2027학년도 대비 국민대학교 자연A형 약술형 논술 모의고사 1회 (해설집)

2027학년도 대비 국민대학교 자연A형 약술형 논술 실전 모의고사 1회 (모범해설 및 2열 부분점수 채점기준표) 수리 영역 8문항 (80분 / 100점 만점 · 수능최저 2합 6 이내)

[문항 1] 거듭제곱근의 성질과 유리수 지수의 혼합 연산

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 12.5점 (6점+6.5점)

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.2 탐구 17011 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]

두 실수 \(p = \sqrt[3]{-125} + \sqrt[4]{256}\)과 \(q = 27^{\frac{2}{3}} \times 16^{-\frac{1}{2}}\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[1-1] (6점) 거듭제곱근의 정의와 유리수 지수법칙을 이용하여 \(p\)와 \(q\)의 값을 각각 구하시오.

[1-2] (6.5점) \(p^2 + 4q\)의 값을 구하시오.

🎯 정답 : [1-1] \(p = -1,\; q = \dfrac{9}{4}\) | [1-2] \(10\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 홀수차 거듭제곱근 \(\sqrt[3]{-5^3} = -5\)와 양의 네제곱근 \(\sqrt[4]{4^4} = 4\), 지수법칙 \((a^m)^n = a^{mn}\)을 적용한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(p = -5 + 4 = -1\)이고, \(q = (3^3)^{\frac{2}{3}} \times (4^2)^{-\frac{1}{2}} = 3^2 \times 4^{-1} = \dfrac{9}{4}\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \(p^2 + 4q = (-1)^2 + 4 \times \dfrac{9}{4} = 1 + 9 = 10\)이다.

배점 단계	국민대학교 자연A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (6점)	• \(\sqrt[3]{-125}=-5,\; \sqrt[4]{256}=4\)로 \(p=-1\) 산출 +3점 / 지수법칙으로 \(q=\dfrac{9}{4}\) 산출 +3점
소문항 [1-2] (6.5점)	• \(p^2=1,\; 4q=9\) 대입 +3점 / 최종값 \(10\) 도출 +3.5점

💡 감점 방어 클리닉: 짝수차 근호 \(\sqrt[4]{256}\)은 양의 네제곱근 \(4\)만을 의미하므로 \(\pm 4\)로 쓰지 않도록 주의합니다.

[문항 2] 로그치환 이차함수의 최솟값과 미정계수 결정 (국민대 기출 연계)

대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 12.5점 (6점+6.5점)

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.2 탐구 17012 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07]

닫힌구간 \([1, 16]\)에서 정의된 함수 \(f(x) = (\log_2 x)^2 - 2k\log_2 x + 5\) (단, \(k\)는 \(1 \le k \le 3\)인 상수)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[2-1] (6점) \(t = \log_2 x\)로 치환할 때 실수 \(t\)의 값의 범위 \(\alpha \le t \le \beta\)를 구하고, \(f(x)\)를 \(t\)에 대한 이차식 \(g(t)\)로 나타내시오.

[2-2] (6.5점) 닫힌구간 \([1, 16]\)에서 함수 \(f(x)\)의 최솟값이 \(-4\)일 때, 상수 \(k\)의 값과 최댓값을 각각 구하시오.

🎯 정답 : [2-1] \(0 \le t \le 4,\; g(t) = t^2 - 2kt + 5\) | [2-2] \(k = 3\), 최댓값 \(5\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 밑이 \(2 > 1\)인 로그함수는 증가함수이므로 \(1 \le x \le 16 \implies \log_2 1 \le t \le \log_2 16 \iff 0 \le t \le 4\)이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(g(t) = t^2 - 2kt + 5 = (t - k)^2 + 5 - k^2\)이고, 꼭짓점의 좌표 \(t = k\)가 구간 \([0, 4]\)에 속하므로 최솟값은 \(g(k) = 5 - k^2 = -4\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(k^2 = 9\)에서 \(1 \le k \le 3\)이므로 \(k = 3\)이고, 대칭축 \(t = 3\)에서 가장 먼 경계 \(t = 0\)에서 최댓값 \(g(0) = 5\)를 갖는다.

배점 단계	국민대학교 자연A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (6점)	• 치환 범위 \(0 \le t \le 4\) 명시 +3점 / \(g(t) = t^2 - 2kt + 5\) 작성 +3점
소문항 [2-2] (6.5점)	• 최솟값 \(5 - k^2 = -4\)로 \(k = 3\) 도출 +3.5점 / 최댓값 \(g(0) = 5\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 국민대 자연A형 수학 29번 빈출 유형으로, \(\log_2 x = t\) 치환 시 정의역 \([1, 16]\)을 반드시 \([0, 4]\)로 변환해 명시해야 감점이 없습니다.

[문항 3] 호도법 부채꼴의 호의 길이·넓이와 중심각의 삼각비

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 12.5점 (6점+6.5점)

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.2 탐구 17013 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

반지름의 길이가 \(r = 6\)이고 넓이가 \(S = 12\pi\)인 부채꼴 \(\mathrm{OAB}\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[3-1] (6점) 부채꼴의 중심각의 크기 \(\theta\) (라디안)와 호의 길이 \(l\)을 각각 구하시오.

[3-2] (6.5점) [3-1]에서 구한 중심각 \(\theta\)에 대하여 \(12\sin\theta + 6\cos\theta\)의 값을 구하시오.

🎯 정답 : [3-1] \(\theta = \dfrac{2\pi}{3},\; l = 4\pi\) | [3-2] \(6\sqrt{3} - 3\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 부채꼴의 넓이 공식 \(S = \dfrac{1}{2}r^2\theta\)와 호의 길이 공식 \(l = r\theta\)를 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(\dfrac{1}{2} \times 6^2 \times \theta = 18\theta = 12\pi \implies \theta = \dfrac{2\pi}{3}\)이고, 호의 길이는 \(l = 6 \times \dfrac{2\pi}{3} = 4\pi\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(\sin\dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2},\; \cos\dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}\)이므로 \(12\sin\theta + 6\cos\theta = 6\sqrt{3} - 3\)이다.

배점 단계	국민대학교 자연A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (6점)	• 넓이 공식으로 \(\theta = \dfrac{2\pi}{3}\) 산출 +3점 / 호의 길이 \(l = 4\pi\) 도출 +3점
소문항 [3-2] (6.5점)	• 제2사분면 삼각비 값 대입 +3점 / 최종값 \(6\sqrt{3} - 3\) 도출 +3.5점

💡 감점 방어 클리닉: 둔각 \(\dfrac{2\pi}{3}\)에서 코사인 값은 음수(\(-\dfrac{1}{2}\))이므로 부호 실수에 유의합니다.

[문항 4] 수열의 귀납적 정의와 변변 곱하기를 이용한 일반항 도출

대수 Ⅲ. 수열 | 배점 12.5점 (6점+6.5점)

[출처: 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.2 탐구 17014 변형 | 성취기준: 12대수03-06]

첫째항이 \(a_1 = 3\)인 수열 \(\{a_n\}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 관계식 \((n + 1)a_{n+1} = (n + 3)a_n\)을 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.

[4-1] (6점) 주어진 귀납적 정의로부터 \(a_2,\; a_3\)의 값을 구하고, 자연수 \(n\)에 대한 일반항 \(a_n\)을 구하시오.

[4-2] (6.5점) \(\sum_{k=1}^{10} \dfrac{6}{a_k}\)의 값을 구하시오.

🎯 정답 : [4-1] \(a_2 = 6,\; a_3 = 10,\; a_n = \dfrac{(n+1)(n+2)}{2}\) | [4-2] \(5\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 점화식을 \(\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{n + 3}{n + 1}\)로 변형하여 \(n = 1, 2, \dots, m-1\)을 차례로 대입해 곱한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(a_2 = \dfrac{4}{2} \cdot 3 = 6,\; a_3 = \dfrac{5}{3} \cdot 6 = 10\)이고, \(a_n = a_1 \cdot \dfrac{4}{2} \cdot \dfrac{5}{3} \cdots \dfrac{n+2}{n} = 3 \cdot \dfrac{(n+1)(n+2)}{2 \cdot 3} = \dfrac{(n+1)(n+2)}{2}\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(\dfrac{6}{a_k} = \dfrac{12}{(k+1)(k+2)} = 12\left(\dfrac{1}{k+1} - \dfrac{1}{k+2}\right)\)이므로 \(\sum_{k=1}^{10} \dfrac{6}{a_k} = 12\left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{12}\right) = 12 \times \dfrac{5}{12} = 5\)이다.

배점 단계	국민대학교 자연A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (6점)	• \(a_2 = 6,\; a_3 = 10\) 계산 +2점 / 일반항 \(a_n = \dfrac{(n+1)(n+2)}{2}\) 유도 +4점
소문항 [4-2] (6.5점)	• 부분분수 분해식 \(12\left(\dfrac{1}{k+1}-\dfrac{1}{k+2}\right)\) 제시 +3.5점 / 망원급수 소거 합 \(5\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 분자·분모가 두 칸 간격으로 소거될 때 앞의 두 인수와 뒤의 두 인수가 남는다는 점을 정확히 확인합니다.

[문항 5] 무리함수의 0/0꼴 부정형 극한과 미정계수의 결정

미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 배점 12.5점 (6점+6.5점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.2 탐구 17015 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

등식 \(\lim_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{2x + a} - b}{x - 2} = \dfrac{1}{3}\)이 성립하도록 하는 두 실수 \(a, b\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[5-1] (6점) 극한의 성질을 이용하여 \(b\)를 \(a\)에 대한 식으로 나타내고, 분자를 유리화하여 상수 \(a, b\)의 값을 각각 구하시오.

[5-2] (6.5점) [5-1]에서 구한 \(a, b\)에 대하여 \(\lim_{x \to \infty} x\left(\sqrt{x^2 + ax} - \sqrt{x^2 - bx}\right)\)의 값을 구하시오.

🎯 정답 : [5-1] \(a = 5,\; b = 3\) | [5-2] \(4\)

[1줄: 공식선언 (30%)] \(x \to 2\)일 때 분모가 \(0\)에 수렴하고 극한값이 존재하므로 분자도 \(0\)에 수렴하여 \(\sqrt{4 + a} - b = 0 \implies b = \sqrt{4 + a} > 0\)이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] 유리화하면 \(\lim_{x \to 2} \dfrac{2(x - 2)}{(x - 2)\left(\sqrt{2x + a} + b\right)} = \dfrac{2}{2b} = \dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{3}\)이므로 \(b = 3\)이고 \(4 + a = 9 \implies a = 5\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(a = 5,\; b = 3\)을 대입하고 유리화하면 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{x(8x)}{\sqrt{x^2 + 5x} + \sqrt{x^2 - 3x}} = \dfrac{8}{1 + 1} = 4\)이다.

배점 단계	국민대학교 자연A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (6점)	• 분자 극한 \(0\) 조건으로 \(b = \sqrt{4+a}\) 도출 +2.5점 / 유리화로 \(a=5,\; b=3\) 산출 +3.5점
소문항 [5-2] (6.5점)	• 무한대 무리식 켤레 유리화 +3.5점 / 극한값 \(4\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 로피탈의 정리를 사용하지 않고 반드시 분자의 극한이 \(0\)임을 보인 뒤 켤레식을 곱해 인수 \((x-2)\)를 약분해야 만점을 받습니다.

[문항 6] 다항식 곱의 미분법과 곡선 위의 접선의 방정식

미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 | 배점 12.5점 (6점+6.5점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.2 탐구 17016 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-05]

다항함수 \(f(x) = (x^2 + ax + 1)(3x - 2)\)의 그래프 위의 점 \((1, 2)\)에서의 접선의 기울기가 \(8\)일 때, 다음 물음에 답하시오.

[6-1] (6점) 곱의 미분법을 이용하여 \(f'(x)\)를 구하고, 상수 \(a\)의 값을 구하시오.

[6-2] (6.5점) 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \((1, 2)\)에서의 접선과 \(x\)축, \(y\)축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구하시오.

🎯 정답 : [6-1] \(a = 0\) | [6-2] \(\dfrac{9}{4}\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 점 \((1, 2)\)가 곡선 위의 점이므로 \(f(1) = (2 + a) \cdot 1 = 2 \implies a = 0\)이고, 곱의 미분법 \(f'(x) = (2x + a)(3x - 2) + 3(x^2 + ax + 1)\)을 선언한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(a = 0\)을 대입하면 \(f'(x) = 2x(3x - 2) + 3(x^2 + 1) = 9x^2 - 4x + 3\)이므로 \(f'(1) = 9 - 4 + 3 = 8\)이 성립하고, 점 \((1, 2)\)에서의 접선의 방정식은 \(y - 2 = 8(x - 1)\), 즉 \(y = 8x - 6\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] 접선 \(y = 8x - 6\)의 \(x\)절편은 \(\dfrac{3}{4}\), \(y\)절편은 \(-6\)이므로 둘러싸인 삼각형의 넓이는 \(\dfrac{1}{2} \times \dfrac{3}{4} \times 6 = \dfrac{9}{4}\)이다.

배점 단계	국민대학교 자연A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [6-1] (6점)	• 곱의 미분법 도함수 전개 +3점 / 상수 \(a = 0\) 결정 +3점
소문항 [6-2] (6.5점)	• 접선의 방정식 \(y = 8x - 6\) 도출 +3.5점 / 절편으로 삼각형 넓이 \(\dfrac{9}{4}\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 접선과 좌표축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구할 때는 \(y\)절편의 절댓값 \(|-6| = 6\)을 높이에 대입해야 합니다.

[문항 7] 닫힌구간에서의 평균값 정리 만족 상수의 결정

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 12.5점 (6점+6.5점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 탐구 17017 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-06]

함수 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 4\)에 대하여 닫힌구간 \([0, 3]\)에서 평균값 정리를 만족시키는 상수 \(c\) (\(0 < c < 3\))를 구하고자 한다.

[7-1] (6점) 닫힌구간 \([0, 3]\)에서 함수 \(f(x)\)의 평균변화율을 구하시오.

[7-2] (6.5점) 평균값 정리를 만족시키는 열린구간 \((0, 3)\) 내의 모든 상수 \(c\)의 값과 그 합을 구하시오.

🎯 정답 : [7-1] 평균변화율 \(2\) | [7-2] \(c = 2\), 합 \(2\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 평균값 정리에 의해 \(\dfrac{f(3) - f(0)}{3 - 0} = f'(c)\)를 만족하는 \(c \in (0, 3)\)가 존재한다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(f(0) = 4,\; f(3) = 27 - 27 + 6 + 4 = 10\)이므로 평균변화율은 \(\dfrac{10 - 4}{3} = 2\)이고, \(f'(c) = 3c^2 - 6c + 2 = 2\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(3c(c - 2) = 0\)에서 \(0 < c < 3\)을 만족하는 상수는 \(c = 2\)이다.

배점 단계	국민대학교 자연A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [7-1] (6점)	• \(f(0)=4,\; f(3)=10\) 및 평균변화율 \(2\) 산출 +6점
소문항 [7-2] (6.5점)	• \(f'(c) = 3c^2 - 6c + 2 = 2\) 방정식 수립 +3.5점 / 열린구간 조건 \(0 < c < 3\)으로 \(c = 2\) 결정 +3점

💡 감점 방어 클리닉: \(3c(c - 2) = 0\)의 두 근 \(c = 0, 2\) 중 끝점 \(c = 0\)은 열린구간 \((0, 3)\)에 속하지 않으므로 반드시 제외해야 감점을 피합니다.

[문항 8] 정적분 상수가 포함된 다항함수의 결정과 넓이

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 배점 12.5점 (6점+6.5점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.2 탐구 17018 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-05]

다항함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x) = 3x^2 - 2x + \int_{0}^{2} f(t)\,dt\)를 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.

[8-1] (6점) 상수 \(A = \int_{0}^{2} f(t)\,dt\)로 치환하여 \(A\)의 값을 구하고 함수 \(f(x)\)를 결정하시오.

[8-2] (6.5점) 곡선 \(y = f(x)\)와 직선 \(y = 4x - 4\)로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.

🎯 정답 : [8-1] \(A = -4,\; f(x) = 3x^2 - 2x - 4\) | [8-2] \(4\)

[1줄: 공식선언 (30%)] 정적분 \(\int_{0}^{2} f(t)\,dt = A\) (상수)로 두면 \(f(x) = 3x^2 - 2x + A\)이다.

[2줄: 핵심계산 (40%)] \(A = \int_{0}^{2} (3t^2 - 2t + A)\,dt = \Bigl[t^3 - t^2 + At\Bigr]_{0}^{2} = 8 - 4 + 2A = 4 + 2A \implies A = -4\)이므로 \(f(x) = 3x^2 - 2x - 4\)이다.

[3줄: 최종결론 (30%)] \(f(x) = 4x - 4 \iff 3x^2 - 6x = 0 \implies x = 0, 2\)이므로 둘러싸인 넓이는 \(\int_{0}^{2} |3x^2 - 6x|\,dx = \dfrac{3}{6}(2 - 0)^3 = 4\)이다.

배점 단계	국민대학교 자연A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [8-1] (6점)	• \(A = \int_0^2 f(t)\,dt\) 치환 및 \(A = 4 + 2A\) 수립 +3점 / \(A = -4,\; f(x) = 3x^2 - 2x - 4\) 도출 +3점
소문항 [8-2] (6.5점)	• 교점 \(x = 0, 2\) 산출 +3점 / 정적분 넓이 \(4\) 도출 +3.5점

💡 감점 방어 클리닉: 적분구간이 상수인 정적분은 변수 \(x\)가 아니라 상수 \(A\)로 치환해야 한다는 점을 1줄에 명확히 선언합니다.