2027학년도 대비 국민대학교 자연A형 약술형 논술 모의고사 8회 (해설집)

2027학년도 대비 국민대학교 자연A형 약술형 논술 실전 모의고사 8회 (모범해설 및 2열 부분점수 채점기준표) 수리 영역 8문항 (80분 / 100점 만점 · 수능최저 2합 6 이내)

[문항 1] 치환을 이용한 지수부등식의 풀이와 거듭제곱의 최대·최소

대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 12.5점 (6점+6.5점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.5 탐구 17081 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]

지수부등식 \({\kern0pt}9^x - 10 \cdot 3^x + 9 \le 0\)을 만족시키는 실수 \({\kern0pt}x\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[1-1] (6점) \({\kern0pt}3^x = t\) (\({\kern0pt}t > 0\))로 치환하여 실수 \({\kern0pt}x\)의 값의 범위를 구하시오.

[1-2] (6.5점) \({\kern0pt}2^{x+1}\)의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오.

🎯 정답 : [1-1] \({\kern0pt}0 \le x \le 2\) | [1-2] \({\kern0pt}10\)

[1줄: 공식선언 (30%)] \({\kern0pt}3^x = t\) (\({\kern0pt}t > 0\))로 치환하면 주어진 부등식은 \({\kern0pt}t^2 - 10t + 9 = (t - 1)(t - 9) \le 0\)이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \({\kern0pt}1 \le t \le 9 \iff 3^0 \le 3^x \le 3^2\)이고 밑이 \({\kern0pt}3 > 1\)이므로 \({\kern0pt}0 \le x \le 2\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \({\kern0pt}2^{x+1}\)의 최솟값은 \({\kern0pt}2^{0+1} = 2\), 최댓값은 \({\kern0pt}2^{2+1} = 8\)이므로 합은 \({\kern0pt}2 + 8 = 10\)이다.

배점 단계	국민대학교 자연A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (6점)	• 치환부등식 \({\kern0pt}1 \le 3^x \le 9\) 및 \({\kern0pt}0 \le x \le 2\) 도출 +6점
소문항 [1-2] (6.5점)	• 최솟값 \({\kern0pt}2\), 최댓값 \({\kern0pt}8\) 산출 +3.5점 / 합 \({\kern0pt}10\) 계산 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 지수부등식을 풀 때 밑이 \({\kern0pt}1\)보다 큰지 작은지 명시하여 부등호 방향이 유지됨을 밝혀줍니다.

[문항 2] 삼각함수의 합성항등식을 이용한 삼각방정식의 실근의 합

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 12.5점 (6점+6.5점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.5 탐구 17082 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

\({\kern0pt}0 \le x < 2\pi\)일 때, 삼각방정식 \({\kern0pt}2\cos^2 x - \sin x - 1 = 0\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[2-1] (6점) \({\kern0pt}\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\)를 대입하여 \({\kern0pt}\sin x\)의 값을 모두 구하시오.

[2-2] (6.5점) \({\kern0pt}0 \le x < 2\pi\)에서 주어진 방정식의 모든 실근을 구하고 그 합을 구하시오.

🎯 정답 : [2-1] \({\kern0pt}\sin x = \dfrac{1}{2}\) 또는 \({\kern0pt}\sin x = -1\) | [2-2] 실근 \({\kern0pt}\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}, \dfrac{3\pi}{2}\), 합 \({\kern0pt}\dfrac{5\pi}{2}\)

[1줄: 공식선언 (30%)] \({\kern0pt}\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\)를 대입하면 \({\kern0pt}2(1 - \sin^2 x) - \sin x - 1 = 0 \iff 2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0\)이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \({\kern0pt}(2\sin x - 1)(\sin x + 1) = 0\)이므로 \({\kern0pt}\sin x = \dfrac{1}{2}\) 또는 \({\kern0pt}\sin x = -1\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \({\kern0pt}0 \le x < 2\pi\)에서 해는 \({\kern0pt}x = \dfrac{\pi}{6},\; \dfrac{5\pi}{6},\; \dfrac{3\pi}{2}\)이므로 모든 실근의 합은 \({\kern0pt}\dfrac{5\pi}{2}\)이다.

배점 단계	국민대학교 자연A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (6점)	• 이차방정식 인수분해 및 \({\kern0pt}\sin x = \dfrac{1}{2}, -1\) 도출 +6점
소문항 [2-2] (6.5점)	• 세 실근 \({\kern0pt}\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}, \dfrac{3\pi}{2}\) 산출 +3.5점 / 합 \({\kern0pt}\dfrac{5\pi}{2}\) 계산 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 주어진 정의역 \({\kern0pt}0 \le x < 2\pi\) 안에서 각 방정식의 근을 빠짐없이 나열한 뒤 합을 구합니다.

[문항 3] 코사인법칙과 사인법칙을 이용한 외접원의 반지름

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 12.5점 (6점+6.5점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.8 탐구 17083 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

삼각형 \({\kern0pt}\mathrm{ABC}\)에서 \({\kern0pt}\overline{\mathrm{AB}} = 4\), \({\kern0pt}\overline{\mathrm{BC}} = 6\), \({\kern0pt}\angle B = \dfrac{2\pi}{3}\)일 때, 다음 물음에 답하시오.

[3-1] (6점) 코사인법칙을 이용하여 변 \({\kern0pt}\mathrm{AC}\)의 길이를 구하시오.

[3-2] (6.5점) 사인법칙을 이용하여 삼각형 \({\kern0pt}\mathrm{ABC}\)의 외접원의 반지름의 길이 \({\kern0pt}R\)를 구하시오.

🎯 정답 : [3-1] \({\kern0pt}\overline{\mathrm{AC}} = 2\sqrt{19}\) | [3-2] \({\kern0pt}R = \dfrac{2\sqrt{57}}{3}\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 코사인법칙에 의해 \({\kern0pt}\overline{\mathrm{AC}}^2 = \overline{\mathrm{AB}}^2 + \overline{\mathrm{BC}}^2 - 2\overline{\mathrm{AB}}\cdot\overline{\mathrm{BC}}\cos\dfrac{2\pi}{3}\)이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \({\kern0pt}\overline{\mathrm{AC}}^2 = 16 + 36 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) = 76\)이므로 \({\kern0pt}\overline{\mathrm{AC}} = 2\sqrt{19}\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 사인법칙 \({\kern0pt}2R = \dfrac{\overline{\mathrm{AC}}}{\sin(2\pi/3)} = \dfrac{2\sqrt{19}}{\sqrt{3}/2} = \dfrac{4\sqrt{57}}{3}\)에서 \({\kern0pt}R = \dfrac{2\sqrt{57}}{3}\)이다.

배점 단계	국민대학교 자연A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (6점)	• 코사인법칙으로 \({\kern0pt}\overline{\mathrm{AC}} = 2\sqrt{19}\) 도출 +6점
소문항 [3-2] (6.5점)	• 사인법칙 \({\kern0pt}2R = \dfrac{\overline{\mathrm{AC}}}{\sin B}\) 적용 +3점 / \({\kern0pt}R = \dfrac{2\sqrt{57}}{3}\) 산출 +3.5점

💡 감점 방어 클리닉: 둔각 \({\kern0pt}\cos\dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}\)의 음수 부호에 유의하여 계산 실수를 방지합니다.

[문항 4] 부분분수 분해를 이용한 망원급수의 합

대수 Ⅲ. 수열 | 배점 12.5점 (6점+6.5점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.8 탐구 17084 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]

수열의 합 \({\kern0pt}S = \sum_{k=1}^{12} \dfrac{2}{(2k - 1)(2k + 1)}\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[4-1] (6점) 일반항 \({\kern0pt}\dfrac{2}{(2k - 1)(2k + 1)}\)을 부분분수로 분해하시오.

[4-2] (6.5점) 합 \({\kern0pt}S = \dfrac{q}{p}\) (단, \({\kern0pt}p, q\)는 서로소인 자연수)를 구하고, \({\kern0pt}p + q\)의 값을 구하시오.

🎯 정답 : [4-1] \({\kern0pt}\dfrac{1}{2k-1} - \dfrac{1}{2k+1}\) | [4-2] \({\kern0pt}S = \dfrac{24}{25},\; p + q = 49\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 부분분수 분해 공식 \({\kern0pt}\dfrac{B-A}{AB} = \dfrac{1}{A} - \dfrac{1}{B}\)에 의해 \({\kern0pt}\dfrac{2}{(2k-1)(2k+1)} = \dfrac{1}{2k-1} - \dfrac{1}{2k+1}\)이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 망원급수로 전개하면 \({\kern0pt}S = \left(1 - \dfrac{1}{3}\right) + \left(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{5}\right) + \cdots + \left(\dfrac{1}{23} - \dfrac{1}{25}\right) = 1 - \dfrac{1}{25} = \dfrac{24}{25}\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 서로소인 두 자연수는 \({\kern0pt}p = 25,\; q = 24\)이므로 \({\kern0pt}p + q = 49\)이다.

배점 단계	국민대학교 자연A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (6점)	• 부분분수 변형 \({\kern0pt}\dfrac{1}{2k-1} - \dfrac{1}{2k+1}\) 도출 +6점
소문항 [4-2] (6.5점)	• 소거 후 \({\kern0pt}S = \dfrac{24}{25}\) 산출 +3.5점 / \({\kern0pt}p + q = 49\) 계산 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 첫 항 \({\kern0pt}1\)과 마지막 남는 항 \({\kern0pt}-\dfrac{1}{25}\)을 정확히 표시하여 소거 구조를 보여주는 것이 핵심입니다.

[문항 5] 무리식을 포함한 함수의 극한과 미정계수의 결정

미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 배점 12.5점 (6점+6.5점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.5 탐구 17085 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

등식 \({\kern0pt}\lim_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{3x + 10} - a}{x - 2} = b\)를 만족시키는 두 상수 \({\kern0pt}a, b\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[5-1] (6점) \({\kern0pt}x \to 2\)일 때 분모의 극한이 \({\kern0pt}0\)임을 이용하여 상수 \({\kern0pt}a\)의 값을 구하시오.

[5-2] (6.5점) 분자를 유리화하여 상수 \({\kern0pt}b\)의 값을 구하고, \({\kern0pt}ab\)의 값을 구하시오.

🎯 정답 : [5-1] \({\kern0pt}a = 4\) | [5-2] \({\kern0pt}b = \dfrac{3}{8},\; ab = \dfrac{3}{2}\)

[1줄: 공식선언 (30%)] \({\kern0pt}x \to 2\)일 때 분모가 \({\kern0pt}0\)으로 수렴하고 극한값 \({\kern0pt}b\)가 존재하므로 분자도 \({\kern0pt}0\)으로 수렴하여 \({\kern0pt}\sqrt{16} - a = 0 \implies a = 4\)이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 분자를 유리화하면 \({\kern0pt}\lim_{x \to 2} \dfrac{3(x - 2)}{(x - 2)(\sqrt{3x + 10} + 4)} = \lim_{x \to 2} \dfrac{3}{\sqrt{3x + 10} + 4} = \dfrac{3}{8} = b\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \({\kern0pt}ab = 4 \times \dfrac{3}{8} = \dfrac{3}{2}\)이다.

배점 단계	국민대학교 자연A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (6점)	• 분자 극한 \({\kern0pt}0\) 조건으로 \({\kern0pt}a = 4\) 산출 +6점
소문항 [5-2] (6.5점)	• 유리화 및 약분으로 \({\kern0pt}b = \dfrac{3}{8}\) 도출 +3.5점 / \({\kern0pt}ab = \dfrac{3}{2}\) 계산 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 유리화 과정에서 \({\kern0pt}3x + 10 - 16 = 3(x - 2)\)의 계수 \({\kern0pt}3\)을 누락하지 않도록 주의합니다.

[문항 6] 구간별로 정의된 함수의 미분가능성과 미정계수 결정

미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 | 배점 12.5점 (6점+6.5점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 탐구 17086 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-03]

함수 \({\kern0pt}f(x) = \begin{cases} x^2 + ax + b & (x < 1) \\ 4x - 1 & (x \ge 1) \end{cases}\)이 \({\kern0pt}x = 1\)에서 미분가능할 때, 다음 물음에 답하시오.

[6-1] (6점) \({\kern0pt}x = 1\)에서의 연속 조건을 이용하여 \({\kern0pt}a\)와 \({\kern0pt}b\) 사이의 관계식을 구하시오.

[6-2] (6.5점) \({\kern0pt}x = 1\)에서의 미분가능 조건을 이용하여 상수 \({\kern0pt}a, b\)의 값을 각각 구하고 \({\kern0pt}a^2 + b^2\)을 구하시오.

🎯 정답 : [6-1] \({\kern0pt}a + b = 2\) | [6-2] \({\kern0pt}a = 2,\; b = 0,\; a^2 + b^2 = 4\)

[1줄: 공식선언 (30%)] \({\kern0pt}x = 1\)에서 미분가능하면 연속이므로 \({\kern0pt}\lim_{x \to 1^-} (x^2 + ax + b) = f(1) \implies 1 + a + b = 3 \iff a + b = 2\)이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 좌미분계수와 우미분계수가 같으므로 \({\kern0pt}2(1) + a = 4\)에서 \({\kern0pt}a = 2\)이고, \({\kern0pt}b = 2 - a = 0\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \({\kern0pt}a^2 + b^2 = 2^2 + 0^2 = 4\)이다.

배점 단계	국민대학교 자연A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [6-1] (6점)	• 연속 조건 \({\kern0pt}1 + a + b = 3 \implies a + b = 2\) 수립 +6점
소문항 [6-2] (6.5점)	• 좌·우미분계수 일치로 \({\kern0pt}a = 2, b = 0\) 도출 +3.5점 / \({\kern0pt}a^2 + b^2 = 4\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 미분가능성 문제에서는 반드시 (1) 연속 조건, (2) 좌·우미분계수 일치 조건을 순서대로 기술합니다.

[문항 7] 닫힌구간에서 삼차함수의 최대·최소와 상수의 결정

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 12.5점 (6점+6.5점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.8 탐구 17087 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

닫힌구간 \({\kern0pt}[0, 3]\)에서 함수 \({\kern0pt}f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x + k\)의 최솟값이 \({\kern0pt}4\)일 때, 다음 물음에 답하시오.

[7-1] (6점) 열린구간 \({\kern0pt}(0, 3)\)에서 \({\kern0pt}f'(x) = 0\)을 만족시키는 \({\kern0pt}x\)의 값을 모두 구하시오.

[7-2] (6.5점) 상수 \({\kern0pt}k\)의 값과 닫힌구간 \({\kern0pt}[0, 3]\)에서 함수 \({\kern0pt}f(x)\)의 최댓값을 각각 구하시오.

🎯 정답 : [7-1] \({\kern0pt}x = 1,\; x = 2\) | [7-2] \({\kern0pt}k = 4\), 최댓값 \({\kern0pt}13\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 도함수 \({\kern0pt}f'(x) = 6x^2 - 18x + 12 = 6(x - 1)(x - 2) = 0\)에서 극점은 \({\kern0pt}x = 1, 2\)이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 구간 \({\kern0pt}[0, 3]\)에서 극값과 양 끝점의 함숫값은 \({\kern0pt}f(0)=k,\; f(1)=k+5,\; f(2)=k+4,\; f(3)=k+9\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 최솟값은 \({\kern0pt}f(0) = k = 4\)이므로 최댓값은 \({\kern0pt}f(3) = k + 9 = 4 + 9 = 13\)이다.

배점 단계	국민대학교 자연A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [7-1] (6점)	• \({\kern0pt}f'(x) = 6(x-1)(x-2) = 0\)으로 \({\kern0pt}x = 1, 2\) 산출 +6점
소문항 [7-2] (6.5점)	• \({\kern0pt}f(0)=k=4\) 결정 +3점 / 최댓값 \({\kern0pt}f(3)=13\) 도출 +3.5점

💡 감점 방어 클리닉: 닫힌구간 최대·최소는 반드시 극값(\({\kern0pt}x=1, 2\))과 구간의 양 끝점(\({\kern0pt}x=0, 3\)) 네 값을 모두 비교해야 합니다.

[문항 8] 대칭구간에서 기함수·우함수의 성질을 이용한 정적분

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 배점 12.5점 (6점+6.5점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.5 탐구 17088 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]

다항함수 \({\kern0pt}g(x) = 3x^3 + 4x^2 - 5x + 2\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[8-1] (6점) 대칭구간 \({\kern0pt}[-2, 2]\)에서 기함수 부분과 우함수 부분을 분리하여 \({\kern0pt}\int_{-2}^{2} g(x)\,dx\)를 \({\kern0pt}\int_{0}^{2}\) 꼴의 정적분으로 나타내시오.

[8-2] (6.5점) 정적분 \({\kern0pt}\int_{-2}^{2} g(x)\,dx\)의 값을 구하시오.

🎯 정답 : [8-1] \({\kern0pt}2\int_{0}^{2} (4x^2 + 2)\,dx\) | [8-2] \({\kern0pt}\dfrac{88}{3}\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 대칭구간 \({\kern0pt}[-a, a]\)에서 기함수의 정적분은 \({\kern0pt}0\)이고 우함수의 정적분은 \({\kern0pt}2\int_0^a\)와 같다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 기함수 \({\kern0pt}3x^3 - 5x\)의 정적분은 \({\kern0pt}0\)이므로 \({\kern0pt}\int_{-2}^2 g(x)\,dx = 2\int_0^2 (4x^2 + 2)\,dx\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 계산하면 \({\kern0pt}2\Bigl[\dfrac{4}{3}x^3 + 2x\Bigr]_0^2 = 2\left(\dfrac{32}{3} + 4\right) = \dfrac{88}{3}\)이다.

배점 단계	국민대학교 자연A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [8-1] (6점)	• 기함수 소거 및 \({\kern0pt}2\int_0^2 (4x^2+2)\,dx\) 변형 +6점
소문항 [8-2] (6.5점)	• 부정적분 \({\kern0pt}\dfrac{4}{3}x^3 + 2x\) 대입 +3점 / 최종값 \({\kern0pt}\dfrac{88}{3}\) 도출 +3.5점

💡 감점 방어 클리닉: 적분구간이 원점에 대하여 대칭일 때는 홀수차항을 먼저 소거하면 계산 실수를 원천 차단할 수 있습니다.