| 회차 | 출제 기준 및 대표 모집단위 매핑 | 문항 배점 구성 |
|---|---|---|
| 제1회 | 2026학년도 자연계 오전 기출 완벽 변형 (이과대·생명과학대·수학교육·간호대 표준) | 문항1(30점) / 문항2(30점) / 문항3(20점) / 문항4(20점) |
| 제2회 | 2026학년도 자연계 오후 기출 완벽 변형 (공과대·정보대·스마트보안·보건과학대 표준) | 문항1(30점) / 문항2(30점) / 문항3(20점) / 문항4(20점) |
| 제3회 | 2025학년도 자연계 오전 기출 완벽 변형 (정적분 정의 함수·부분적분·벡터 내적·조건부확률) | 문항1(30점) / 문항2(30점) / 문항3(20점) / 문항4(20점) |
| 제4회 | 2025학년도 자연계 오후 기출 완벽 변형 (매개변수 미분·변곡점 초월함수·원 위 벡터·망원급수) | 문항1(30점) / 문항2(30점) / 문항3(20점) / 문항4(20점) |
| 제5회 | 2027학년도 신유형 파이널 고난도 융합 (삼각함수·수열극한·초월함수 적분·공간도형 정사영·확률분포) | 문항1(30점) / 문항2(30점) / 문항3(20점) / 문항4(20점) |
| 제6회 | 2024학년도 모의논술 완벽 변형 (조각함수 교점 영역·변곡점 접선 개수·정다각형 벡터 내적·비복원 기댓값) | 문항1(30점) / 문항2(30점) / 문항3(20점) / 문항4(20점) |
| 제7회 | 2023학년도 모의논술 완벽 변형 (초월극한과 정적분·삼차함수 교점 극한·반원 벡터 최단거리·직병렬 회로 확률) | 문항1(30점) / 문항2(30점) / 문항3(20점) / 문항4(20점) |
| 제8회 | 2026학년도 자연계 오전·오후 심화 변형 I (포물선 할선 차분극한·기함수 역함수 대칭적분·타원 내접원·중복조합) | 문항1(30점) / 문항2(30점) / 문항3(20점) / 문항4(20점) |
| 제9회 | 2025학년도 자연계 오전·오후 심화 변형 II (정적분 극대·매개변수 곡선 넓이·삼등분점 가중벡터·제한된 공 선택과 급수) | 문항1(30점) / 문항2(30점) / 문항3(20점) / 문항4(20점) |
| 제10회 | 2027학년도 파이널 종합 실전모의고사 (변곡점 접선 개수·도함수 대칭 부분적분·공간도형 구와 정사영·2일차 조건부확률) | 문항1(30점) / 문항2(30점) / 문항3(20점) / 문항4(20점) |
좌표평면 위의 포물선 \(y = x^2\)과 점 \((0, 2)\)를 지나는 두 직선 \(y = a_n x + 2\), \(y = b_n x + 2\) (\(a_n < b_n\))가 다음 두 조건을 만족시킨다.
(가) 자연수 \(n\)에 대하여 포물선 \(y = x^2\)과 직선 \(y = a_n x + 2\)로 둘러싸인 도형의 넓이는 \(\dfrac{4}{3}n\)이다.
(나) 자연수 \(n\)에 대하여 포물선 \(y = x^2\)과 직선 \(y = b_n x + 2\)의 두 교점 사이의 거리는 \(\sqrt{2}\,n\)이다. (단, \(n \ge 5\))
수열 \(\{a_n\}\)과 \(\{b_n\}\)에 대하여 세 극한값 \(\lim_{n \to \infty} \dfrac{a_n^2}{\sqrt[3]{n^2}}\), \(\lim_{n \to \infty} \dfrac{b_n}{\sqrt{n}}\), \(\lim_{n \to \infty} (b_n - a_n)\)을 각각 구하고, 그 과정을 논리적으로 서술하시오. [30점]
삼차함수 \(f(x) = x^3 - 6x\)와 최고차항의 계수가 양수인 이차함수 \(g(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \((0, 0)\)에서의 접선과 곡선 \(y = g(x)\) 위의 점 \((0, g(0))\)에서의 접선은 서로 평행하다.
(나) 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(g'(x) - g'(-x) = 4x\)이다.
(다) 두 곡선 \(y = f(x)\)와 \(y = g(x)\)는 한 점에서 접하고 다른 한 점에서 만난다. (단, 접점의 \(x\)좌표는 양수이다.)
두 곡선 \(y = f(x)\)와 \(y = g(x)\)로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하고, 그 과정을 논리적으로 서술하시오. [30점]
두 초점이 \(F(c, 0)\), \(F'(-c, 0)\) (\(c > 0\))이고 장축의 길이가 \(8\)인 타원 \(C : \dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{16-c^2} = 1\)이 있다. 타원 \(C\) 위의 제1사분면의 점 \(P\)에 대하여 두 선분 \(PF\), \(PF'\)의 길이의 비가 \(1 : 3\)이고, 원점 \(O\)에 대하여 선분 \(OP\)의 길이가 \(\sqrt{7}\)이다. 이때 양수 \(c\)의 값과 삼각형 \(PF'F\)의 넓이를 각각 구하고, 그 과정을 논리적으로 서술하시오. [20점]
다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 정수 \(x_1, x_2, x_3, x_4\)의 모든 순서쌍 \((x_1, x_2, x_3, x_4)\)의 개수를 구하고, 그 과정을 논리적으로 서술하시오. [20점]
(가) \(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 15\)
(나) 세 수 \(x_1, x_2, x_3\) 중 적어도 하나는 홀수이다.
(다) \(x_4\)는 \(3\)의 배수이다.
자연수 \(n\)에 대하여 최고차항의 계수가 음수인 이차함수 \(y = a x^2 + b_n x + c_n\)의 그래프가 다음 세 조건을 만족시킨다.
(가) 곡선 \(y = a x^2 + b_n x + c_n\)과 곡선 \(y = x^2\)으로 둘러싸인 도형의 넓이는 \(\dfrac{8}{3}n\)이다.
(나) 곡선 \(y = a x^2 + b_n x + c_n\)의 꼭짓점의 \(y\)좌표 \(y_n\)에 대하여 \(\lim_{n \to \infty} \dfrac{y_n}{\sqrt[3]{n^2}} = 4\)이다.
(다) 곡선 \(y = a x^2 + b_n x + c_n\)과 직선 \(y = b_n x - 2\)가 만나는 두 점 중 \(x\)좌표가 양수인 점의 \(x\)좌표 \(d_n\)에 대하여 \(\lim_{n \to \infty} \dfrac{d_n}{\sqrt[3]{n}} = 1\)이다.
상수 \(a\)의 값과 극한값 \(\lim_{n \to \infty} d_{n+1}(d_{n+1} - d_n)\)을 각각 구하고, 그 과정을 논리적으로 서술하시오. [30점]
실수 전체의 집합에서 증가하고 미분가능한 역함수 \(g(x)\)를 갖는 삼차함수 \(f(x) = x^3 + bx^2 + cx + d\) (\(b, c, d\)는 상수)가 다음 두 조건을 만족시킨다.
(가) 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(-x) = -f(x)\)이고 \(f'(x) > 0\)이다.
(나) \(\lim_{x \to 0} \dfrac{f(x) - 3g(x)}{x} = 2\)이다.
(1) 상수 \(b, c, d\)의 값을 각각 구하시오. [12점]
(2) 정적분 \(\int_{-4}^{4} x\bigl(f(x) + 1\bigr)g(x)\,dx\)의 값을 구하고, 그 과정을 논리적으로 서술하시오. [18점]
좌표평면 위의 두 점 \(A(\sqrt{3}, \sqrt{6})\), \(B(-\sqrt{3}, -\sqrt{6})\)과 점 \(P(x, y)\)가 다음 벡터 방정식을 만족시킨다.
\[ \bigl|\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OA}\bigr| + \bigl|\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OB}\bigr| = 6\sqrt{2} \]점 \(P\)가 나타내는 곡선 \(C\)와 만나지 않는 직선 \(L : y = -\dfrac{1}{\sqrt{2}}x + a\) (\(a > 6\))에 대하여, 곡선 \(C\) 위의 점에서 직선 \(L\)까지의 거리가 최대가 되는 점을 \(Q_1(x_1, y_1)\), 최소가 되는 점을 \(Q_2(x_2, y_2)\)라 할 때, 다음 물음에 답하시오.
(1) \(x_1 + x_2\)의 값을 구하고, 그 이유를 곡선 \(C\)의 대칭성을 이용하여 서술하시오. [8점]
(2) 점 \(Q_2\)에서 직선 \(L\)까지의 거리가 \(\sqrt{6}\)일 때, 양수 \(a\)의 값과 삼각형 \(ABQ_1\)의 둘레의 길이를 각각 구하고 그 과정을 논리적으로 서술하시오. [12점]
\(0\)부터 \(9\)까지의 서로 다른 \(10\)개의 숫자 중에서 \(6\)개를 택하여 일렬로 나열한 \(6\)자리 보안코드 \(\text{①②③④⑤⑥}\)이 다음 세 조건을 만족시킨다.
(가) 첫째 자리와 둘째 자리로 이루어진 두 자리 수 \(\text{①②}\)는 \(20\) 이상 \(24\) 이하의 자연수이다.
(나) 셋째 자리와 넷째 자리로 이루어진 두 자리 수 \(\text{③④}\)는 \(01\) 이상 \(12\) 이하의 자연수이다. (즉, \(\text{③} = 0\)이면 \(\text{④} \in \{1,2,\dots,9\}\)이고, \(\text{③} = 1\)이면 \(\text{④} \in \{0, 1, 2\}\)이다.)
(다) 다섯째 자리 숫자 \(\text{⑤}\)는 \(0, 1, 2, 3\) 중 하나이고, 여섯째 자리 숫자 \(\text{⑥}\)은 짝수이다.
\(6\)개의 숫자 \(\text{①, ②, ③, ④, ⑤, ⑥}\)이 모두 다른 보안코드의 총개수와 그중 가장 작은 보안코드를 각각 구하고, 그 과정을 논리적으로 서술하시오. [20점]
최고차항의 계수가 양수인 이차함수 \(f(x)\)와 실수 전체의 집합에서 정의된 함수
\[ g(x) = \int_{0}^{x} \bigl(2 - f(t)\bigr)\,dt + 2\int_{x}^{1} f(t)\,dt \]가 다음 세 조건을 만족시킨다.
(가) 함수 \(g(x)\)는 \(x = 0\)과 \(x = \dfrac{4}{3}\)에서 극값을 갖는다.
(나) 함수 \(g(x)\)의 극댓값과 극솟값의 합은 \(2\)이다.
(다) 방정식 \(f(x) = 0\)의 모든 실근은 열린구간 \(\left(0, \dfrac{4}{3}\right)\)에 속하고 \(f(1) < 0\)이다.
이때 정적분 \(\int_{0}^{1} x g(x)\,dx\)의 값과 무한급수 \(\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \dfrac{\pi}{n} g\!\left(\sin\dfrac{k\pi}{2n}\right)\cos\dfrac{k\pi}{2n}\)의 값을 각각 구하고, 그 과정을 논리적으로 서술하시오. [30점]
실수 전체의 집합에서 이계도함수가 연속인 세 함수 \(f(x), g(x), h(x)\)가 다음 세 조건을 만족시킨다.
(가) 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x) + f(-x) = 0\)이고 \(f''(x) = g'(x)\)이다.
(나) \(f'(1) = 0\), \(g(1) = 4\)이다.
(다) \(h(1) = 5\), \(h(-1) = 1\)이고 \(\int_{-1}^{1} f'(x)h'(x)\,dx = 6\)이다.
(1) 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(g(-x) = g(x)\)가 성립함을 보이시오. [10점]
(2) 정적분 \(\int_{0}^{1} g(x)\bigl(h'(x) + h'(-x)\bigr)\,dx\)의 값을 구하고, 그 과정을 논리적으로 서술하시오. [20점]
평면 위의 삼각형 \(OAB\)에서 \(\overline{OA} = 4\), \(\overline{OB} = 6\), \(\angle AOB = \dfrac{\pi}{3}\)이다. 선분 \(OA\)의 중점을 \(M\), 선분 \(OB\)를 \(1 : 2\)로 내분하는 점을 \(N\)이라 하자. 점 \(M\)에서 직선 \(AB\)에 내린 수선의 발을 \(H\)라 할 때, 다음 물음에 답하시오.
(1) \(\overrightarrow{OA} = \vec{a}\), \(\overrightarrow{OB} = \vec{b}\)라 할 때, 벡터 \(\overrightarrow{MN}\)을 \(\vec{a}, \vec{b}\)로 나타내시오.
(2) 선분 \(MH\)의 길이를 구하고, 그 과정을 논리적으로 서술하시오. [20점]
어느 인공지능 로봇이 사흘(1일차, 2일차, 3일차) 동안 매일 한 번씩 자율주행 미션을 수행한다. 각 날짜의 미션은 성공하거나 실패하며, 다음 규칙을 따른다.
(가) 1일차 미션에 성공할 확률은 \(p\) (\(0 \lt p \lt 1\))이다.
(나) \(k\)일차(\(k = 1, 2\)) 미션에 성공했을 때 \((k+1)\)일차 미션에 성공할 조건부확률은 \(\dfrac{3}{4}\)이다.
(다) \(k\)일차(\(k = 1, 2\)) 미션에 실패했을 때 \((k+1)\)일차 미션에 성공할 조건부확률은 \(\dfrac{1}{4}\)이다.
2일차 미션에 성공할 확률을 \(p_2\), 3일차 미션에 성공할 확률을 \(p_3\)이라 할 때, 다음 물음에 답하시오.
(1) \(p_2\)와 \(p_3\)을 각각 \(p\)에 대한 식으로 나타내시오.
(2) 3일차 미션에 성공했을 때 1일차 미션에도 성공했을 조건부확률이 \(\dfrac{9}{14}\)가 되도록 하는 상수 \(p\)의 값을 구하고, 그 과정을 논리적으로 서술하시오. [20점]
매개변수 \(t\) (\(0 \lt t \lt \dfrac{\pi}{2}\))로 나타내어진 곡선
\[ x(t) = 2\cos^3 t, \quad y(t) = 4\sin^3 t \]위의 점 \(P\bigl(2\cos^3 a,\, 4\sin^3 a\bigr)\) (\(0 \lt a \lt \dfrac{\pi}{2}\))에서의 접선을 \(\ell_a\)라 하자. 직선 \(\ell_a\)와 \(x\)축, \(y\)축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 \(S(a)\)라 하고, 직선 \(\ell_a\)가 직선 \(L_a : y = -(\tan a)x\)와 이루는 예각의 크기를 \(\theta(a)\)라 할 때, 다음 물음에 답하시오.
(1) 접선 \(\ell_a\)의 방정식을 구하고, 삼각형의 넓이 \(S(a)\)가 가질 수 있는 최댓값을 구하시오. [15점]
(2) \(\tan\bigl(\theta(a)\bigr)\)의 최댓값과 그때의 \(\tan a\)의 값을 각각 구하고, 그 과정을 논리적으로 서술하시오. [15점]
최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수 \(f(x)\)와 실수 전체의 집합에서 정의된 함수
\[ g(x) = \begin{cases} ax + b & (x < 0) \\ f(x) & (x \ge 0) \end{cases} \]가 다음 세 조건을 만족시킨다.
(가) 함수 \(g(x)\)는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.
(나) 곡선 \(y = f(x)\)의 변곡점의 좌표는 \((1, 2)\)이다.
(다) 점 \((0, k)\)에서 곡선 \(y = g(x)\)에 그을 수 있는 접선의 개수가 \(3\)이 되도록 하는 실수 \(k\)의 값의 범위는 \(4 \lt k \lt \dfrac{116}{27}\)이다.
함수 \(f(x)\)의 한 부정적분 \(F(x)\)가 \(F(0) = 0\)을 만족시킬 때, 상수 \(a, b\)의 값과 정적분 \(\int_{0}^{2} f(x) e^{F(x)}\,dx\)의 값을 각각 구하고, 그 과정을 논리적으로 서술하시오. [30점]
좌표평면 위에 세 정점 \(A_1(-2, 1)\), \(A_2(2, -1)\), \(A_3(4, 7)\)과 원 \(C : (x - 5)^2 + (y - 5)^2 = 4\)가 있다. 원 \(C\) 위를 움직이는 점 \(P\)에 대하여
\[ \bigl|\overrightarrow{A_1 P} + 3\overrightarrow{A_2 P} + 2\overrightarrow{A_3 P}\bigr|^2 \]의 최솟값과 최댓값을 각각 구하고, 그 과정을 논리적으로 서술하시오. [20점]
자연수 \(n\)에 대하여 주머니 속에 흰 공 \(n\)개, 검은 공 \((n+2)\)개, 붉은 공 \((n+4)\)개가 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 \(2\)개의 공을 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 \(2\)개의 공이 서로 같은 색일 경우의 수를 \(a_n\)이라 하자.
(1) 수열 \(\{a_n\}\)의 일반항을 \(n\)에 대한 다항식으로 나타내시오.
(2) 무한급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{a_n + 6n + 11}\)의 합을 구하고, 그 과정을 논리적으로 서술하시오. [20점]
자연수 \(n\)에 대하여 반지름의 길이가 \(R_n\)인 원 \(C_n\)에 내접하는 사각형 \(A_n B_n C_n D_n\)이 다음 세 조건을 만족시킨다.
(가) \(\overline{A_n B_n} = 2^n\), \(\overline{B_n C_n} = 2^{n+1}\), \(\angle A_n B_n C_n = \dfrac{2\pi}{3}\)이다.
(나) \(\overline{C_n D_n} = \overline{D_n A_n}\)이다.
(다) 사각형 \(A_n B_n C_n D_n\)의 넓이를 \(S_n\)이라 하자.
이때 외접원의 반지름 \(R_n\)과 사각형의 넓이 \(S_n\)을 각각 \(n\)에 대한 식으로 나타내고, 극한값 \(\lim_{n \to \infty} \dfrac{S_n}{R_n^2}\)을 구하는 과정을 논리적으로 서술하시오. [30점]
실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(f(x) = \ln(1 + e^{2x}) - x\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
(1) 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(-x) = f(x)\)가 성립함을 보이고, 정적분 \(\int_{-1}^{1} \bigl(x f'(x) + f(x)\bigr)\,dx\)의 값을 구하시오.
(2) 자연수 \(n\)에 대하여 정적분 \(I_n = \int_{0}^{1} x^{n-1} f(x)\,dx\)라 할 때, 모든 실수 \(x \in [0, 1]\)에서 부등식 \(\ln 2 \le f(x) \le \ln(1 + e^2) - 1\)이 성립함을 보이고, 이를 이용하여 극한값 \(\lim_{n \to \infty} n I_n\)을 구하는 과정을 논리적으로 서술하시오. [30점]
좌표공간에서 중심이 \(C(0, 0, 5)\)이고 반지름의 길이가 \(5\)인 구 \(S : x^2 + y^2 + (z - 5)^2 = 25\)가 평면 \(\alpha : z = 2\)와 만나서 생기는 원을 \(C_1\)이라 하자. 원 \(C_1\) 위의 점 \(A(0, 4, 2)\)에서 구 \(S\)에 접하는 평면을 \(\gamma\)라 할 때, 다음 물음에 답하시오.
(1) 원 \(C_1\)의 넓이를 구하시오.
(2) 구 \(S\)의 중심 \(C(0, 0, 5)\)와 점 \(A(0, 4, 2)\)에서의 구 \(S\)의 접평면 \(\gamma\)에 대하여, 원 \(C_1\)의 평면 \(\gamma\) 위로의 정사영의 넓이를 구하고 그 과정을 논리적으로 서술하시오. [20점]
한 개의 주사위를 던져 \(3\)의 배수의 눈이 나오면 \(+3\)점을 얻고, \(3\)의 배수가 아닌 눈이 나오면 \(-1\)점을 얻는 게임을 한다. 이 주사위를 \(72\)번 반복하여 던질 때, \(3\)의 배수의 눈이 나오는 횟수를 확률변수 \(X\), \(72\)번의 시행 후 얻는 총점수를 확률변수 \(Y\)라 하자.
(1) 확률변수 \(Y\)를 \(X\)에 대한 일차식으로 나타내고, \(Y\)의 평균 \(\mathrm{E}(Y)\)와 표준편차 \(\sigma(Y)\)를 각각 구하시오.
(2) 확률변수 \(X\)가 충분히 큰 시행 횟수에 의해 근사적으로 정규분포를 따른다고 할 때, 총점수 \(Y\)가 \(48\)점 이상일 확률 \(\mathrm{P}(Y \ge 48)\)을 아래 표준정규분포표를 이용하여 구하고, 그 과정을 논리적으로 서술하시오. [20점]
[표준정규분포표] 표준정규분포를 따르는 확률변수 \(Z\)에 대하여 \(\mathrm{P}(0 \le Z \le z)\)의 값:
\(\mathrm{P}(0 \le Z \le 1.0) = 0.3413\), \(\quad \mathrm{P}(0 \le Z \le 1.5) = 0.4332\), \(\quad \mathrm{P}(0 \le Z \le 2.0) = 0.4772\)
실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(\sigma(x)\)를
\[ \sigma(x) = \begin{cases} x & (x \ge 0) \\ 0 & (x < 0) \end{cases} \]이라 하자. 다음 물음에 답하시오. [30점]
(1) \(b \le c\)인 두 실수 \(b, c\)에 대하여 \(g_1(x) = -\sigma(-x+b)+2\), \(h_1(x) = -\sigma(x-c)+3\)이라 하자. 함수 \(f_1(x) = \sigma(g_1(x)) + \sigma(h_1(x))\)가 실수 전체의 집합에서 미분가능하지 않은 점의 개수가 \(3\)이 되도록 하는 \(b\)와 \(c\) 사이의 관계식을 구하고, 그 이유를 논리적으로 서술하시오. (10점)
(2) 함수 \(g(x) = -\sigma(-x-2)+2\)와 사다리꼴 모양의 함수 \(H(x) = \sigma(g(x)) + \sigma(g(-x)) - 2\)에 대하여, 함수 \(f_2(x) = (x-p)(x-q)\,H(x)\)가 실수 전체의 집합에서 오직 두 점에서만 미분가능하지 않고 \(f_2(0) > 0\)을 만족시키도록 하는 두 실수 \(p, q\)의 순서쌍 \((p, q)\)를 모두 구하시오. (10점)
(3) 위 (2)의 함수 \(y = H(x)\)의 그래프와 직선 \(y = mx + n\)이 서로 다른 세 점에서 만나도록 하는 두 실수 \(m, n\)에 대하여, 순서쌍 \((m, n)\)이 좌표평면에서 나타내는 영역의 넓이를 구하시오. (10점)
삼차함수 \(f(x) = x^3 + px^2 + qx + r\)가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) \(p, q, r\)은 정수이고 \(p \ne 0\)이다.
(나) 곡선 \(y = f(x)\)의 변곡점에서의 접선의 방정식은 \(y = -2x\)이다.
다음 물음에 답하시오. [30점]
(1) 세 정수 \(p, q, r\)의 곱 \(pqr\)이 최솟값을 갖도록 하는 삼차함수 \(f(x)\)를 모두 구하고, 그 과정을 논리적으로 서술하시오. (12점)
(2) 극한값 \(\lim_{p \to \infty} \dfrac{pq}{r}\)을 구하고, 그 이유를 서술하시오. (8점)
(3) 점 \((-3, 2)\)를 지나고 곡선 \(y = f(x)\)에 접하는 직선이 서로 다른 \(3\)개가 되도록 하는 자연수 \(p\)의 값을 모두 구하고, 그 과정을 논리적으로 서술하시오. (10점)
좌표평면 위에서 반지름의 길이가 \(2\)인 원 위에 호의 길이가
\[ \widehat{AB_1} = \widehat{B_1 B_2} = \widehat{B_2 B_3} = \cdots = \widehat{B_{n-1} B_n} = \widehat{B_n A} \]를 만족시키도록 점 \(A\)와 \(n\)개의 점 \(B_1, B_2, \dots, B_n\)이 시계 반대 방향으로 순서대로 놓여 있다. 벡터 \(\vec{b}_i = \overrightarrow{AB_i}\) (\(1 \le i \le n\))이라 할 때, 다음 물음에 답하시오. [20점]
(1) \(n = 7\)일 때, 두 벡터의 내적 \(\vec{b}_2 \cdot \vec{b}_5\)의 값을 구하고, 그 과정을 논리적으로 서술하시오. (8점)
(2) 극한값 \(\lim_{n \to \infty} \left\{ \vec{b}_1 \cdot \left(\sum_{i=1}^{n} \vec{b}_i\right) \right\}\)를 구하고, 그 과정을 논리적으로 서술하시오. (12점)
경품 추첨 행사에서 진홍색 공 \(5\)개와 파란색 공 \(5\)개가 들어 있는 주머니가 준비되어 있다. 한 사람이 이 주머니에서 공을 한 개씩 총 네 번 뽑을 기회가 주어지며, 한 번 뽑은 공은 다시 주머니에 넣지 않는다(비복원추출). 다음 물음에 답하시오. [20점]
(1) 네 번째 기회에서 진홍색 공을 뽑을 확률을 구하고, 그 이유를 논리적으로 서술하시오. (8점)
(2) 첫 번째 기회에서 진홍색 공을 뽑으면 \(100\)만 원, 네 번째 기회에서 진홍색 공을 뽑으면 \(300\)만 원의 상금을 받는다(두 번 모두 진홍색 공을 뽑으면 두 상금을 합산하여 받는다). 공을 네 번 뽑았을 때 받게 되는 총상금액(단위: 만 원)을 확률변수 \(X\)라 할 때, \(X\)의 확률분포를 구하고 기댓값 \(\mathrm{E}(X)\)를 구하시오. (12점)
이차함수 \(y = f(x)\)와 두 실수 \(\alpha, \beta\) (\(\alpha < \beta\)), 그리고 두 실수 \(a, b\)가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 이차함수 \(f(x)\)는 다음 두 극한 조건을 만족시킨다.
\[ \text{(i) } \lim_{h \to \infty} \frac{f(h)}{h}\bigl\{\ln(h+2) - \ln h\bigr\} = 2, \qquad \text{(ii) } \lim_{h \to 0} \frac{1}{h^2} \int_{h}^{h+\sin h} f(x)\,dx = 9 \](나) 곡선 \(y = f(x)\) 위의 두 점 \((\alpha, f(\alpha))\), \((\beta, f(\beta))\)를 지나는 직선의 방정식을 \(y = k(x)\)라 할 때, \(\int_{\alpha}^{\beta} \bigl\{k(x) - f(x)\bigr\}\,dx = \dfrac{9}{2}\)이다.
(다) 포물선 \(y = -(x-a)^2 + b\)가 두 점 \((\alpha, f(\alpha))\), \((\beta, f(\beta))\)를 지난다.
다음 물음에 답하시오. [30점]
(1) 이차함수 \(f(x)\)를 구하고, 그 과정을 논리적으로 서술하시오. (15점)
(2) 실수 \(b\)를 \(a\)에 대한 식(\(\alpha, \beta\)를 포함하지 않는 식)으로 나타내고, 그 과정을 논리적으로 서술하시오. (15점)
삼차함수 \(f(x) = x^3 - 3x\)와 \(0\)이 아닌 실수 \(a\)에 대하여 함수 \(g(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) \(g(x)\)는 일차함수 또는 상수함수이다.
(나) \(f(a) - g(a) = 2a\)이고, \(f'(a) - g'(a) = 0\)이다.
다음 물음에 답하시오. [30점]
(1) \(0\)이 아닌 임의의 실수 \(a\)에 대하여 두 함수 \(y = f(x)\)와 \(y = g(x)\)의 그래프는 오직 한 점에서만 만남을 증명하시오. (10점)
(2) 두 그래프 \(y = f(x)\)와 \(y = g(x)\)의 유일한 교점의 \(x\)좌표를 \(h(a)\)라 할 때, \(0\)이 아닌 모든 실수 \(a\)에 대하여 부등식 \(-a\,h(a) > a^2\)이 성립함을 증명하시오. (10점)
(3) 극한값 \(\lim_{a \to \infty} \dfrac{h(a)}{a}\)를 구하고, 그 과정을 논리적으로 서술하시오. (10점)
좌표평면 위에서 지름이 \(AB_4 = 4\) (반지름 \(R = 2\))인 반원의 호 위에
\[ \widehat{AB_1} = \widehat{B_1 B_2} = \widehat{B_2 B_3} = \widehat{B_3 B_4} \]를 만족시키는 네 점 \(B_1, B_2, B_3, B_4\)가 순서대로 놓여 있다. 다음 물음에 답하시오. [20점]
(1) 세 벡터 \(\overrightarrow{AB_1}, \overrightarrow{AB_2}, \overrightarrow{AB_3}\)의 크기를 각각 구하고, 직선 \(AB_1\)이 지름 \(AB_4\)와 이루는 예각의 크기를 구하시오. (8점)
(2) 실수 \(t\)가 실수 전체의 집합에서 변할 때, \(\bigl(|\overrightarrow{AB_2} - t\overrightarrow{AB_1}| + |\overrightarrow{AB_3} - t\overrightarrow{AB_1}|\bigr)^2\)의 최솟값을 구하고, 그 과정을 논리적으로 서술하시오. (12점)
세 부품 \(A, B, C\)가 연결되어 작동하는 전자 회로가 있다. 이 회로는 병렬로 연결된 두 부품 \(A, B\) 중 적어도 하나가 정상이고, 이와 직렬로 연결된 부품 \(C\)가 정상일 때에만 전체 회로가 정상 작동한다. 새로 생산된 각 부품이 불량일 확률은
\[ \text{부품 } A : 10\%, \qquad \text{부품 } B : 20\%, \qquad \text{부품 } C : 5\% \]이고, 세 부품 \(A, B, C\)가 불량인 사건은 서로 독립이다. 다음 물음에 답하시오. [20점]
(1) 새로 생산된 세 부품 \(A, B, C\)를 연결하였을 때 전체 회로가 정상 작동하지 않을 확률을 구하고, 그 과정을 서술하시오. (10점)
(2) 새로 생산된 세 부품 \(A, B, C\)를 연결하였을 때 전체 회로가 정상 작동하지 않았다고 할 때, 부품 \(A\)가 불량이었을 조건부확률을 구하고, 그 과정을 논리적으로 서술하시오. (10점)
xy평면 위의 이차곡선 \(y = x^2\)과 y절편이 \(3\)인 두 직선 \(L_n : y = a_n x + 3\), \(M_n : y = b_n x + 3\) (\(0 < a_n < b_n\))에 대하여 다음 두 성질이 성립한다.
(가) 임의의 자연수 \(n \ge 10\)에 대하여 이차곡선 \(y = x^2\)과 직선 \(L_n\)이 이루는 폐영역의 넓이는 \(\dfrac{9}{2}n\)이다.
(나) 임의의 자연수 \(n \ge 10\)에 대하여 이차곡선 \(y = x^2\)이 직선 \(M_n\)에 의해 잘려 생기는 선분(현)의 길이는 \(\sqrt{3}\,n\)이다.
아래 세 소문항의 극한값을 각각 구하고 풀이 과정을 서술하시오. [30점]
(1) \(\lim_{n \to \infty} \dfrac{a_n^2}{\sqrt[3]{n^2}}\)의 값을 구하시오. (10점)
(2) \(\lim_{n \to \infty} \dfrac{b_n}{\sqrt{n}}\)의 값을 구하시오. (10점)
(3) \(\lim_{n \to \infty} \sqrt[3]{n}\,a_n(a_{n+1} - a_n)\)의 값을 구하시오. (10점)
최고차항 계수가 \(1\)인 삼차다항함수 \(f(x) = x^3 + bx^2 + cx + d\) (\(b, c, d\)는 상수)가 아래 두 성질을 만족한다.
(가) 실수 전체의 집합에서 도함수 \(f'(x) > 0\)이고, 원점 대칭 관계식 \(f(-x) = -f(x)\)가 항등적으로 성립한다.
(나) 일대일대응인 \(f(x)\)의 역함수를 \(g(x)\)라 두면 극한 등식 \(\lim_{x \to 0} \dfrac{f(x) - 6g(x)}{x} = -1\)이 성립한다.
아래 두 소문항의 답을 구하고 풀이 과정을 서술하시오. [30점]
(1) 다항함수 \(f(x)\)의 식을 결정하시오. (15점)
(2) 대칭구간 정적분 \(\int_{-12}^{12} x\bigl(f(x) + 2\bigr)g(x)\,dx\)를 계산하시오. (15점)
타원 방정식 \(C : \dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{25-c^2} = 1\) (\(0 < c < 5\))의 두 초점을 \(F(c, 0)\), \(F'(-c, 0)\)이라 하자. 제1사분면에 위치한 타원 \(C\) 위의 한 점 \(P\)에서 두 초점까지 이르는 거리 비가 \(\overline{PF} : \overline{PF'} = 2 : 3\)이며, 원점 \(O\)로부터 점 \(P\)까지의 거리는 \(\overline{OP} = \sqrt{10}\)이다. 아래 물음에 답하고 과정을 서술하시오. [20점]
(1) 초점 좌표 상수 \(c\)를 결정하시오. (10점)
(2) 초점삼각형 \(PF'F\)의 면적 \(S\)와 그 내접원의 반지름 \(r\)를 구하시오. (10점)
네 개의 음이 아닌 정수 \(x_1, x_2, x_3, x_4\)로 이루어진 순서쌍 \((x_1, x_2, x_3, x_4)\)에 대하여 아래 세 제약식이 주어져 있다. 각 소문항의 순서쌍 개수를 구하고 풀이 과정을 서술하시오. [20점]
(가) 네 정수의 총합은 \(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 16\)이다.
(나) 앞의 세 정수 \(x_1, x_2, x_3\) 가운데 홀수가 최소 1개 이상 포함된다.
(다) 네 번째 정수 \(x_4\)는 \(4\)의 배수(\(0, 4, 8, \dots\))이다.
(1) 제약식 (가)와 (다)만 동시에 충족하는 해의 가짓수를 구하시오. (10점)
(2) 세 제약식 (가), (나), (다)를 모두 충족하는 해의 가짓수를 구하시오. (10점)
폐구간 \([0, 1]\)에서 도함수 \(f'(x)\)가 연속인 함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) \(f(0) = 0\), \(f(1) = 1\)이고, 구간 \([0, 1]\)에서 \(f'(x) > 0\)이며 \(f(x) \le x\)이다.
(나) \(\int_0^{1/2} x\,f'(x)\,dx = \dfrac{1}{18}\)
(다) 구간 \([0, 1]\)에서 정의된 함수 \(g(x) = \int_0^x \bigl(1 - f(t)\bigr)\,dt + 2\int_x^1 f(t)\,dt\)는 \(x = \dfrac{1}{2}\)에서 극댓값 \(\dfrac{37}{36}\)을 갖는다.
다음 물음에 답하시오. [30점]
(1) \(f\left(\dfrac{1}{2}\right)\)의 값을 구하고, 그 이유를 서술하시오. (6점)
(2) 정적분 \(\int_0^1 \left|f(x) - \dfrac{1}{3}\right|\,dx\)의 값을 구하고, 그 과정을 논리적으로 서술하시오. (12점)
(3) 극한값 \(\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \left|f\left(f\left(\dfrac{k}{n}\right)\right) - \dfrac{k}{n}\right| f'\left(\dfrac{k}{n}\right)\)을 구하고, 그 과정을 논리적으로 서술하시오. (12점)
좌표평면의 제1사분면에서 아래로 볼록인 곡선 \(y = f(x)\) (\(0 \le x \le 2\))가 매개변수 \(t\) (\(0 \le t \le \dfrac{\pi}{2}\))로 다음과 같이 나타내어진다.
\[ x(t) = 2\cos^3 t, \qquad y(t) = 4\sin^3 t \quad \left(0 \le t \le \frac{\pi}{2}\right) \]실수 \(a\) (\(0 < a < 2\))에 대하여 점 \(A(a, 0)\)을 지나고 이 곡선에 접하는 직선이 오직 하나 존재하며(단, 양 끝점은 접점이 아니다), 이 접선을 \(\ell_a\)라 하자. 다음 물음에 답하시오. [30점]
(1) \(a = 1\)일 때, 접선 \(\ell_a\)의 방정식을 구하고, 그 과정을 논리적으로 서술하시오. (10점)
(2) 접선 \(\ell_a\)가 \(x\)축의 양의 방향과 이루는 예각의 크기를 \(\theta(a)\)라 할 때, \(a^3 \tan\theta(a)\)의 최댓값을 구하시오. (10점)
(3) 곡선 \(y = f(x)\)와 접선 \(\ell_a\), 그리고 \(x\)축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 \(S_1(a)\), 곡선 \(y = f(x)\)와 접선 \(\ell_a\), 그리고 \(y\)축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 \(S_2(a)\)라 할 때, \(S_1(a) + S_2(a)\)가 최소가 되도록 하는 \(a\)의 값을 구하시오. (10점)
좌표평면 위에 두 점 \(O(0, 0)\), \(A(6, 6)\)과 중심이 \(C(10, 6)\)이고 반지름의 길이가 \(2\)인 원 \(\Omega : (x - 10)^2 + (y - 6)^2 = 4\)가 있다. 선분 \(OA\)를 삼등분하는 점을 \(O\)에 가까운 점부터 차례로 \(A_1, A_2\)라 하고 \(A_3 = A\)라 하자. 점 \(P\)가 원 \(\Omega\) 위를 움직일 때, 다음 물음에 답하시오. [20점]
(1) \(|\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OP}|^2\)의 최솟값과 그때의 점 \(P\)의 좌표를 각각 구하시오. (10점)
(2) \(|\overrightarrow{A_1 P} + 4\overrightarrow{A_2 P} + \overrightarrow{A_3 P}|^2\)의 최솟값이 \(p + q\sqrt{10}\) (\(p, q\)는 정수)일 때, 순서쌍 \((p, q)\)를 구하고 그 과정을 논리적으로 서술하시오. (10점)
자연수 \(n\)에 대하여 주머니 안에 파란색 공 \(n\)개, 노란색 공 \(2n - 2\)개, 진홍색 공 \(2n + 2\)개가 들어 있다. 이 주머니에서 \(2n\)개의 공을 택하는 경우의 수를 \(a_n\)이라 하자. (단, 같은 색의 공은 서로 구별하지 않는다.) 다음 물음에 답하시오. [20점]
(1) \(a_2\)의 값을 구하고, 그 과정을 서술하시오. (5점)
(2) 일반항 \(a_n\)을 \(n\)에 대한 식으로 나타내고, 그 과정을 논리적으로 서술하시오. (10점)
(3) 급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{a_n + 5n + 11}\)의 합을 구하고, 그 과정을 논리적으로 서술하시오. (5점)
최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 \(f(x)\)가 다음 세 조건을 모두 만족시킨다.
(가) 곡선 \(y = f(x)\)는 \(x = 1\)에서 변곡점을 갖는다.
(나) 실수 전체의 집합에서 정의된 함수
\[ g(x) = \begin{cases} x f'(x) + f(x) & (x \ge 0) \\ (1 - x)e^{-x} + 2\cos x & (x < 0) \end{cases} \]는 \(x = 0\)에서 미분가능하다.
(다) 점 \((0, k)\)에서 곡선 \(y = f(x)\)에 서로 다른 세 개의 접선을 그을 수 있는 실수 \(k\)의 값의 범위는 \(3 < k < 4\)이다.
다음 물음에 답하시오. [30점]
(1) 삼차함수 \(f(x)\)의 식을 구하고, 그 과정을 논리적으로 서술하시오. (20점)
(2) 함수 \(F(x) = \int_{0}^{x} |f(t)|\,dt\)라 할 때, 정적분 \(\int_{0}^{3} f(x)e^{F(x)}\,dx\)의 값을 구하고 그 과정을 논리적으로 서술하시오. (10점)
실수 전체의 집합에서 이계도함수를 갖는 세 함수 \(f(x), g(x), h(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.
(가) \(f(x) + f(-x) = 0\)이고, \(f'(-1) = f'(1) = 0\)이다.
(나) \(f''(x) = g'(x)\)이고, \(g(1) = 3\)이다.
(다) \(h(1) = 6\), \(h(-1) = 2\)이고, \(\int_{-1}^{1} f'(x)h'(x)\,dx = 4\)이다.
다음 물음에 답하시오. [30점]
(1) 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(g(-x) = g(x)\)가 성립함을 증명하시오. (10점)
(2) 정적분 \(\int_{0}^{1} g(x)\bigl(h'(x) + h'(-x)\bigr)\,dx\)의 값을 구하고, 그 과정을 논리적으로 서술하시오. (20점)
좌표공간에서 중심이 \(C(0, 0, 5)\)이고 반지름의 길이가 \(5\)인 구 \(S : x^2 + y^2 + (z - 5)^2 = 25\)가 있다. 구 \(S\)와 평면 \(\alpha : z = 2\)가 만나서 생기는 원을 \(C_1\)이라 하고, 구 \(S\) 위의 점 \(P(3, 0, 1)\)에서 구 \(S\)에 접하는 평면을 \(\beta\)라 하자. 다음 물음에 답하시오. [20점]
(1) 원 \(C_1\)의 넓이를 구하고, 구 \(S\) 위의 점 \(Q(x, y, z)\)가 접평면 \(\beta\) 위에 있을 필요충분조건(\(\overrightarrow{CP} \perp \overrightarrow{PQ}\))을 이용하여 평면 \(\beta\)의 방정식을 유도하시오. (10점)
(2) 두 평면 \(\alpha\)와 \(\beta\)가 이루는 예각의 크기를 \(\theta\)라 할 때 \(\cos\theta\)의 값을 구하고, 원 \(C_1\)의 평면 \(\beta\) 위로의 정사영의 넓이를 구하시오. (10점)
두 실수 \(x, y\)에 대하여 \(x, y\) 중 크지 않은 값을 \(x \wedge y\)라 하자. (즉, \(x \le y\)이면 \(x \wedge y = x\)이고, \(x > y\)이면 \(x \wedge y = y\)이다.)
어떤 선수가 이틀 동안 하루에 두 번씩 총 네 번의 경기를 치른다. 첫째 날에는 1경기와 2경기를 치르고, 둘째 날에는 3경기와 4경기를 치르며, 모든 경기에 무승부는 없다. 첫째 날 1경기에서 이길 확률은 \(x\), 2경기에서 이길 확률은 \(y\) (\(0 < x < 1, 0 < y < 1\))이고 첫째 날의 두 경기는 서로 독립이다. 둘째 날의 각 경기에서 이길 확률은 첫째 날의 결과에 따라 다음과 같이 정해진다.
(가) 첫째 날 치른 두 경기 중 적어도 한 경기를 이긴 경우, 둘째 날 3경기에서 이길 확률은 \(x\), 4경기에서 이길 확률은 \(y\)이다.
(나) 첫째 날 치른 두 경기를 모두 진 경우, 둘째 날 3경기에서 이길 확률과 4경기에서 이길 확률은 모두 \(x \wedge y\)이다.
다음 물음에 답하시오. [20점]
(1) 둘째 날 3경기에서 이길 확률 \(P(W_3)\)을 \(x, y, x \wedge y\)를 사용하여 나타내고, 그 과정을 서술하시오. (8점)
(2) \(x = \dfrac{1}{3}\)이고 \(\dfrac{1}{3} \le y < 1\)일 때, 둘째 날 3경기에서 이길 확률과 4경기에서 이길 확률의 합이 \(\dfrac{10}{9}\) 이하가 되도록 하는 실수 \(y\)의 값의 범위를 구하고 그 과정을 논리적으로 서술하시오. (12점)