[1줄: 공식선언 (30%)] 양수 \(x, y\)에 대하여 \(x < y \iff x^6 < y^6\)이므로 근호의 지수 \(2, 3, 6\)의 최소공배수인 \(6\)제곱을 비교한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(A^6 = (3^{\frac{1}{2}})^6 = 3^3 = 27\), \(B^6 = (6^{\frac{1}{3}})^6 = 6^2 = 36\), \(C^6 = (30^{\frac{1}{6}})^6 = 30\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(27 < 30 < 36\)이므로 \(A < C < B\)이고, 가장 큰 수 \(B\)와 가장 작은 수 \(A\)에 대하여 \((AB)^6 = A^6 B^6 = 27 \times 36 = 972\)이다.

[1줄: 공식선언 (30%)] \(t = \log_3 x\)로 치환한 이차방정식 \(t^2 - 4t + k = 0\)의 두 근은 \(t_1 = \log_3 \alpha,\; t_2 = \log_3 \beta\)이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 근과 계수의 관계에 의해 \(t_1 + t_2 = \log_3(\alpha\beta) = 4\)이므로 \(\alpha\beta = 3^4 = 81\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(\alpha = 27\beta\)이면 \(t_1 - t_2 = \log_3\left(\dfrac{\alpha}{\beta}\right) = \log_3 27 = 3\)이므로 \(t_1 = \dfrac{7}{2},\; t_2 = \dfrac{1}{2}\)이고, \(k = t_1 t_2 = \dfrac{7}{4}\)이다.

[1줄: 공식선언 (30%)] 삼각함수 항등식 \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\)를 대입하여 삼각함수를 \(\sin x\)로 통일한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(2(1 - \sin^2 x) - \sin x - 1 = 0 \iff 2\sin^2 x + \sin x - 1 = (2\sin x - 1)(\sin x + 1) = 0\)이므로 \(\sin x = \dfrac{1}{2}\) 또는 \(\sin x = -1\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(0 \le x < 2\pi\)에서 \(\sin x = \dfrac{1}{2}\)인 해는 \(x = \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}\)이고 \(\sin x = -1\)인 해는 \(x = \dfrac{3\pi}{2}\)이므로 모든 실근의 합은 \(\pi + \dfrac{3\pi}{2} = \dfrac{5\pi}{2}\)이다.

[1줄: 공식선언 (30%)] \(n \ge 2\)일 때 \(a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (a_{k+1} - a_k) = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k + 1)\)을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\sum_{k=1}^{n-1} (2k + 1) = 2\cdot\dfrac{(n - 1)n}{2} + (n - 1) = n^2 - 1\)이므로 \(a_n = 2 + (n^2 - 1) = n^2 + 1\)이고, 이는 \(n = 1\)일 때도 성립한다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(\sum_{k=1}^{6} (k^2 + 1) = \dfrac{6 \times 7 \times 13}{6} + 6 = 91 + 6 = 97\)이다.

[1줄: 공식선언 (30%)] \(x \to 1\)일 때 분모 \((x - 1)^2\)이 이차로 \(0\)에 수렴하고 극한값이 존재하므로 최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차식 \(f(x)\)는 \((x - 1)^2\)을 인수로 가져야 한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f(x) = (x - 1)^2(x - k)\)로 놓으면 \(\lim_{x \to 1} \dfrac{(x - 1)^2(x - k)}{(x - 1)^2} = 1 - k = 5 \implies k = -4\)이므로 \(f(x) = (x - 1)^2(x + 4)\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 전개하면 \(f(x) = (x^2 - 2x + 1)(x + 4) = x^3 + 2x^2 - 7x + 4\)이므로 \(a = 2,\; b = -7,\; c = 4\)이고 \(f(2) = 1^2 \times 6 = 6\)이다.

[1줄: 공식선언 (30%)] 삼차함수 \(f(x)\)가 열린구간 \((0, 3)\)에서 극댓값과 극솟값을 모두 가지려면 이차함수 \(f'(x) = 3x^2 - 6x + k\)가 \((0, 3)\)에서 서로 다른 두 실근을 가져야 한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f'(x) = 3(x - 1)^2 + k - 3\)의 대칭축이 \(x = 1 \in (0, 3)\)이므로, 판별식 조건 \(D/4 = 9 - 3k > 0 \implies k < 3\)과 경계값 조건 \(f'(0) = k > 0,\; f'(3) = 9 + k > 0\)을 동시에 만족해야 한다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 실수 \(k\)의 값의 범위는 \(0 < k < 3\)이다.

[1줄: 공식선언 (30%)] 포물선 \(y = 12 - x^2\)은 \(y\)축에 대하여 대칭이므로 직사각형의 가로의 길이는 \(2t\), 세로의 길이는 \(12 - t^2\) (\(0 < t < 2\sqrt{3}\))이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(S(t) = 2t(12 - t^2) = -2t^3 + 24t\)이고, 미분하면 \(S'(t) = -6t^2 + 24 = -6(t - 2)(t + 2) = 0\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(0 < t < 2\sqrt{3}\)에서 \(t = 2\)일 때 \(S(t)\)는 극대이면서 최대가 되므로 최댓값은 \(S(2) = 4 \times (12 - 4) = 32\)이다.

[1줄: 공식선언 (30%)] 시각 \(t = 5\)에서의 위치는 \(x(5) = x(0) + \int_{0}^{5} v(t)\,dt\)이고, 실제로 움직인 거리는 \(s = \int_{0}^{5} |v(t)|\,dt\)이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(x(5) = 3 + \int_{0}^{5} (2t - 4)\,dt = 3 + \Bigl[t^2 - 4t\Bigr]_{0}^{5} = 3 + (25 - 20) = 8\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(t = 2\)에서 속도의 부호가 바뀌므로 \(s = \int_{0}^{2} (4 - 2t)\,dt + \int_{2}^{5} (2t - 4)\,dt = 4 + 9 = 13\)이다.