2027학년도 대비 국민대학교 자연A형 약술형 논술 모의고사 6회 (해설집)

2027학년도 대비 국민대학교 자연A형 약술형 논술 실전 모의고사 6회 (모범해설 및 2열 부분점수 채점기준표) 수리 영역 8문항 (80분 / 100점 만점 · 수능최저 2합 6 이내)

[문항 1] 유리수 지수법칙과 거듭제곱근의 혼합 연산

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 12.5점 (6점+6.5점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.3 탐구 17061 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]

두 양수 \({\kern0pt}a, b\)가 \({\kern0pt}a^{\frac{1}{3}} = 2\), \({\kern0pt}b^{\frac{1}{4}} = 3\)을 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.

[1-1] (6점) \({\kern0pt}a\)와 \({\kern0pt}b\)의 값을 각각 구하시오.

[1-2] (6.5점) 유리수 지수법칙을 이용하여 \({\kern0pt}\left(\dfrac{a^2}{b}\right)^{\frac{3}{2}} \cdot b^{\frac{5}{2}}\)의 값을 구하시오.

🎯 정답 : [1-1] \({\kern0pt}a = 8,\; b = 81\) | [1-2] \({\kern0pt}41472\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 거듭제곱과 유리수 지수법칙 \({\kern0pt}(a^m)^n = a^{mn}\), \({\kern0pt}a^m a^n = a^{m+n}\)을 적용한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \({\kern0pt}a = 2^3 = 8,\; b = 3^4 = 81\)이고, 주어진 식을 정리하면 \({\kern0pt}a^{2 \cdot \frac{3}{2}} b^{-\frac{3}{2} + \frac{5}{2}} = a^3 b\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \({\kern0pt}a^3 b = 8^3 \times 81 = 512 \times 81 = 41472\)이다.

배점 단계	국민대학교 자연A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (6점)	• \({\kern0pt}a = 2^3 = 8\) 및 \({\kern0pt}b = 3^4 = 81\) 산출 +6점
소문항 [1-2] (6.5점)	• 주어진 식을 \({\kern0pt}a^3 b\)로 간단히 정리 +3.5점 / 최종값 \({\kern0pt}41472\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 지수 밑이 양수일 때만 유리수 지수법칙을 자유롭게 적용할 수 있음을 확인하고 지수를 먼저 정리한 뒤 대입합니다.

[문항 2] 닫힌구간에서 로그함수의 최댓값·최솟값과 상수 결정

대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 12.5점 (6점+6.5점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.4 탐구 17062 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07]

닫힌구간 \({\kern0pt}[1, 13]\)에서 정의된 로그함수 \({\kern0pt}f(x) = \log_3(2x + 1) + m\) (단, \({\kern0pt}m\)은 상수)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[2-1] (6점) 닫힌구간 \({\kern0pt}[1, 13]\)에서 함수 \({\kern0pt}f(x)\)의 최댓값과 최솟값을 각각 \({\kern0pt}m\)에 대한 식으로 나타내시오.

[2-2] (6.5점) 함수 \({\kern0pt}f(x)\)의 최댓값과 최솟값의 합이 \({\kern0pt}10\)일 때, 상수 \({\kern0pt}m\)의 값과 \({\kern0pt}f(4)\)의 값을 각각 구하시오.

🎯 정답 : [2-1] 최댓값 \({\kern0pt}3 + m\), 최솟값 \({\kern0pt}1 + m\) | [2-2] \({\kern0pt}m = 3,\; f(4) = 5\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 밑이 \({\kern0pt}3 > 1\)이므로 로그함수 \({\kern0pt}f(x) = \log_3(2x + 1) + m\)은 닫힌구간 \({\kern0pt}[1, 13]\)에서 단조증가함수이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 최솟값은 \({\kern0pt}f(1) = \log_3 3 + m = 1 + m\), 최댓값은 \({\kern0pt}f(13) = \log_3 27 + m = 3 + m\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \({\kern0pt}(1 + m) + (3 + m) = 2m + 4 = 10\)에서 \({\kern0pt}m = 3\)이고, \({\kern0pt}f(4) = \log_3 9 + 3 = 2 + 3 = 5\)이다.

배점 단계	국민대학교 자연A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (6점)	• 밑 \({\kern0pt}3 > 1\) 증가성 근거로 최솟값 \({\kern0pt}1+m\), 최댓값 \({\kern0pt}3+m\) 표현 +6점
소문항 [2-2] (6.5점)	• \({\kern0pt}m = 3\) 결정 +3.5점 / \({\kern0pt}f(4) = 5\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 로그함수의 최대·최소 서술 시 밑이 \({\kern0pt}1\)보다 크므로 증가함수라는 성질을 1줄에 명시해야 감점이 없습니다.

[문항 3] 코사인법칙을 이용한 변의 길이와 삼각형의 넓이

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 12.5점 (6점+6.5점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.7 탐구 17063 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

삼각형 \({\kern0pt}\mathrm{ABC}\)에서 \({\kern0pt}\overline{\mathrm{AB}} = 6\), \({\kern0pt}\overline{\mathrm{AC}} = 5\), \({\kern0pt}\cos A = \dfrac{3}{5}\)일 때, 다음 물음에 답하시오.

[3-1] (6점) 코사인법칙을 이용하여 변 \({\kern0pt}\mathrm{BC}\)의 길이를 구하시오.

[3-2] (6.5점) \({\kern0pt}\sin A\)의 값과 삼각형 \({\kern0pt}\mathrm{ABC}\)의 넓이 \({\kern0pt}S\)를 각각 구하시오.

🎯 정답 : [3-1] \({\kern0pt}\overline{\mathrm{BC}} = 5\) | [3-2] \({\kern0pt}\sin A = \dfrac{4}{5},\; S = 12\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 코사인법칙 \({\kern0pt}\overline{\mathrm{BC}}^2 = \overline{\mathrm{AB}}^2 + \overline{\mathrm{AC}}^2 - 2\overline{\mathrm{AB}}\cdot\overline{\mathrm{AC}}\cos A\)와 넓이 공식 \({\kern0pt}S = \dfrac{1}{2}\overline{\mathrm{AB}}\cdot\overline{\mathrm{AC}}\sin A\)를 적용한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \({\kern0pt}\overline{\mathrm{BC}}^2 = 36 + 25 - 2 \cdot 6 \cdot 5 \cdot \dfrac{3}{5} = 61 - 36 = 25\)이므로 \({\kern0pt}\overline{\mathrm{BC}} = 5\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \({\kern0pt}0 < A < \pi\)에서 \({\kern0pt}\sin A = \sqrt{1 - (3/5)^2} = \dfrac{4}{5}\)이므로 넓이는 \({\kern0pt}S = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 \cdot \dfrac{4}{5} = 12\)이다.

배점 단계	국민대학교 자연A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (6점)	• 코사인법칙 식 수립 및 \({\kern0pt}\overline{\mathrm{BC}} = 5\) 도출 +6점
소문항 [3-2] (6.5점)	• \({\kern0pt}\sin A = \dfrac{4}{5}\) 산출 +3점 / 넓이 \({\kern0pt}S = 12\) 계산 +3.5점

💡 감점 방어 클리닉: 삼각형의 내각 \({\kern0pt}A\)는 \({\kern0pt}0 < A < \pi\)이므로 \({\kern0pt}\sin A > 0\)임을 명시하여 부호 오류를 예방합니다.

[문항 4] 등차수열의 부분합의 차와 일반항의 결정

대수 Ⅲ. 수열 | 배점 12.5점 (6점+6.5점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.4 탐구 17064 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03]

첫째항이 \({\kern0pt}a_1 = 5\)인 등차수열 \({\kern0pt}\{a_n\}\)의 첫째항부터 제\({\kern0pt}n\)항까지의 합을 \({\kern0pt}S_n\)이라 하자. \({\kern0pt}S_7 - S_4 = 75\)일 때, 다음 물음에 답하시오.

[4-1] (6점) \({\kern0pt}S_7 - S_4\)를 제\({\kern0pt}6\)항 \({\kern0pt}a_6\)에 대한 식으로 나타내고 \({\kern0pt}a_6\)의 값을 구하시오.

[4-2] (6.5점) 등차수열 \({\kern0pt}\{a_n\}\)의 공차 \({\kern0pt}d\)와 제\({\kern0pt}10\)항 \({\kern0pt}a_{10}\)의 값을 각각 구하시오.

🎯 정답 : [4-1] \({\kern0pt}S_7 - S_4 = 3a_6,\; a_6 = 25\) | [4-2] \({\kern0pt}d = 4,\; a_{10} = 41\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 수열의 합과 일반항의 관계 및 등차중항 성질에 의해 \({\kern0pt}S_7 - S_4 = a_5 + a_6 + a_7 = 3a_6\)이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \({\kern0pt}3a_6 = 75\)에서 \({\kern0pt}a_6 = 25\)이고, \({\kern0pt}a_6 = a_1 + 5d = 5 + 5d = 25\)이므로 공차는 \({\kern0pt}d = 4\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 일반항은 \({\kern0pt}a_n = 4n + 1\)이므로 제\({\kern0pt}10\)항은 \({\kern0pt}a_{10} = 4(10) + 1 = 41\)이다.

배점 단계	국민대학교 자연A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (6점)	• \({\kern0pt}S_7 - S_4 = a_5+a_6+a_7 = 3a_6\) 정리 및 \({\kern0pt}a_6 = 25\) 산출 +6점
소문항 [4-2] (6.5점)	• 공차 \({\kern0pt}d = 4\) 도출 +3점 / \({\kern0pt}a_{10} = 41\) 계산 +3.5점

💡 감점 방어 클리닉: 연속된 세 항의 합 \({\kern0pt}a_5 + a_6 + a_7\)을 등차중항 성질 \({\kern0pt}3a_6\)으로 바꾸면 계산 시간을 크게 단축할 수 있습니다.

[문항 5] 무한대·유한 확정 극한 조건을 만족하는 다항함수의 결정

미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 배점 12.5점 (6점+6.5점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.4 탐구 17065 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

다항함수 \({\kern0pt}f(x)\)가 \({\kern0pt}\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 2x^3}{x^2} = -3\), \({\kern0pt}\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x)}{x - 2} = 5\)를 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.

[5-1] (6점) \({\kern0pt}x \to \infty\)일 때의 극한 조건을 이용하여 \({\kern0pt}f(x)\)의 차수와 이차항까지의 계수를 결정하시오.

[5-2] (6.5점) \({\kern0pt}x \to 2\)일 때의 극한 조건을 이용하여 다항함수 \({\kern0pt}f(x)\)를 구하고, \({\kern0pt}f(3)\)의 값을 구하시오.

🎯 정답 : [5-1] \({\kern0pt}f(x) = 2x^3 - 3x^2 + ax + b\) | [5-2] \({\kern0pt}f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 7x + 10,\; f(3) = 16\)

[1줄: 공식선언 (30%)] \({\kern0pt}x \to \infty\) 극한이 \({\kern0pt}-3\)으로 수렴하므로 \({\kern0pt}f(x) - 2x^3 = -3x^2 + ax + b\), 즉 \({\kern0pt}f(x) = 2x^3 - 3x^2 + ax + b\)이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \({\kern0pt}x \to 2\)일 때 분모가 \({\kern0pt}0\)으로 수렴하므로 \({\kern0pt}f(2) = 4 + 2a + b = 0\)이고, \({\kern0pt}f'(2) = 24 - 12 + a = 5 \implies a = -7,\; b = 10\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \({\kern0pt}f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 7x + 10\)이므로 \({\kern0pt}f(3) = 54 - 27 - 21 + 10 = 16\)이다.

배점 단계	국민대학교 자연A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (6점)	• \({\kern0pt}f(x) = 2x^3 - 3x^2 + ax + b\) 형태 설정 +6점
소문항 [5-2] (6.5점)	• \({\kern0pt}a = -7,\; b = 10\) 결정 +3.5점 / \({\kern0pt}f(3) = 16\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 다항함수에서 \({\kern0pt}\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x)}{x-2} = 5\)는 \({\kern0pt}f(2)=0\)과 \({\kern0pt}f'(2)=5\) 두 조건을 동시에 제공합니다.

[문항 6] 미분계수의 정의를 이용한 극한값의 계산

미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 | 배점 12.5점 (6점+6.5점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.3 탐구 17066 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-03]

삼차함수 \({\kern0pt}f(x) = x^3 + 2x^2 - 4x + 3\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[6-1] (6점) 도함수 \({\kern0pt}f'(x)\)를 구하고 미분계수 \({\kern0pt}f'(1)\)의 값을 구하시오.

[6-2] (6.5점) 미분계수의 정의를 이용하여 극한 \({\kern0pt}\lim_{h \to 0} \dfrac{f(1 + 2h) - f(1 - 3h)}{h}\)의 값을 구하시오.

🎯 정답 : [6-1] \({\kern0pt}f'(x) = 3x^2 + 4x - 4,\; f'(1) = 3\) | [6-2] \({\kern0pt}15\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 미분계수의 정의 \({\kern0pt}\lim_{t \to 0} \dfrac{f(a+t) - f(a)}{t} = f'(a)\)를 이용하기 위해 분자에 \({\kern0pt}f(1)\)을 빼고 더한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \({\kern0pt}f'(x) = 3x^2 + 4x - 4\)에서 \({\kern0pt}f'(1) = 3\)이고, 주어진 식은 \({\kern0pt}2\lim_{h \to 0}\dfrac{f(1+2h)-f(1)}{2h} + 3\lim_{h \to 0}\dfrac{f(1-3h)-f(1)}{-3h} = 5f'(1)\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 구하는 극한값은 \({\kern0pt}5f'(1) = 5 \times 3 = 15\)이다.

배점 단계	국민대학교 자연A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [6-1] (6점)	• \({\kern0pt}f'(x) = 3x^2 + 4x - 4\) 및 \({\kern0pt}f'(1) = 3\) 도출 +6점
소문항 [6-2] (6.5점)	• 극한식을 \({\kern0pt}5f'(1)\)로 변형 +3.5점 / 극한값 \({\kern0pt}15\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 객관식 요령이 아닌 \({\kern0pt}f(1)\)을 더하고 빼서 미분계수 정의 꼴로 변형하는 식을 한 줄 적어주면 감점을 완벽히 방어합니다.

[문항 7] 삼차곡선 위의 점에서의 접선과 곡선의 교점

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 12.5점 (6점+6.5점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.5 탐구 17067 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

삼차곡선 \({\kern0pt}y = x^3 - 3x^2 + 2x + 4\) 위의 점 \({\kern0pt}\mathrm{A}(2, 4)\)에서의 접선 \({\kern0pt}l\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[7-1] (6점) 점 \({\kern0pt}\mathrm{A}(2, 4)\)에서의 접선 \({\kern0pt}l\)의 방정식을 구하시오.

[7-2] (6.5점) 접선 \({\kern0pt}l\)이 삼차곡선과 점 \({\kern0pt}\mathrm{A}\)가 아닌 다른 점에서 만날 때, 그 교점 \({\kern0pt}\mathrm{B}\)의 좌표 \({\kern0pt}(p, q)\)를 구하시오.

🎯 정답 : [7-1] \({\kern0pt}y = 2x\) | [7-2] \({\kern0pt}(-1, -2)\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 도함수 \({\kern0pt}y' = 3x^2 - 6x + 2\)에서 \({\kern0pt}x = 2\)일 때 접선의 기울기는 \({\kern0pt}y'(2) = 12 - 12 + 2 = 2\)이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 접선 \({\kern0pt}l\)의 방정식은 \({\kern0pt}y = 2(x - 2) + 4 = 2x\)이고, 곡선과 연립하면 \({\kern0pt}x^3 - 3x^2 + 2x + 4 = 2x \iff x^3 - 3x^2 + 4 = 0\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \({\kern0pt}(x - 2)^2(x + 1) = 0\)에서 접점 \({\kern0pt}x = 2\)가 아닌 다른 교점의 \({\kern0pt}x\)좌표는 \({\kern0pt}x = -1\)이므로 \({\kern0pt}\mathrm{B}(-1, -2)\)이다.

배점 단계	국민대학교 자연A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [7-1] (6점)	• 기울기 \({\kern0pt}y'(2)=2\) 및 접선의 방정식 \({\kern0pt}y = 2x\) 도출 +6점
소문항 [7-2] (6.5점)	• \({\kern0pt}(x-2)^2(x+1)=0\) 인수분해 +3.5점 / 교점 \({\kern0pt}(-1, -2)\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 접점 \({\kern0pt}x = 2\)는 연립방정식에서 항상 중근 인자 \({\kern0pt}(x-2)^2\)를 가진다는 성질을 이용하면 즉시 인수분해됩니다.

[문항 8] 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 12.5점 (6점+6.5점)

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.7 탐구 17068 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]

이차곡선 \({\kern0pt}y = x^2 - 4x + 5\)와 직선 \({\kern0pt}y = 2x - 3\)으로 둘러싸인 도형에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[8-1] (6점) 이차곡선과 직선의 두 교점의 \({\kern0pt}x\)좌표 \({\kern0pt}\alpha, \beta\) (\({\kern0pt}\alpha < \beta\))를 구하시오.

[8-2] (6.5점) 곡선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 \({\kern0pt}S\)를 정적분으로 나타내고 그 값을 구하시오.

🎯 정답 : [8-1] \({\kern0pt}\alpha = 2,\; \beta = 4\) | [8-2] \({\kern0pt}S = \dfrac{4}{3}\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 교점 방정식 \({\kern0pt}x^2 - 4x + 5 = 2x - 3 \iff x^2 - 6x + 8 = (x - 2)(x - 4) = 0\)이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 따라서 두 교점의 \({\kern0pt}x\)좌표는 \({\kern0pt}\alpha = 2,\; \beta = 4\)이고, 구간 \({\kern0pt}[2, 4]\)에서 직선이 곡선보다 위에 위치한다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 둘러싸인 넓이는 \({\kern0pt}S = \int_{2}^{4} (-x^2 + 6x - 8)\,dx = \dfrac{1}{6}(4 - 2)^3 = \dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3}\)이다.

배점 단계	국민대학교 자연A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [8-1] (6점)	• 연립방정식 수립 및 교점 \({\kern0pt}\alpha = 2,\; \beta = 4\) 산출 +6점
소문항 [8-2] (6.5점)	• 정적분 넓이식 \({\kern0pt}\int_2^4 (-x^2+6x-8)\,dx\) 표현 +3점 / 넓이 \({\kern0pt}\dfrac{4}{3}\) 도출 +3.5점

💡 감점 방어 클리닉: 정적분 넓이 공식을 쓰더라도 피적분함수와 적분구간을 정적분 기호로 먼저 표시해야 과정 점수를 모두 받습니다.