2027학년도 대비 국민대학교 자연A형 약술형 논술 모의고사 7회 (해설집)

2027학년도 대비 국민대학교 자연A형 약술형 논술 실전 모의고사 7회 (모범해설 및 2열 부분점수 채점기준표) 수리 영역 8문항 (80분 / 100점 만점 · 수능최저 2합 6 이내)

[문항 1] 로그의 밑변환 공식과 진수 거듭제곱의 연산

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 12.5점 (6점+6.5점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.6 탐구 17071 변형 | 성취기준: 12대수01-04]

\({\kern0pt}1\)이 아닌 세 양수 \({\kern0pt}a, b, c\)가 \({\kern0pt}\log_a b = 4\), \({\kern0pt}\log_b c = \dfrac{3}{2}\)을 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.

[1-1] (6점) 로그의 밑변환 공식을 이용하여 \({\kern0pt}\log_a c\)의 값을 구하시오.

[1-2] (6.5점) \({\kern0pt}\log_c(a^2 b)\)의 값을 구하시오.

🎯 정답 : [1-1] \({\kern0pt}\log_a c = 6\) | [1-2] \({\kern0pt}1\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 로그의 밑변환 공식 \({\kern0pt}\log_x y = \dfrac{\log_a y}{\log_a x}\)에 의해 \({\kern0pt}\log_a c = \log_a b \cdot \log_b c\)이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \({\kern0pt}\log_a c = 4 \times \dfrac{3}{2} = 6\)이고, 구하는 식을 밑이 \({\kern0pt}a\)인 로그로 변환하면 \({\kern0pt}\log_c(a^2 b) = \dfrac{\log_a(a^2 b)}{\log_a c} = \dfrac{2 + \log_a b}{\log_a c}\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \({\kern0pt}\log_a b = 4,\; \log_a c = 6\)을 대입하면 \({\kern0pt}\dfrac{2 + 4}{6} = 1\)이다.

배점 단계	국민대학교 자연A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (6점)	• 밑변환 공식으로 \({\kern0pt}\log_a c = 6\) 산출 +6점
소문항 [1-2] (6.5점)	• \({\kern0pt}\dfrac{2 + \log_a b}{\log_a c}\) 변형 +3.5점 / 최종값 \({\kern0pt}1\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 서로 다른 밑을 가진 로그들의 곱과 나눗셈은 공통 밑 \({\kern0pt}a\)로 통일하면 일관되게 정리됩니다.

[문항 2] 제2사분면 각의 삼각함수 사이의 관계와 대칭식

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 12.5점 (6점+6.5점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.4 탐구 17072 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

\({\kern0pt}\dfrac{\pi}{2} < \theta < \pi\)인 각 \({\kern0pt}\theta\)에 대하여 \({\kern0pt}\sin\theta + \cos\theta = \dfrac{1}{3}\)일 때, 다음 물음에 답하시오.

[2-1] (6점) \({\kern0pt}\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\)을 이용하여 \({\kern0pt}\sin\theta\cos\theta\)의 값을 구하시오.

[2-2] (6.5점) \({\kern0pt}\sin\theta - \cos\theta\)의 값을 구하시오.

🎯 정답 : [2-1] \({\kern0pt}\sin\theta\cos\theta = -\dfrac{4}{9}\) | [2-2] \({\kern0pt}\dfrac{\sqrt{17}}{3}\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 삼각함수의 기본 항등식 \({\kern0pt}\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\)과 곱셈공식의 변형을 적용한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \({\kern0pt}(\sin\theta + \cos\theta)^2 = 1 + 2\sin\theta\cos\theta = \dfrac{1}{9}\)에서 \({\kern0pt}\sin\theta\cos\theta = -\dfrac{4}{9}\)이고, \({\kern0pt}(\sin\theta - \cos\theta)^2 = 1 - 2\sin\theta\cos\theta = \dfrac{17}{9}\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \({\kern0pt}\dfrac{\pi}{2} < \theta < \pi\)에서 \({\kern0pt}\sin\theta > 0,\; \cos\theta < 0\)이므로 \({\kern0pt}\sin\theta - \cos\theta > 0\)이고, 구하는 값은 \({\kern0pt}\dfrac{\sqrt{17}}{3}\)이다.

배점 단계	국민대학교 자연A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (6점)	• 제곱 전개를 통해 \({\kern0pt}\sin\theta\cos\theta = -\dfrac{4}{9}\) 산출 +6점
소문항 [2-2] (6.5점)	• 제2사분면 부호 \({\kern0pt}\sin\theta - \cos\theta > 0\) 판정 +3점 / \({\kern0pt}\dfrac{\sqrt{17}}{3}\) 도출 +3.5점

💡 감점 방어 클리닉: 제곱근을 취할 때 사분면에 따른 삼각함수의 부호(\({\kern0pt}\sin\theta > 0, \cos\theta < 0\))를 반드시 근거로 적어야 합니다.

[문항 3] 귀납적으로 정의된 수열의 일반항과 제10항의 계산

대수 Ⅲ. 수열 | 배점 12.5점 (6점+6.5점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.7 탐구 17073 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]

첫째항이 \({\kern0pt}a_1 = 3\)인 수열 \({\kern0pt}\{a_n\}\)이 모든 자연수 \({\kern0pt}n\)에 대하여 \({\kern0pt}a_{n+1} - a_n = 4n - 1\)을 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.

[3-1] (6점) \({\kern0pt}n \ge 2\)일 때 일반항 \({\kern0pt}a_n\)을 시그마(\({\kern0pt}\sum\))를 이용하여 구하시오.

[3-2] (6.5점) \({\kern0pt}a_{10}\)의 값을 구하시오.

🎯 정답 : [3-1] \({\kern0pt}a_n = 2n^2 - 3n + 4\) | [3-2] \({\kern0pt}a_{10} = 174\)

[1줄: 공식선언 (30%)] \({\kern0pt}k = 1, 2, \dots, n-1\)을 대입하여 변끼리 더하면 \({\kern0pt}n \ge 2\)일 때 \({\kern0pt}a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (4k - 1)\)이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \({\kern0pt}a_n = 3 + 4 \cdot \dfrac{(n-1)n}{2} - (n - 1) = 2n^2 - 3n + 4\)이며 \({\kern0pt}n = 1\)일 때도 성립한다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \({\kern0pt}n = 10\)을 대입하면 \({\kern0pt}a_{10} = 2(100) - 3(10) + 4 = 174\)이다.

배점 단계	국민대학교 자연A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (6점)	• 축차대입 합의 식 수립 및 \({\kern0pt}a_n = 2n^2 - 3n + 4\) 도출 +6점
소문항 [3-2] (6.5점)	• \({\kern0pt}n = 10\) 대입 과정 +3점 / \({\kern0pt}a_{10} = 174\) 산출 +3.5점

💡 감점 방어 클리닉: 시그마의 위끝이 \({\kern0pt}n\)이 아니라 \({\kern0pt}n-1\)임에 주의하여 \({\kern0pt}\sum_{k=1}^{n-1} k = \dfrac{(n-1)n}{2}\)로 계산합니다.

[문항 4] 등비중항의 성질을 이용한 등비수열의 첫째항과 공비 결정

대수 Ⅲ. 수열 | 배점 12.5점 (6점+6.5점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.5 탐구 17074 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03]

모든 항이 양수인 등비수열 \({\kern0pt}\{a_n\}\)에서 \({\kern0pt}a_2 a_4 = 36\), \({\kern0pt}a_5 = 54\)일 때, 다음 물음에 답하시오.

[4-1] (6점) 등비중항의 성질을 이용하여 제\({\kern0pt}3\)항 \({\kern0pt}a_3\)의 값을 구하시오.

[4-2] (6.5점) 등비수열 \({\kern0pt}\{a_n\}\)의 공비 \({\kern0pt}r\)와 첫째항 \({\kern0pt}a_1\)의 값을 각각 구하시오.

🎯 정답 : [4-1] \({\kern0pt}a_3 = 6\) | [4-2] \({\kern0pt}r = 3,\; a_1 = \dfrac{2}{3}\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 등비중항의 성질에 의해 \({\kern0pt}a_2 a_4 = a_3^2 = 36\)이고, 모든 항이 양수이므로 \({\kern0pt}a_3 = 6\)이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \({\kern0pt}a_5 = a_3 r^2 = 6r^2 = 54\)에서 \({\kern0pt}r^2 = 9\)이고, 모든 항이 양수이므로 공비는 \({\kern0pt}r = 3\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 첫째항은 \({\kern0pt}a_1 = \dfrac{a_3}{r^2} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}\)이다.

배점 단계	국민대학교 자연A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (6점)	• \({\kern0pt}a_3^2 = 36\) 및 양수 조건으로 \({\kern0pt}a_3 = 6\) 산출 +6점
소문항 [4-2] (6.5점)	• 공비 \({\kern0pt}r = 3\) 도출 +3.5점 / 첫째항 \({\kern0pt}a_1 = \dfrac{2}{3}\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 모든 항이 양수인 등비수열이므로 공비 \({\kern0pt}r > 0\) 조건을 근거로 \({\kern0pt}r = -3\)을 배제해야 합니다.

[문항 5] 실수 전체에서 연속인 함수의 미정계수와 함숫값 결정

미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 | 배점 12.5점 (6점+6.5점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.7 탐구 17075 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]

모든 실수 \({\kern0pt}x\)에서 연속인 함수 \({\kern0pt}f(x)\)가 \({\kern0pt}(x - 2)f(x) = x^3 - kx^2 + 3x - 2\)를 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.

[5-1] (6점) 상수 \({\kern0pt}k\)의 값을 구하고, \({\kern0pt}x \ne 2\)일 때 \({\kern0pt}f(x)\)의 식을 구하시오.

[5-2] (6.5점) 함수 \({\kern0pt}f(x)\)의 연속성을 이용하여 \({\kern0pt}f(2)\)의 값을 구하시오.

🎯 정답 : [5-1] \({\kern0pt}k = 3,\; f(x) = x^2 - x + 1\) (\({\kern0pt}x \ne 2\)) | [5-2] \({\kern0pt}f(2) = 3\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 항등식 \({\kern0pt}(x - 2)f(x) = x^3 - kx^2 + 3x - 2\)의 양변에 \({\kern0pt}x = 2\)를 대입하면 \({\kern0pt}0 = 8 - 4k + 6 - 2\)에서 \({\kern0pt}k = 3\)이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \({\kern0pt}k = 3\)일 때 우변을 인수분해하면 \({\kern0pt}(x - 2)(x^2 - x + 1)\)이므로 \({\kern0pt}x \ne 2\)일 때 \({\kern0pt}f(x) = x^2 - x + 1\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 함수 \({\kern0pt}f(x)\)가 \({\kern0pt}x = 2\)에서 연속이므로 \({\kern0pt}f(2) = \lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} (x^2 - x + 1) = 3\)이다.

배점 단계	국민대학교 자연A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (6점)	• \({\kern0pt}k = 3\) 산출 및 인수분해로 \({\kern0pt}f(x) = x^2 - x + 1\) 도출 +6점
소문항 [5-2] (6.5점)	• 연속 정의 \({\kern0pt}f(2) = \lim_{x \to 2} f(x)\) 명시 +3점 / \({\kern0pt}f(2) = 3\) 산출 +3.5점

💡 감점 방어 클리닉: \({\kern0pt}x - 2\)로 양변을 나눌 때는 반드시 \({\kern0pt}x \ne 2\) 조건을 먼저 밝힌 뒤 극한으로 \({\kern0pt}f(2)\)를 구해야 논리적 감점이 없습니다.

[문항 6] 삼차함수의 극댓값과 극솟값의 차

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 12.5점 (6점+6.5점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.7 탐구 17076 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

삼차함수 \({\kern0pt}f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 5\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[6-1] (6점) 도함수 \({\kern0pt}f'(x)\)를 구하고 함수 \({\kern0pt}f(x)\)가 극값을 갖는 \({\kern0pt}x\)의 값을 모두 구하시오.

[6-2] (6.5점) 함수 \({\kern0pt}f(x)\)의 극댓값 \({\kern0pt}M\)과 극솟값 \({\kern0pt}m\)을 각각 구하고, \({\kern0pt}M - m\)의 값을 구하시오.

🎯 정답 : [6-1] \({\kern0pt}f'(x) = 3(x-1)(x-3),\; x = 1, 3\) | [6-2] \({\kern0pt}M = 9,\; m = 5,\; M - m = 4\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 도함수는 \({\kern0pt}f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x - 1)(x - 3)\)이고, \({\kern0pt}f'(x) = 0\)의 해는 \({\kern0pt}x = 1, 3\)이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \({\kern0pt}x = 1\) 좌우에서 \({\kern0pt}f'(x)\)의 부호가 양에서 음으로 바뀌므로 극댓값은 \({\kern0pt}M = f(1) = 1 - 6 + 9 + 5 = 9\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \({\kern0pt}x = 3\)에서 극솟값은 \({\kern0pt}m = f(3) = 27 - 54 + 27 + 5 = 5\)이므로 \({\kern0pt}M - m = 9 - 5 = 4\)이다.

배점 단계	국민대학교 자연A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [6-1] (6점)	• \({\kern0pt}f'(x) = 3(x-1)(x-3)\) 및 극점 \({\kern0pt}x = 1, 3\) 도출 +6점
소문항 [6-2] (6.5점)	• \({\kern0pt}M = 9,\; m = 5\) 산출 +3.5점 / \({\kern0pt}M - m = 4\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 도함수의 부호 변화(\({\kern0pt}+\to-\) 극대, \({\kern0pt}-\to+\) 극소)를 함께 언급하면 채점 기준표를 완벽히 충족합니다.

[문항 7] 정적분으로 정의된 함수의 미분과 미정계수의 결정

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 배점 12.5점 (6점+6.5점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.4 탐구 17077 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]

다항함수 \({\kern0pt}f(x)\)가 모든 실수 \({\kern0pt}x\)에 대하여 \({\kern0pt}\int_{1}^{x} f(t)\,dt = x^3 + ax^2 - 5x + 3\)을 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.

[7-1] (6점) 위끝과 아래끝이 같아지는 \({\kern0pt}x\)의 값을 대입하여 상수 \({\kern0pt}a\)의 값을 구하시오.

[7-2] (6.5점) 양변을 \({\kern0pt}x\)에 대하여 미분하여 \({\kern0pt}f(x)\)를 구하고, \({\kern0pt}f(2)\)의 값을 구하시오.

🎯 정답 : [7-1] \({\kern0pt}a = 1\) | [7-2] \({\kern0pt}f(x) = 3x^2 + 2x - 5,\; f(2) = 11\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 정적분의 성질 \({\kern0pt}\int_1^1 f(t)\,dt = 0\)과 정적분으로 정의된 함수의 미분법 \({\kern0pt}\dfrac{d}{dx}\int_1^x f(t)\,dt = f(x)\)를 적용한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 양변에 \({\kern0pt}x = 1\)을 대입하면 \({\kern0pt}0 = 1 + a - 5 + 3 \implies a = 1\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 양변을 \({\kern0pt}x\)에 대하여 미분하면 \({\kern0pt}f(x) = 3x^2 + 2x - 5\)이므로 \({\kern0pt}f(2) = 12 + 4 - 5 = 11\)이다.

배점 단계	국민대학교 자연A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [7-1] (6점)	• \({\kern0pt}x = 1\) 대입으로 \({\kern0pt}a = 1\) 산출 +6점
소문항 [7-2] (6.5점)	• 미분하여 \({\kern0pt}f(x) = 3x^2 + 2x - 5\) 도출 +3.5점 / \({\kern0pt}f(2) = 11\) 계산 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 정적분으로 정의된 함수 항등식은 (1) 위·아래끝 일치 값 대입, (2) 양변 미분의 2단계를 표준 절차로 서술합니다.

[문항 8] 수직선 위를 움직이는 점의 운동 방향 전환과 움직인 거리

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 12.5점 (6점+6.5점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.8 탐구 17078 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]

수직선 위를 움직이는 점 \({\kern0pt}\mathrm{P}\)의 시각 \({\kern0pt}t\) (\({\kern0pt}t \ge 0\))에서의 속도가 \({\kern0pt}v(t) = 3t^2 - 12t + 9\)일 때, 다음 물음에 답하시오.

[8-1] (6점) 점 \({\kern0pt}\mathrm{P}\)의 운동 방향이 바뀌는 시각 \({\kern0pt}t\)를 모두 구하시오.

[8-2] (6.5점) 시각 \({\kern0pt}t = 0\)에서 \({\kern0pt}t = 4\)까지 점 \({\kern0pt}\mathrm{P}\)가 실제로 움직인 거리 \({\kern0pt}s\)를 구하시오.

🎯 정답 : [8-1] \({\kern0pt}t = 1,\; t = 3\) | [8-2] \({\kern0pt}s = 12\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 속도 \({\kern0pt}v(t) = 3(t - 1)(t - 3) = 0\)에서 부호가 바뀌는 시각 \({\kern0pt}t = 1, 3\)에서 운동 방향이 바뀐다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 움직인 거리는 \({\kern0pt}s = \int_0^4 |v(t)|\,dt = \int_0^1 v(t)\,dt - \int_1^3 v(t)\,dt + \int_3^4 v(t)\,dt\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \({\kern0pt}F(t) = t^3 - 6t^2 + 9t\)라 하면 \({\kern0pt}F(0)=0,\; F(1)=4,\; F(3)=0,\; F(4)=4\)이므로 \({\kern0pt}s = 4 + 4 + 4 = 12\)이다.

배점 단계	국민대학교 자연A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [8-1] (6점)	• \({\kern0pt}v(t) = 3(t-1)(t-3) = 0\)으로부터 \({\kern0pt}t = 1, 3\) 도출 +6점
소문항 [8-2] (6.5점)	• 구간별 절댓값 적분 분리 +3점 / 총 거리 \({\kern0pt}12\) 산출 +3.5점

💡 감점 방어 클리닉: 위치의 변화량 \({\kern0pt}\int_0^4 v(t)\,dt = 4\)와 실제로 움직인 거리 \({\kern0pt}\int_0^4 |v(t)|\,dt = 12\)를 혼동하지 않도록 주의합니다.