2027학년도 대비 국민대학교 자연A형 약술형 논술 모의고사 4회 (해설집)

2027학년도 대비 국민대학교 자연A형 약술형 논술 실전 모의고사 4회 (모범해설 및 2열 부분점수 채점기준표) 수리 영역 8문항 (80분 / 100점 만점 · 수능최저 2합 6 이내)

[문항 1] 지수 조건식을 이용한 분수식 변형 계산

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 12.5점 (6점+6.5점)

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.5 탐구 17041 변형 | 성취기준: 12대수01-02, 12대수01-03]

실수 \(x\)에 대하여 \(a^{2x} = 5\) (단, \(a > 0\))일 때, 다음 물음에 답하시오.

[1-1] (6점) 분모와 분자에 \(a^x\)를 곱하여 \(\dfrac{a^x - a^{-x}}{a^x + a^{-x}}\)의 값을 구하시오.

[1-2] (6.5점) \(\dfrac{a^{3x} + a^{-3x}}{a^x + a^{-x}}\)의 값을 구하시오.

🎯 정답 : [1-1] \(\dfrac{2}{3}\) | [1-2] \(\dfrac{21}{5}\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 주어진 분수식의 분모와 분자에 각각 \(a^x\)를 곱하여 \(a^{2x} = 5\)와 \(a^{-2x} = \dfrac{1}{5}\)로 정리한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\dfrac{a^x - a^{-x}}{a^x + a^{-x}} = \dfrac{a^{2x} - 1}{a^{2x} + 1} = \dfrac{5 - 1}{5 + 1} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 인수분해 공식 \(A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)\)에 의해 \(\dfrac{a^{3x} + a^{-3x}}{a^x + a^{-x}} = a^{2x} - 1 + a^{-2x} = 5 - 1 + \dfrac{1}{5} = \dfrac{21}{5}\)이다.

배점 단계	국민대학교 자연A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (6점)	• 분자·분모에 \(a^x\)를 곱한 식 제시 +3점 / 값 \(\dfrac{2}{3}\) 산출 +3점
소문항 [1-2] (6.5점)	• \(a^{2x} - 1 + a^{-2x}\) 약분 변형 +3.5점 / 최종값 \(\dfrac{21}{5}\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: \(a^x = \sqrt{5}\)를 직접 대입하기보다 분모·분자에 \(a^x\)를 곱하거나 세제곱 인수분해로 약분하면 무리수 연산 없이 깔끔하게 풀립니다.

[문항 2] 로그의 밑변환 공식과 연쇄 소거 곱셈

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 12.5점 (6점+6.5점)

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.6 탐구 17042 변형 | 성취기준: 12대수01-04]

세 실수 \(A = \log_2 3 \cdot \log_3 5 \cdot \log_5 8\)과 \(B = \log_4 9 + \log_2 6 - \log_2 18\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[2-1] (6점) 로그의 밑변환 공식 \(\log_a b = \dfrac{\log_{10} b}{\log_{10} a}\)를 이용하여 \(A\)의 값을 구하시오.

[2-2] (6.5점) 로그의 성질을 이용하여 \(B\)의 값을 구하고 \(A + B\)를 구하시오.

🎯 정답 : [2-1] \(A = 3\) | [2-2] \(B = 0,\; A + B = 3\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 밑변환 공식 \(\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c\)와 \(\log_{a^m} b^n = \dfrac{n}{m}\log_a b\)를 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(A = \dfrac{\log 3}{\log 2} \cdot \dfrac{\log 5}{\log 3} \cdot \dfrac{3\log 2}{\log 5} = 3\)이고, \(\log_4 9 = \log_{2^2} 3^2 = \log_2 3\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(B = \log_2 3 + \log_2 6 - \log_2 18 = \log_2\left(\dfrac{3 \times 6}{18}\right) = \log_2 1 = 0\)이므로 \(A + B = 3\)이다.

배점 단계	국민대학교 자연A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (6점)	• 밑변환 연쇄 약분 과정 서술 +3점 / \(A = 3\) 산출 +3점
소문항 [2-2] (6.5점)	• \(\log_4 9 = \log_2 3\) 변환 및 \(B = 0\) 도출 +3.5점 / \(A + B = 3\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 밑이 다른 로그를 더하고 뺄 때는 반드시 \(\log_4 9 = \log_2 3\)처럼 밑을 \(2\)로 통일한 뒤 진수끼리 곱하고 나누어야 합니다.

[문항 3] 코사인법칙을 이용한 변의 길이와 삼각형의 넓이

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 12.5점 (6점+6.5점)

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.5 탐구 17043 변형 | 성취기준: 12대수02-03]

삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(\overline{\mathrm{AB}} = 5,\; \overline{\mathrm{AC}} = 8\)이고 \(\angle \mathrm{A} = \dfrac{\pi}{3}\)일 때, 다음 물음에 답하시오.

[3-1] (6점) 코사인법칙을 이용하여 변 \(\overline{\mathrm{BC}}\)의 길이를 구하시오.

[3-2] (6.5점) 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 넓이 \(S\)와 외접원의 반지름의 길이 \(R\)를 각각 구하시오.

🎯 정답 : [3-1] \(\overline{\mathrm{BC}} = 7\) | [3-2] \(S = 10\sqrt{3},\; R = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 코사인법칙 \(\overline{\mathrm{BC}}^2 = \overline{\mathrm{AB}}^2 + \overline{\mathrm{AC}}^2 - 2\overline{\mathrm{AB}}\cdot\overline{\mathrm{AC}}\cos A\)를 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\overline{\mathrm{BC}}^2 = 25 + 64 - 2 \times 5 \times 8 \times \dfrac{1}{2} = 89 - 40 = 49\)이므로 \(\overline{\mathrm{BC}} = 7\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 넓이는 \(S = \dfrac{1}{2} \times 5 \times 8 \times \sin\dfrac{\pi}{3} = 10\sqrt{3}\)이고, 사인법칙에 의해 \(R = \dfrac{7}{2\sin(\pi/3)} = \dfrac{7}{\sqrt{3}} = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}\)이다.

배점 단계	국민대학교 자연A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (6점)	• 코사인법칙 대입 식 제시 +3점 / \(\overline{\mathrm{BC}} = 7\) 산출 +3점
소문항 [3-2] (6.5점)	• 넓이 \(S = 10\sqrt{3}\) 도출 +3점 / 외접원 반지름 \(R = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}\) 산출 +3.5점

💡 감점 방어 클리닉: 국민대 약술형 삼각함수 문항에서는 코사인법칙으로 마주 보는 변을 구한 뒤 사인법칙으로 외접원 반지름까지 연결하는 2단계 구성이 자주 출제됩니다.

[문항 4] 무리식이 포함된 수열의 유리화와 망원급수의 합

대수 Ⅲ. 수열 | 배점 12.5점 (6점+6.5점)

[출처: 대수 Ⅲ-2. 수열의 합 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 탐구 17044 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-05]

자연수 \(n\)에 대하여 수열 \(\{a_n\}\)의 일반항이 \(a_n = \dfrac{2}{\sqrt{2n + 1} + \sqrt{2n - 1}}\)일 때, 다음 물음에 답하시오.

[4-1] (6점) 분모를 유리화하여 일반항 \(a_n\)을 두 무리식의 차 꼴로 나타내시오.

[4-2] (6.5점) \(\sum_{k=1}^{m} a_k = 8\)을 만족시키는 자연수 \(m\)의 값을 구하시오.

🎯 정답 : [4-1] \(a_n = \sqrt{2n + 1} - \sqrt{2n - 1}\) | [4-2] \(m = 40\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 분모와 분자에 켤레 무리식 \(\sqrt{2n + 1} - \sqrt{2n - 1}\)을 곱하여 분모를 유리화한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 분모가 \((2n + 1) - (2n - 1) = 2\)이므로 약분되어 \(a_n = \sqrt{2n + 1} - \sqrt{2n - 1}\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(\sum_{k=1}^{m} a_k = \sqrt{2m + 1} - 1 = 8 \implies \sqrt{2m + 1} = 9 \implies 2m + 1 = 81 \implies m = 40\)이다.

배점 단계	국민대학교 자연A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (6점)	• 분모 유리화 과정 및 \(a_n = \sqrt{2n+1} - \sqrt{2n-1}\) 도출 +6점
소문항 [4-2] (6.5점)	• 소거 후 \(\sqrt{2m+1} - 1 = 8\) 도출 +3.5점 / \(m = 40\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 분모의 차 \((2n+1)-(2n-1) = 2\)가 분자의 \(2\)와 정확히 약분되는지 반드시 확인합니다.

[문항 5] 구간별로 정의된 함수의 실수 전체 연속 조건

미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 | 배점 12.5점 (6점+6.5점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.5 탐구 17045 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 + ax - 6}{x - 2} & (x \ne 2) \\ b & (x = 2) \end{cases}\)가 \(x = 2\)에서 연속일 때, 다음 물음에 답하시오.

[5-1] (6점) 함수 \(f(x)\)가 \(x = 2\)에서 연속이기 위한 극한 등식을 세우고, 상수 \(a, b\)의 값을 각각 구하시오.

[5-2] (6.5점) 닫힌구간 \([0, 4]\)에서 함수 \(f(x)\)의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오.

🎯 정답 : [5-1] \(a = 1,\; b = 5\) | [5-2] \(10\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 함수 \(f(x)\)가 \(x = 2\)에서 연속이므로 \(\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 + ax - 6}{x - 2} = f(2) = b\)가 성립한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(x \to 2\)일 때 분모가 \(0\)에 수렴하므로 분자에 \(x = 2\)를 대입하면 \(4 + 2a - 6 = 0 \implies a = 1\)이고, \(f(x) = \dfrac{(x - 2)(x + 3)}{x - 2} = x + 3\) (\(x \ne 2\))이므로 \(b = \lim_{x \to 2} (x + 3) = 5\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 모든 실수 \(x\)에서 \(f(x) = x + 3\)이므로 닫힌구간 \([0, 4]\)에서 최솟값은 \(f(0) = 3\), 최댓값은 \(f(4) = 7\)이고 그 합은 \(10\)이다.

배점 단계	국민대학교 자연A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (6점)	• 연속 정의 등식 명시 및 \(a = 1\) 산출 +3점 / 인수 약분으로 \(b = 5\) 도출 +3점
소문항 [5-2] (6.5점)	• \(f(x) = x + 3\) 확정 +3점 / 최솟값 \(3\)과 최댓값 \(7\)의 합 \(10\) 산출 +3.5점

💡 감점 방어 클리닉: \(x = 2\)에서 연속성이 확보되면 \(f(x) = x + 3\)은 실수 전체에서 정의된 일차함수와 완전히 일치합니다.

[문항 6] 삼차방정식이 서로 다른 세 실근을 갖기 위한 상수의 범위

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 12.5점 (6점+6.5점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.11 탐구 17046 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

방정식 \(x^3 - 3x^2 - 9x + k = 0\)이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 실수 \(k\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[6-1] (6점) 함수 \(f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x\)의 극댓값과 극솟값을 각각 구하시오.

[6-2] (6.5점) 곡선 \(y = f(x)\)와 직선 \(y = -k\)가 서로 다른 세 점에서 만나도록 하는 실수 \(k\)의 값의 범위를 구하시오.

🎯 정답 : [6-1] 극댓값 \(f(-1) = 5\), 극솟값 \(f(3) = -27\) | [6-2] \(-5 < k < 27\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 방정식을 \(f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x = -k\)로 변형하고 도함수 \(f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x + 1)(x - 3) = 0\)을 푼다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f(x)\)는 \(x = -1\)에서 극댓값 \(f(-1) = -1 - 3 + 9 = 5\)를 갖고, \(x = 3\)에서 극솟값 \(f(3) = 27 - 27 - 27 = -27\)을 갖는다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 직선 \(y = -k\)가 극솟값과 극댓값 사이를 지나야 하므로 \(-27 < -k < 5 \iff -5 < k < 27\)이다.

배점 단계	국민대학교 자연A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [6-1] (6점)	• \(f'(x) = 3(x+1)(x-3) = 0\) 도출 +2점 / 극댓값 \(5\), 극솟값 \(-27\) 산출 +4점
소문항 [6-2] (6.5점)	• \(-27 < -k < 5\) 조건 수립 +3.5점 / \(-5 < k < 27\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: \(f(x) = -k\)로 이항했을 때 우변이 \(k\)가 아니라 \(-k\)이므로 마지막에 양변에 \(-1\)을 곱해 부등호 방향을 바꾸어야 합니다.

[문항 7] 수직선 위를 움직이는 점의 속도와 가속도

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 12.5점 (6점+6.5점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.12 탐구 17047 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-09]

수직선 위를 움직이는 점 \(\mathrm{P}\)의 시각 \(t\) (\(t \ge 0\))에서의 위치가 \(x(t) = t^3 - 6t^2 + 9t + 2\)일 때, 다음 물음에 답하시오.

[7-1] (6점) 시각 \(t\)에서의 속도 \(v(t)\)와 가속도 \(a(t)\)를 구하고, 점 \(\mathrm{P}\)가 운동 방향을 바꾸는 시각을 모두 구하시오.

[7-2] (6.5점) 점 \(\mathrm{P}\)가 두 번째로 운동 방향을 바꾸는 순간의 위치와 가속도를 각각 구하시오.

🎯 정답 : [7-1] \(v(t) = 3t^2 - 12t + 9,\; a(t) = 6t - 12\), 시각 \(t = 1, 3\) | [7-2] 위치 \(2\), 가속도 \(6\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 속도 \(v(t) = x'(t)\)와 가속도 \(a(t) = v'(t)\)를 선언하고, 운동 방향이 바뀌는 시각은 \(v(t) = 0\)에서 부호가 바뀌는 시각이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(v(t) = 3t^2 - 12t + 9 = 3(t - 1)(t - 3) = 0\)이고 \(a(t) = 6t - 12\)이므로 운동 방향을 바꾸는 시각은 \(t = 1\)과 \(t = 3\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 두 번째로 운동 방향을 바꾸는 시각은 \(t = 3\)이며, 이때의 위치는 \(x(3) = 27 - 54 + 27 + 2 = 2\)이고 가속도는 \(a(3) = 18 - 12 = 6\)이다.

배점 단계	국민대학교 자연A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [7-1] (6점)	• \(v(t),\; a(t)\) 식 도출 +3점 / 운동 방향 전환 시각 \(t = 1, 3\) 산출 +3점
소문항 [7-2] (6.5점)	• \(t = 3\)에서의 위치 \(x(3) = 2\) 산출 +3.5점 / 가속도 \(a(3) = 6\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 단순히 \(v(t) = 0\)인 것뿐만 아니라 \(t = 1, 3\) 전후에서 \(v(t)\)의 부호가 바뀐다는 점을 함께 언급하면 만점 답안이 됩니다.

[문항 8] 대칭 구간에서의 우함수·기함수 정적분 성질

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 배점 12.5점 (6점+6.5점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.4 탐구 17048 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]

다항함수 \(f(x) = 2x^5 - 4x^3 + 3x^2 + 7x - 1\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[8-1] (6점) 대칭 구간 \([-2, 2]\)에서 홀수차 항과 짝수차 항의 정적분 성질을 서술하고, \(\int_{-2}^{2} f(x)\,dx\)를 \([0, 2]\) 구간에서의 정적분으로 간단히 나타내시오.

[8-2] (6.5점) 정적분 \(\int_{-2}^{2} f(x)\,dx\)의 값을 구하시오.

🎯 정답 : [8-1] \(2\int_{0}^{2} (3x^2 - 1)\,dx\) | [8-2] \(12\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 대칭 구간 \([-a, a]\)에서 기함수(\(x^{2k-1}\))의 정적분은 \(0\)이고, 우함수(\(x^{2k}\))의 정적분은 \(2\int_{0}^{a} x^{2k}\,dx\)이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 홀수차 항 \(2x^5 - 4x^3 + 7x\)의 적분값은 \(0\)이므로 \(\int_{-2}^{2} f(x)\,dx = 2\int_{0}^{2} (3x^2 - 1)\,dx\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(2\Bigl[x^3 - x\Bigr]_{0}^{2} = 2(8 - 2) = 12\)이다.

배점 단계	국민대학교 자연A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [8-1] (6점)	• 기함수 소거 근거 및 \(2\int_0^2 (3x^2 - 1)\,dx\) 변환 +6점
소문항 [8-2] (6.5점)	• 부정적분 \(\bigl[x^3 - x\bigr]_0^2 = 6\) 계산 +3점 / 최종값 \(12\) 도출 +3.5점

💡 감점 방어 클리닉: 우함수 성질을 쓸 때 앞의 배수 \(2\)를 빠뜨리지 않도록 주의합니다.