[1줄: 공식선언 (30%)] 곱셈공식 \(a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab\)와 \(a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b)\)에서 \(a = x^{\frac{1}{2}},\; b = x^{-\frac{1}{2}}\) (\(ab = 1\))을 대입한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(x + x^{-1} = 4^2 - 2 = 14\)이고, \(x^2 + x^{-2} = (x + x^{-1})^2 - 2 = 14^2 - 2 = 194\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(x^{\frac{3}{2}} + x^{-\frac{3}{2}} = \left(x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}}\right)^3 - 3\left(x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}}\right) = 4^3 - 3 \times 4 = 64 - 12 = 52\)이다.

[1줄: 공식선언 (30%)] 진수 조건 \(x - 1 > 0\)이고 \(7 - x > 0\)이므로 \(1 < x < 7\)이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\log_2\{(x - 1)(7 - x)\} \le \log_2 8\)에서 밑 \(2 > 1\)이므로 \((x - 1)(7 - x) \le 8 \iff x^2 - 8x + 15 \ge 0 \iff (x - 3)(x - 5) \ge 0\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 진수 조건과 공통범위를 구하면 \(1 < x \le 3\) 또는 \(5 \le x < 7\)이고, 정수 \(x = 2, 3, 5, 6\)의 합은 \(2 + 3 + 5 + 6 = 16\)이다.

[1줄: 공식선언 (30%)] 양변을 제곱하면 \((\sin\theta - \cos\theta)^2 = 1 - 2\sin\theta\cos\theta = \dfrac{7}{4}\)이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\sin\theta\cos\theta = -\dfrac{3}{8}\)이고, \((\sin\theta + \cos\theta)^2 = 1 + 2\sin\theta\cos\theta = \dfrac{1}{4}\)인데 \(\sin\theta - \cos\theta = \dfrac{\sqrt{7}}{2}\)와 연립하거나 \(2\sin\theta = \dfrac{\sqrt{7} \pm 1}{2} \le 2\)를 확인한다. 특히 \(\tan\theta + \dfrac{1}{\tan\theta} = \dfrac{\sin^2\theta + \cos^2\theta}{\sin\theta\cos\theta}\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(\tan\theta + \dfrac{1}{\tan\theta} = \dfrac{1}{\sin\theta\cos\theta} = -\dfrac{8}{3}\)이다.

[1줄: 공식선언 (30%)] 주어진 관계식의 양변에서 \(1\)을 빼면 \(a_{n+1} - 1 = 3(a_n - 1)\)이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 따라서 수열 \(\{a_n - 1\}\)은 첫째항이 \(a_1 - 1 = 1\)이고 공비가 \(3\)인 등비수열이므로 \(a_n - 1 = 3^{n-1} \implies a_n = 3^{n-1} + 1\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(\sum_{k=1}^{8} a_k = \sum_{k=1}^{8} (3^{k-1} + 1) = \dfrac{3^8 - 1}{3 - 1} + 8 = \dfrac{6561 - 1}{2} + 8 = 3280 + 8 = 3288\)이다.

[1줄: 공식선언 (30%)] \(x \to \infty\) 극한에서 분모가 이차식이므로 \(f(x) - x^3\)은 최고차항의 계수가 \(2\)인 이차식이어야 한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f(x) = x^3 + 2x^2 + ax + b\)로 놓으면 \(x \to 1\)에서 \(f(1) = 3 + a + b = 0 \implies b = -a - 3\)이고, 인수분해하면 \(f(x) = (x - 1)(x^2 + 3x + a + 3)\)이므로 \(\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x - 1} = 4 + a + 3 = 4 \implies a = -3,\; b = 0\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x\)이고, \(f(3) = 27 + 18 - 9 = 36\)이다.

[1줄: 공식선언 (30%)] 도함수 \(f'(x) = 3x^2 - 6ax = 3x(x - 2a) = 0\)이고 \(a > 0\)이므로 \(x = 0\)과 \(x = 2a\)에서 부호가 바뀐다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(x = 0\)에서 극댓값 \(f(0) = 4\)를 갖고, \(x = 2a\)에서 극솟값 \(f(2a) = 8a^3 - 12a^3 + 4 = 4 - 4a^3\)을 갖는다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 극댓값과 극솟값의 차가 \(f(0) - f(2a) = 4a^3 = 32 \implies a^3 = 8 \implies a = 2\)이고, 극솟값은 \(4 - 32 = -28\)이다.

[1줄: 공식선언 (30%)] 다항함수 \(f(x)\)는 실수 전체에서 미분가능하므로 롤의 정리의 전제 조건 \(f(-1) = f(3)\)을 적용한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f(-1) = -1 - k + 4 + 5 = 8 - k\)이고 \(f(3) = 27 - 9k - 12 + 5 = 20 - 9k\)이므로 \(8 - k = 20 - 9k \implies 8k = 12 \implies k = \dfrac{3}{2}\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(f'(c) = 3c^2 - 3c - 4 = 0\)에서 근의 공식에 의해 \(c = \dfrac{3 \pm \sqrt{57}}{6}\)이고, \(-1 < c < 3\)을 만족하는 값은 \(c = \dfrac{3 \pm \sqrt{57}}{6}\)이다.

[1줄: 공식선언 (30%)] 이차곡선과 직선의 두 교점이 \(\alpha, \beta\)일 때 둘러싸인 넓이 공식 \(S = \dfrac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^3\)을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(x\)축과의 교점은 \(x = 0, 4\)이므로 \(S_1 = \dfrac{1}{6}(4 - 0)^3 = \dfrac{32}{3}\)이다. 또한 \(-x^2 + 4x = mx \implies x = 0, 4 - m\) (\(0 < m < 4\))이므로 \(S_2 = \dfrac{1}{6}(4 - m)^3\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(\dfrac{(4 - m)^3}{6} = \dfrac{16}{3} \implies (4 - m)^3 = 32 \implies 4 - m = 2\sqrt[3]{4}\)이므로 \(m = 4 - 2\sqrt[3]{4}\)이다.