2027학년도 대비 국민대학교 자연A형 약술형 논술 모의고사 9회 (해설집)

2027학년도 대비 국민대학교 자연A형 약술형 논술 실전 모의고사 9회 (모범해설 및 2열 부분점수 채점기준표) 수리 영역 8문항 (80분 / 100점 만점 · 수능최저 2합 6 이내)

[문항 1] 거듭제곱과 지수법칙을 이용한 지수 역수 합의 계산

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 12.5점 (6점+6.5점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.7 탐구 17091 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-04]

두 실수 \({\kern0pt}x, y\)가 \({\kern0pt}3^x = 7^y = 21\)을 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.

[1-1] (6점) \({\kern0pt}21^{\frac{1}{x}}\)와 \({\kern0pt}21^{\frac{1}{y}}\)의 값을 각각 구하시오.

[1-2] (6.5점) \({\kern0pt}\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}\)의 값을 구하시오.

🎯 정답 : [1-1] \({\kern0pt}21^{\frac{1}{x}} = 3,\; 21^{\frac{1}{y}} = 7\) | [1-2] \({\kern0pt}1\)

[1줄: 공식선언 (30%)] \({\kern0pt}3^x = 21 > 1,\; 7^y = 21 > 1\)이므로 \({\kern0pt}x \ne 0,\; y \ne 0\)이고 양변에 각각 \({\kern0pt}\dfrac{1}{x},\; \dfrac{1}{y}\)제곱을 취한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \({\kern0pt}21^{\frac{1}{x}} = 3,\; 21^{\frac{1}{y}} = 7\)이므로 두 식을 변끼리 곱하면 \({\kern0pt}21^{\frac{1}{x}} \cdot 21^{\frac{1}{y}} = 21^{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} = 3 \times 7 = 21^1\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 지수를 비교하면 \({\kern0pt}\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = 1\)이다.

배점 단계	국민대학교 자연A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (6점)	• \({\kern0pt}21^{\frac{1}{x}} = 3\) 및 \({\kern0pt}21^{\frac{1}{y}} = 7\) 도출 +6점
소문항 [1-2] (6.5점)	• 변변 곱하여 \({\kern0pt}21^{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}} = 21\) 유도 +3.5점 / \({\kern0pt}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} = 1\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 로그 변환 \({\kern0pt}\dfrac{1}{x} = \log_{21} 3,\; \dfrac{1}{y} = \log_{21} 7\)로 풀어도 동일하게 만점을 받습니다.

[문항 2] 로그방정식의 치환과 이차방정식 근과 계수의 관계

대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 12.5점 (6점+6.5점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.6 탐구 17092 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]

로그방정식 \({\kern0pt}(\log_3 x)^2 - \log_3 x^4 + 2 = 0\)의 두 실근을 \({\kern0pt}\alpha, \beta\)라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

[2-1] (6점) 진수 조건 하에서 \({\kern0pt}\log_3 x = t\)로 치환한 이차방정식을 구하고, \({\kern0pt}\log_3 \alpha + \log_3 \beta\)의 값을 구하시오.

[2-2] (6.5점) 두 실근의 곱 \({\kern0pt}\alpha\beta\)의 값을 구하시오.

🎯 정답 : [2-1] \({\kern0pt}t^2 - 4t + 2 = 0,\; \log_3 \alpha + \log_3 \beta = 4\) | [2-2] \({\kern0pt}\alpha\beta = 81\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 진수 조건 \({\kern0pt}x > 0\)에서 \({\kern0pt}\log_3 x^4 = 4\log_3 x\)이므로 \({\kern0pt}\log_3 x = t\)로 치환하면 \({\kern0pt}t^2 - 4t + 2 = 0\)이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 치환된 이차방정식의 두 실근이 \({\kern0pt}t_1 = \log_3 \alpha,\; t_2 = \log_3 \beta\)이므로 근과 계수의 관계에 의해 \({\kern0pt}\log_3 \alpha + \log_3 \beta = 4\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \({\kern0pt}\log_3(\alpha\beta) = 4\)이므로 로그의 정의에 의해 \({\kern0pt}\alpha\beta = 3^4 = 81\)이다.

배점 단계	국민대학교 자연A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (6점)	• \({\kern0pt}t^2 - 4t + 2 = 0\) 및 \({\kern0pt}\log_3 \alpha + \log_3 \beta = 4\) 도출 +6점
소문항 [2-2] (6.5점)	• \({\kern0pt}\log_3(\alpha\beta) = 4\) 변환 +3점 / \({\kern0pt}\alpha\beta = 81\) 산출 +3.5점

💡 감점 방어 클리닉: 치환 방정식 \({\kern0pt}t^2 - 4t + 2 = 0\)의 두 근의 곱 \({\kern0pt}2\)를 \({\kern0pt}\alpha\beta\)로 착각하지 않도록 \({\kern0pt}t_1 + t_2 = \log_3(\alpha\beta)\)임을 명확히 적습니다.

[문항 3] 외접원의 반지름과 사인법칙을 이용한 삼각형의 둘레의 길이

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 12.5점 (6점+6.5점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.9 탐구 17093 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

반지름의 길이가 \({\kern0pt}R = 5\)인 원에 내접하는 삼각형 \({\kern0pt}\mathrm{ABC}\)에서 \({\kern0pt}\sin A + \sin B + \sin C = \dfrac{12}{5}\)일 때, 다음 물음에 답하시오.

[3-1] (6점) 사인법칙을 이용하여 \({\kern0pt}\sin A,\; \sin B,\; \sin C\)를 세 변의 길이 \({\kern0pt}a, b, c\)로 나타내시오.

[3-2] (6.5점) 삼각형 \({\kern0pt}\mathrm{ABC}\)의 둘레의 길이 \({\kern0pt}a + b + c\)를 구하시오.

🎯 정답 : [3-1] \({\kern0pt}\sin A = \dfrac{a}{10},\; \sin B = \dfrac{b}{10},\; \sin C = \dfrac{c}{10}\) | [3-2] \({\kern0pt}24\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 사인법칙 \({\kern0pt}\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R\)에서 \({\kern0pt}2R = 10\)이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 따라서 \({\kern0pt}\sin A = \dfrac{a}{10},\; \sin B = \dfrac{b}{10},\; \sin C = \dfrac{c}{10}\)이고, 이를 주어진 식에 대입하면 \({\kern0pt}\dfrac{a + b + c}{10} = \dfrac{12}{5}\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 양변에 \({\kern0pt}10\)을 곱하면 삼각형 \({\kern0pt}\mathrm{ABC}\)의 둘레의 길이는 \({\kern0pt}a + b + c = 24\)이다.

배점 단계	국민대학교 자연A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (6점)	• 사인법칙으로 \({\kern0pt}\sin A = \dfrac{a}{10}\) 등 표현 +6점
소문항 [3-2] (6.5점)	• \({\kern0pt}\dfrac{a+b+c}{10} = \dfrac{12}{5}\) 대입 +3점 / 둘레 \({\kern0pt}24\) 도출 +3.5점

💡 감점 방어 클리닉: 사인법칙에서 분모는 반지름 \({\kern0pt}R=5\)가 아니라 지름 \({\kern0pt}2R=10\)임에 주의합니다.

[문항 4] 수열의 합과 일반항의 관계를 이용한 항의 계산

대수 Ⅲ. 수열 | 배점 12.5점 (6점+6.5점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.9 탐구 17094 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]

수열 \({\kern0pt}\{a_n\}\)의 첫째항부터 제\({\kern0pt}n\)항까지의 합 \({\kern0pt}S_n\)이 \({\kern0pt}S_n = 2n^2 + 3n\)일 때, 다음 물음에 답하시오.

[4-1] (6점) 첫째항 \({\kern0pt}a_1\)과 일반항 \({\kern0pt}a_n\) (\({\kern0pt}n \ge 1\))을 구하시오.

[4-2] (6.5점) \({\kern0pt}a_1 + a_6\)의 값을 구하시오.

🎯 정답 : [4-1] \({\kern0pt}a_1 = 5,\; a_n = 4n + 1\) | [4-2] \({\kern0pt}30\)

[1줄: 공식선언 (30%)] \({\kern0pt}a_1 = S_1 = 2(1)^2 + 3(1) = 5\)이고, \({\kern0pt}n \ge 2\)일 때 \({\kern0pt}a_n = S_n - S_{n-1}\)이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \({\kern0pt}a_n = (2n^2 + 3n) - \{2(n-1)^2 + 3(n-1)\} = 4n + 1\)이며, \({\kern0pt}n = 1\)일 때도 \({\kern0pt}a_1 = 5\)로 일치한다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \({\kern0pt}a_6 = 4(6) + 1 = 25\)이므로 \({\kern0pt}a_1 + a_6 = 5 + 25 = 30\)이다.

배점 단계	국민대학교 자연A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (6점)	• \({\kern0pt}a_1 = 5\) 및 \({\kern0pt}a_n = S_n - S_{n-1} = 4n + 1\) 도출 +6점
소문항 [4-2] (6.5점)	• \({\kern0pt}a_6 = 25\) 계산 +3점 / \({\kern0pt}a_1 + a_6 = 30\) 산출 +3.5점

💡 감점 방어 클리닉: 수열의 합 \({\kern0pt}S_n\)으로부터 일반항을 구할 때는 \({\kern0pt}a_1 = S_1\)과 \({\kern0pt}n \ge 2\)일 때의 식이 \({\kern0pt}n=1\)에서 일치하는지 확인합니다.

[문항 5] 사잇값의 정리를 이용한 삼차방정식의 실근 존재 구간 판정

미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 | 배점 12.5점 (6점+6.5점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.8 탐구 17095 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]

삼차방정식 \({\kern0pt}x^3 - 3x - 5 = 0\)의 양의 실근이 열린구간 \({\kern0pt}(n, n+1)\) (단, \({\kern0pt}n\)은 자연수)에 속할 때, 다음 물음에 답하시오.

[5-1] (6점) \({\kern0pt}f(x) = x^3 - 3x - 5\)라 할 때 \({\kern0pt}f(1),\; f(2),\; f(3)\)의 값을 각각 구하시오.

[5-2] (6.5점) 사잇값의 정리를 이용하여 양의 실근이 속하는 열린구간 \({\kern0pt}(n, n+1)\)의 자연수 \({\kern0pt}n\)의 값을 구하시오.

🎯 정답 : [5-1] \({\kern0pt}f(1) = -7,\; f(2) = -3,\; f(3) = 13\) | [5-2] \({\kern0pt}n = 2\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 다항함수 \({\kern0pt}f(x) = x^3 - 3x - 5\)는 실수 전체의 집합에서 연속이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 함숫값을 계산하면 \({\kern0pt}f(1) = -7 < 0,\; f(2) = 8 - 6 - 5 = -3 < 0,\; f(3) = 27 - 9 - 5 = 13 > 0\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 닫힌구간 \({\kern0pt}[2, 3]\)에서 연속이고 \({\kern0pt}f(2)f(3) < 0\)이므로 사잇값의 정리에 의해 열린구간 \({\kern0pt}(2, 3)\)에 실근이 존재하며, \({\kern0pt}n = 2\)이다.

배점 단계	국민대학교 자연A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (6점)	• \({\kern0pt}f(1) = -7,\; f(2) = -3,\; f(3) = 13\) 산출 +6점
소문항 [5-2] (6.5점)	• 연속성 및 \({\kern0pt}f(2)f(3) < 0\) 근거 명시 +3.5점 / \({\kern0pt}n = 2\) 결정 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 사잇값의 정리를 적용할 때는 (1) 닫힌구간에서 연속, (2) 양 끝점 함숫값의 부호 반대(\({\kern0pt}f(2)f(3)<0\)) 두 조건을 모두 적어야 합니다.

[문항 6] 삼차함수에 대한 평균값 정리를 만족시키는 상수의 결정

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 12.5점 (6점+6.5점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 탐구 17096 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

함수 \({\kern0pt}f(x) = x^3 - 3x + 1\)에 대하여 닫힌구간 \({\kern0pt}[0, 3]\)에서 평균값 정리를 만족시키는 상수 \({\kern0pt}c\) (\({\kern0pt}0 < c < 3\))를 구하고자 한다.

[6-1] (6점) 닫힌구간 \({\kern0pt}[0, 3]\)에서 함수 \({\kern0pt}f(x)\)의 평균변화율을 구하시오.

[6-2] (6.5점) 열린구간 \({\kern0pt}(0, 3)\)에서 평균값 정리를 만족시키는 상수 \({\kern0pt}c\)의 값을 구하시오.

🎯 정답 : [6-1] 평균변화율 \({\kern0pt}6\) | [6-2] \({\kern0pt}c = \sqrt{3}\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 평균값 정리에 의해 \({\kern0pt}\dfrac{f(3) - f(0)}{3 - 0} = f'(c)\)를 만족시키는 \({\kern0pt}c \in (0, 3)\)가 존재한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \({\kern0pt}f(0) = 1,\; f(3) = 19\)이므로 평균변화율은 \({\kern0pt}\dfrac{19 - 1}{3} = 6\)이고, \({\kern0pt}f'(c) = 3c^2 - 3 = 6\)에서 \({\kern0pt}c^2 = 3\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \({\kern0pt}0 < c < 3\)이므로 구하는 상수는 \({\kern0pt}c = \sqrt{3}\)이다.

배점 단계	국민대학교 자연A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [6-1] (6점)	• \({\kern0pt}f(0)=1,\; f(3)=19\) 및 평균변화율 \({\kern0pt}6\) 산출 +6점
소문항 [6-2] (6.5점)	• \({\kern0pt}3c^2 - 3 = 6 \implies c^2 = 3\) 도출 +3.5점 / \({\kern0pt}0< c <3\)으로 \({\kern0pt}c = \sqrt{3}\) 결정 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 방정식 \({\kern0pt}c^2 = 3\)의 해 \({\kern0pt}\pm\sqrt{3}\) 중 열린구간 \({\kern0pt}(0, 3)\)에 속하는 양수 \({\kern0pt}\sqrt{3}\)만 선택해야 합니다.

[문항 7] 실수 전체에서 사차부등식이 항상 성립할 조건

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 12.5점 (6점+6.5점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.9 탐구 17097 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

실수 전체의 집합에서 사차부등식 \({\kern0pt}x^4 - 4x + k \ge 0\)이 항상 성립하도록 하는 실수 \({\kern0pt}k\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[7-1] (6점) \({\kern0pt}f(x) = x^4 - 4x + k\)라 할 때, \({\kern0pt}f(x)\)가 최솟값을 갖는 \({\kern0pt}x\)의 값과 그때의 최솟값을 \({\kern0pt}k\)로 나타내시오.

[7-2] (6.5점) 주어진 부등식이 모든 실수 \({\kern0pt}x\)에서 성립하도록 하는 실수 \({\kern0pt}k\)의 최솟값을 구하시오.

🎯 정답 : [7-1] \({\kern0pt}x = 1\), 최솟값 \({\kern0pt}k - 3\) | [7-2] \({\kern0pt}3\)

[1줄: 공식선언 (30%)] \({\kern0pt}f'(x) = 4x^3 - 4 = 4(x - 1)(x^2 + x + 1) = 0\)에서 \({\kern0pt}x^2 + x + 1 > 0\)이므로 유일한 극점은 \({\kern0pt}x = 1\)이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \({\kern0pt}f(x)\)는 \({\kern0pt}x = 1\)에서 극소이자 최소이므로 실수 전체에서 최솟값은 \({\kern0pt}f(1) = 1 - 4 + k = k - 3\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 모든 실수에서 \({\kern0pt}f(x) \ge 0\)이려면 최솟값 \({\kern0pt}k - 3 \ge 0 \implies k \ge 3\)이므로 \({\kern0pt}k\)의 최솟값은 \({\kern0pt}3\)이다.

배점 단계	국민대학교 자연A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [7-1] (6점)	• \({\kern0pt}f'(x) = 4(x-1)(x^2+x+1)\) 및 최솟값 \({\kern0pt}f(1) = k - 3\) 도출 +6점
소문항 [7-2] (6.5점)	• \({\kern0pt}k - 3 \ge 0\) 부등식 수립 +3점 / 최솟값 \({\kern0pt}3\) 산출 +3.5점

💡 감점 방어 클리닉: 이차인수 \({\kern0pt}x^2 + x + 1 = (x + 1/2)^2 + 3/4 > 0\)임을 언급하여 \({\kern0pt}x = 1\)이 유일한 극점임을 보이면 완벽합니다.

[문항 8] 두 이차곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 12.5점 (6점+6.5점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.9 탐구 17098 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]

두 이차곡선 \({\kern0pt}y = x^2 - 2x\)와 \({\kern0pt}y = -x^2 + 4x\)로 둘러싸인 도형에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[8-1] (6점) 두 곡선의 교점의 \({\kern0pt}x\)좌표를 모두 구하시오.

[8-2] (6.5점) 두 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이 \({\kern0pt}S\)를 구하시오.

🎯 정답 : [8-1] \({\kern0pt}x = 0,\; x = 3\) | [8-2] \({\kern0pt}S = 9\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 교점 방정식 \({\kern0pt}x^2 - 2x = -x^2 + 4x \iff 2x^2 - 6x = 2x(x - 3) = 0\)에서 교점의 \({\kern0pt}x\)좌표는 \({\kern0pt}0, 3\)이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 닫힌구간 \({\kern0pt}[0, 3]\)에서 \({\kern0pt}-x^2 + 4x \ge x^2 - 2x\)이므로 넓이는 \({\kern0pt}S = \int_0^3 (-2x^2 + 6x)\,dx\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 정적분을 계산하면 \({\kern0pt}S = \dfrac{2}{6}(3 - 0)^3 = \dfrac{1}{3} \times 27 = 9\)이다.

배점 단계	국민대학교 자연A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [8-1] (6점)	• 교점 방정식 \({\kern0pt}2x(x-3)=0\) 및 \({\kern0pt}x = 0, 3\) 산출 +6점
소문항 [8-2] (6.5점)	• \({\kern0pt}\int_0^3 (-2x^2+6x)\,dx\) 수립 +3점 / 넓이 \({\kern0pt}9\) 도출 +3.5점

💡 감점 방어 클리닉: 두 이차곡선의 최고차항 계수의 차가 \({\kern0pt}|1 - (-1)| = 2\)이므로 공식 적용 시 분자에 \({\kern0pt}2\)를 곱해야 합니다.