_{n \to \infty} \dfrac{S_n}{R_n^2}\)을 구하는 과정을 논리적으로 서술하시오. [30점]

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(f(x) = \ln(1 + e^{2x}) - x\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

(1) 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(-x) = f(x)\)가 성립함을 보이고, 정적분 \(\int_{-1}^{1} \bigl(x f'(x) + f(x)\bigr)\,dx\)의 값을 구하시오.

(2) 자연수 \(n\)에 대하여 정적분 \(I_n = \int_{0}^{1} x^{n-1} f(x)\,dx\)라 할 때, 모든 실수 \(x \in [0, 1]\)에서 부등식 \(\ln 2 \le f(x) \le \ln(1 + e^2) - 1\)이 성립함을 보이고, 이를 이용하여 극한값 \(\lim_{n \to \infty} n I_n\)을 구하는 과정을 논리적으로 서술하시오. [30점]

좌표공간에서 중심이 \(C(0, 0, 5)\)이고 반지름의 길이가 \(5\)인 구 \(S : x^2 + y^2 + (z - 5)^2 = 25\)가 평면 \(\alpha : z = 2\)와 만나서 생기는 원을 \(C_1\)이라 하자. 원 \(C_1\) 위의 점 \(A(0, 4, 2)\)에서 구 \(S\)에 접하는 평면을 \(\gamma\)라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) 원 \(C_1\)의 넓이를 구하시오.

(2) 구 \(S\)의 중심 \(C(0, 0, 5)\)와 점 \(A(0, 4, 2)\)에서의 구 \(S\)의 접평면 \(\gamma\)에 대하여, 원 \(C_1\)의 평면 \(\gamma\) 위로의 정사영의 넓이를 구하고 그 과정을 논리적으로 서술하시오. [20점]

한 개의 주사위를 던져 \(3\)의 배수의 눈이 나오면 \(+3\)점을 얻고, \(3\)의 배수가 아닌 눈이 나오면 \(-1\)점을 얻는 게임을 한다. 이 주사위를 \(72\)번 반복하여 던질 때, \(3\)의 배수의 눈이 나오는 횟수를 확률변수 \(X\), \(72\)번의 시행 후 얻는 총점수를 확률변수 \(Y\)라 하자.

(1) 확률변수 \(Y\)를 \(X\)에 대한 일차식으로 나타내고, \(Y\)의 평균 \(\mathrm{E}(Y)\)와 표준편차 \(\sigma(Y)\)를 각각 구하시오.

(2) 확률변수 \(X\)가 충분히 큰 시행 횟수에 의해 근사적으로 정규분포를 따른다고 할 때, 총점수 \(Y\)가 \(48\)점 이상일 확률 \(\mathrm{P}(Y \ge 48)\)을 아래 표준정규분포표를 이용하여 구하고, 그 과정을 논리적으로 서술하시오. [20점]