[1줄: 공식선언 (30%)] \(t = 3^x\)로 치환하면 밑 \(3 > 1\)이므로 \(x > 0 \iff t > 3^0 = 1\)이고, 주어진 방정식은 \(f(t) = t^2 - 6t + k = 0\)이 된다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 이차함수 \(f(t) = (t - 3)^2 + k - 9\)의 대칭축이 \(t = 3 > 1\)이므로, \(t > 1\)에서 서로 다른 두 실근을 가질 필요충분조건은 판별식 \(D/4 = 9 - k > 0\)과 경계값 \(f(1) = 1 - 6 + k > 0\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(k < 9\)이고 \(k > 5\)이므로 상수 \(k\)의 값의 범위는 \(5 < k < 9\)이다.

[1줄: 공식선언 (30%)] \(10 < x < 100 \implies 1 < \log_{10} x < 2\)이고, 두 상용로그의 소수부분을 각각 \(\alpha, \beta\) (\(0 \le \alpha, \beta < 1\))라 할 때 \(\alpha + \beta = 1\)이면 \(\alpha > 0, \beta > 0\)이고 두 로그의 합 \(\log_{10} x + \log_{10} x^3 = 4\log_{10} x\)는 정수이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(4 < 4\log_{10} x < 8\)이므로 \(4\log_{10} x = 5, 6, 7\)이다. 이때 \(\log_{10} x = \dfrac{5}{4}, \dfrac{6}{4}, \dfrac{7}{4}\)는 모두 소수부분이 \(0\)이 아니므로 조건을 만족한다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 모든 실수 \(x\)는 \(10^{\frac{5}{4}},\; 10^{\frac{3}{2}},\; 10^{\frac{7}{4}}\)의 \(3\)개이고, 그 곱은 \(10^{\frac{5+6+7}{4}} = 10^{\frac{9}{2}} = 10000\sqrt{10}\)이다.

[1줄: 공식선언 (30%)] 사인법칙 \(\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = 2R\)을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(2R = 12\)이므로 \(a = 12\sin\dfrac{\pi}{3} = 12 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}\)이고, \(b = 12\sin\dfrac{\pi}{4} = 12 \times \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(a^2 + b^2 = (6\sqrt{3})^2 + (6\sqrt{2})^2 = 108 + 72 = 180\)이다.

[1줄: 공식선언 (30%)] 등차수열의 일반항 공식 \(a_n = a_1 + (n - 1)d\)와 합 공식 \(S_n = \dfrac{n(a_1 + a_n)}{2}\)를 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(a_n = -23 + 4(n - 1) = 4n - 27 > 0 \implies n > \dfrac{27}{4} = 6.75\)이므로 제\(7\)항부터 양수가 된다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 제\(6\)항까지 음수이므로 \(n = 6\)일 때 \(S_n\)이 최소가 되며, 최솟값은 \(S_6 = \dfrac{6(-23 + (-3))}{2} = 3 \times (-26) = -78\)이다.

[1줄: 공식선언 (30%)] \(x > 0\)이므로 \(x(2x + 1) > 0\)이고, 부등식의 각 변을 양수 \(x(2x + 1)\)로 나누어도 부등호의 방향은 바뀌지 않는다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\dfrac{4x^2 - 3x + 1}{2x^2 + x} \le \dfrac{f(x)}{x} \le \dfrac{4x^2 + 5x + 3}{2x^2 + x}\)이고, 좌변과 우변의 \(x \to \infty\) 극한은 모두 최고차항의 계수비 \(\dfrac{4}{2} = 2\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 함수의 극한의 대소 관계(조임 정리)에 의해 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x} = 2\)이다.

[1줄: 공식선언 (30%)] \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 5x + 9\)에서 \(f'(t) = 3t^2 - 6t + 5\)이므로 접선의 방정식은 \(y - (t^3 - 3t^2 + 5t + 9) = (3t^2 - 6t + 5)(x - t)\)이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 접선이 원점 \((0, 0)\)을 지나므로 \(-(t^3 - 3t^2 + 5t + 9) = -t(3t^2 - 6t + 5) \iff 2t^3 - 3t^2 - 9 = (t - 3)(2t^2 + 3t + 3) = 0\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(2t^2 + 3t + 3 = 0\)의 판별식은 \(9 - 24 < 0\)이므로 유일한 실근은 \(t = 3\)이고, 기울기 \(f'(3) = 27 - 18 + 5 = 14\)이므로 접선의 방정식은 \(y = 14x\)이다.

[1줄: 공식선언 (30%)] 최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 \(f(x)\)가 실수 전체에서 증가할 필요충분조건은 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f'(x) \ge 0\), 즉 이차방정식 \(f'(x) = 0\)의 판별식 \(D \le 0\)이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f'(x) = x^2 + 2ax + 2a + 3\)에서 \(D/4 = a^2 - (2a + 3) = a^2 - 2a - 3 = (a + 1)(a - 3) \le 0\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(-1 \le a \le 3\)이고, 이를 만족하는 정수 \(a = -1, 0, 1, 2, 3\)의 개수는 \(5\)개이다.

[1줄: 공식선언 (30%)] 정적분의 성질 \(\int_{1}^{1} f(t)\,dt = 0\)과 정적분과 미분의 관계 \(\dfrac{d}{dx}\int_{1}^{x} f(t)\,dt = f(x)\)를 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 양변에 \(x = 1\)을 대입하면 \(0 = 1 - 4 + a - 2 \implies a = 5\)이고, 양변을 \(x\)에 대하여 미분하면 \(f(x) = 3x^2 - 8x + 5\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(f(2) = 3(4) - 8(2) + 5 = 12 - 16 + 5 = 1\)이다.