2027학년도 대비 국민대학교 자연A형 약술형 논술 실전 모의고사 10회 (모범해설 및 2열 부분점수 채점기준표)
수리 영역 8문항 (80분 / 100점 만점 · 수능최저 2합 6 이내)
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.4 탐구 170101 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]
실수 \({\kern0pt}x\)가 \({\kern0pt}3^x + 3^{-x} = 5\)를 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.
[1-1] (6점) 곱셈공식의 변형을 이용하여 \({\kern0pt}9^x + 9^{-x}\)의 값을 구하시오.
[1-2] (6.5점) \({\kern0pt}27^x + 27^{-x}\)의 값을 구하시오.
🎯 정답 : [1-1] \({\kern0pt}23\) | [1-2] \({\kern0pt}110\)
[1줄: 공식선언 (30%)] \({\kern0pt}a = 3^x,\; b = 3^{-x}\)라 하면 \({\kern0pt}ab = 1\)이고 \({\kern0pt}a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab\), \({\kern0pt}a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b)\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \({\kern0pt}9^x + 9^{-x} = 5^2 - 2 = 23\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \({\kern0pt}27^x + 27^{-x} = 5^3 - 3(1)(5) = 125 - 15 = 110\)이다.
| 배점 단계 | 국민대학교 자연A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준 |
|---|
| 소문항 [1-1] (6점) | • \({\kern0pt}9^x + 9^{-x} = (3^x + 3^{-x})^2 - 2 = 23\) 산출 +6점 |
| 소문항 [1-2] (6.5점) | • 세제곱 변형 공식 적용 +3.5점 / \({\kern0pt}27^x + 27^{-x} = 110\) 도출 +3점 |
💡 감점 방어 클리닉: \({\kern0pt}3^x \cdot 3^{-x} = 3^0 = 1\)임을 명시하여 대칭식 공식을 깔끔하게 전개합니다.
2027학년도 대비 국민대학교 자연A형 약술형 논술 실전 모의고사 10회 (모범해설 및 2열 부분점수 채점기준표)
수리 영역 8문항 (80분 / 100점 만점 · 수능최저 2합 6 이내)
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 탐구 170102 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]
반지름의 길이가 \({\kern0pt}r = 6\)이고 넓이가 \({\kern0pt}S = 15\pi\)인 부채꼴에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[2-1] (6점) 부채꼴의 넓이 공식을 이용하여 중심각의 크기 \({\kern0pt}\theta\) (라디안)를 구하시오.
[2-2] (6.5점) 부채꼴의 호의 길이 \({\kern0pt}l\)과 둘레의 길이를 각각 구하시오.
🎯 정답 : [2-1] \({\kern0pt}\theta = \dfrac{5\pi}{6}\) | [2-2] \({\kern0pt}l = 5\pi\), 둘레 \({\kern0pt}5\pi + 12\)
[1줄: 공식선언 (30%)] 부채꼴의 넓이 공식 \({\kern0pt}S = \dfrac{1}{2}r^2\theta\)와 호의 길이 공식 \({\kern0pt}l = r\theta\)를 적용한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \({\kern0pt}\dfrac{1}{2} \cdot 6^2 \cdot \theta = 18\theta = 15\pi\)이므로 중심각의 크기는 \({\kern0pt}\theta = \dfrac{5\pi}{6}\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 호의 길이는 \({\kern0pt}l = 6 \times \dfrac{5\pi}{6} = 5\pi\)이고, 부채꼴의 둘레의 길이는 \({\kern0pt}l + 2r = 5\pi + 12\)이다.
| 배점 단계 | 국민대학교 자연A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준 |
|---|
| 소문항 [2-1] (6점) | • \({\kern0pt}\dfrac{1}{2}r^2\theta = 15\pi\)로부터 \({\kern0pt}\theta = \dfrac{5\pi}{6}\) 산출 +6점 |
| 소문항 [2-2] (6.5점) | • 호의 길이 \({\kern0pt}l = 5\pi\) 도출 +3.5점 / 둘레 \({\kern0pt}5\pi + 12\) 계산 +3점 |
💡 감점 방어 클리닉: 부채꼴의 둘레의 길이는 호의 길이 \({\kern0pt}l\)에 두 반지름 \({\kern0pt}2r\)을 더한 값임을 놓치지 않습니다.
2027학년도 대비 국민대학교 자연A형 약술형 논술 실전 모의고사 10회 (모범해설 및 2열 부분점수 채점기준표)
수리 영역 8문항 (80분 / 100점 만점 · 수능최저 2합 6 이내)
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 탐구 170103 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03]
등차수열 \({\kern0pt}\{a_n\}\)에서 \({\kern0pt}a_2 + a_8 = 20\), \({\kern0pt}a_5 + a_9 = 28\)일 때, 다음 물음에 답하시오.
[3-1] (6점) 등차중항의 성질을 이용하여 제\({\kern0pt}5\)항 \({\kern0pt}a_5\)와 제\({\kern0pt}9\)항 \({\kern0pt}a_9\)의 값을 각각 구하시오.
[3-2] (6.5점) 등차수열 \({\kern0pt}\{a_n\}\)의 공차 \({\kern0pt}d\)와 첫째항 \({\kern0pt}a_1\)의 값을 각각 구하시오.
🎯 정답 : [3-1] \({\kern0pt}a_5 = 10,\; a_9 = 18\) | [3-2] \({\kern0pt}d = 2,\; a_1 = 2\)
[1줄: 공식선언 (30%)] 등차중항의 성질에 의해 \({\kern0pt}a_2 + a_8 = 2a_5 = 20\)이므로 \({\kern0pt}a_5 = 10\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \({\kern0pt}a_5 + a_9 = 10 + a_9 = 28\)에서 \({\kern0pt}a_9 = 18\)이고, \({\kern0pt}a_9 - a_5 = 4d = 8\)이므로 공차는 \({\kern0pt}d = 2\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 첫째항은 \({\kern0pt}a_1 = a_5 - 4d = 10 - 8 = 2\)이다.
| 배점 단계 | 국민대학교 자연A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준 |
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| 소문항 [3-1] (6점) | • \({\kern0pt}2a_5 = 20 \implies a_5 = 10\) 및 \({\kern0pt}a_9 = 18\) 산출 +6점 |
| 소문항 [3-2] (6.5점) | • \({\kern0pt}4d = 8 \implies d = 2\) 도출 +3.5점 / \({\kern0pt}a_1 = 2\) 계산 +3점 |
💡 감점 방어 클리닉: \({\kern0pt}a_1, d\)로 처음부터 연립하기보다 등차중항 \({\kern0pt}a_2 + a_8 = 2a_5\)를 먼저 적용하면 암산 수준으로 풀립니다.
2027학년도 대비 국민대학교 자연A형 약술형 논술 실전 모의고사 10회 (모범해설 및 2열 부분점수 채점기준표)
수리 영역 8문항 (80분 / 100점 만점 · 수능최저 2합 6 이내)
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.10 탐구 170104 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]
수열의 합 \({\kern0pt}S = \sum_{k=1}^{6} (k^2 - 3k + 2)\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[4-1] (6점) \({\kern0pt}\sum_{k=1}^{6} k^2\)와 \({\kern0pt}\sum_{k=1}^{6} k\)의 값을 각각 구하시오.
[4-2] (6.5점) 합 \({\kern0pt}S = \sum_{k=1}^{6} (k^2 - 3k + 2)\)의 값을 구하시오.
🎯 정답 : [4-1] \({\kern0pt}\sum_{k=1}^{6} k^2 = 91,\; \sum_{k=1}^{6} k = 21\) | [4-2] \({\kern0pt}S = 40\)
[1줄: 공식선언 (30%)] 거듭제곱의 합 공식 \({\kern0pt}\sum_{k=1}^n k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)과 \({\kern0pt}\sum_{k=1}^n k = \dfrac{n(n+1)}{2}\)를 적용한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \({\kern0pt}\sum_{k=1}^6 k^2 = \dfrac{6 \cdot 7 \cdot 13}{6} = 91\)이고, \({\kern0pt}\sum_{k=1}^6 k = \dfrac{6 \cdot 7}{2} = 21\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 \({\kern0pt}S = 91 - 3(21) + 2(6) = 91 - 63 + 12 = 40\)이다.
| 배점 단계 | 국민대학교 자연A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준 |
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| 소문항 [4-1] (6점) | • \({\kern0pt}\sum_{k=1}^6 k^2 = 91\) 및 \({\kern0pt}\sum_{k=1}^6 k = 21\) 산출 +6점 |
| 소문항 [4-2] (6.5점) | • 상수항 합 \({\kern0pt}\sum_{k=1}^6 2 = 12\) 반영 +3점 / 최종합 \({\kern0pt}40\) 도출 +3.5점 |
💡 감점 방어 클리닉: 상수항 \({\kern0pt}\sum_{k=1}^6 2\)를 \({\kern0pt}2\)가 아닌 \({\kern0pt}2 \times 6 = 12\)로 계산하는 것에 유의합니다.
2027학년도 대비 국민대학교 자연A형 약술형 논술 실전 모의고사 10회 (모범해설 및 2열 부분점수 채점기준표)
수리 영역 8문항 (80분 / 100점 만점 · 수능최저 2합 6 이내)
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.5 탐구 170105 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-03]
미분가능한 함수 \({\kern0pt}f(x)\)가 \({\kern0pt}f(1) = 4\), \({\kern0pt}f'(1) = -3\)을 만족시킬 때, 함수 \({\kern0pt}g(x) = (x^2 + 2x)f(x)\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[5-1] (6점) 곱의 미분법을 이용하여 도함수 \({\kern0pt}g'(x)\)를 \({\kern0pt}f(x)\)와 \({\kern0pt}f'(x)\)를 포함한 식으로 나타내시오.
[5-2] (6.5점) 미분계수 \({\kern0pt}g'(1)\)의 값을 구하시오.
🎯 정답 : [5-1] \({\kern0pt}g'(x) = (2x + 2)f(x) + (x^2 + 2x)f'(x)\) | [5-2] \({\kern0pt}g'(1) = 7\)
[1줄: 공식선언 (30%)] 곱의 미분법 \({\kern0pt}\{u(x)v(x)\}' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)\)를 적용한다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \({\kern0pt}g'(x) = (2x + 2)f(x) + (x^2 + 2x)f'(x)\)이고, 여기에 \({\kern0pt}x = 1\)을 대입하면 \({\kern0pt}g'(1) = 4f(1) + 3f'(1)\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \({\kern0pt}f(1) = 4,\; f'(1) = -3\)을 대입하면 \({\kern0pt}g'(1) = 4(4) + 3(-3) = 16 - 9 = 7\)이다.
| 배점 단계 | 국민대학교 자연A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준 |
|---|
| 소문항 [5-1] (6점) | • 곱의 미분법 도함수 \({\kern0pt}g'(x)\) 정확히 기술 +6점 |
| 소문항 [5-2] (6.5점) | • \({\kern0pt}g'(1) = 4f(1) + 3f'(1)\) 표현 +3점 / \({\kern0pt}g'(1) = 7\) 산출 +3.5점 |
💡 감점 방어 클리닉: 곱의 미분법 공식을 1줄에 먼저 쓴 뒤 \({\kern0pt}x=1\)을 대입하면 부분점수 누수를 막을 수 있습니다.
2027학년도 대비 국민대학교 자연A형 약술형 논술 실전 모의고사 10회 (모범해설 및 2열 부분점수 채점기준표)
수리 영역 8문항 (80분 / 100점 만점 · 수능최저 2합 6 이내)
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.7 탐구 170106 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]
곡선 \({\kern0pt}y = x^3 - 5x + 2\)에 접하고 기울기가 \({\kern0pt}7\)인 두 접선에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[6-1] (6점) 두 접점의 좌표를 모두 구하시오.
[6-2] (6.5점) 두 접선의 방정식을 각각 구하고, 두 접선의 \({\kern0pt}y\)절편의 곱을 구하시오.
🎯 정답 : [6-1] \({\kern0pt}(2, 0),\; (-2, 4)\) | [6-2] \({\kern0pt}y = 7x - 14,\; y = 7x + 18\), 곱 \({\kern0pt}-252\)
[1줄: 공식선언 (30%)] 접점의 \({\kern0pt}x\)좌표를 \({\kern0pt}t\)라 하면 \({\kern0pt}y' = 3t^2 - 5 = 7\)에서 \({\kern0pt}t^2 = 4 \implies t = 2\) 또는 \({\kern0pt}t = -2\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] \({\kern0pt}t = 2\)일 때 접점 \({\kern0pt}(2, 0)\)에서의 접선은 \({\kern0pt}y = 7x - 14\)이고, \({\kern0pt}t = -2\)일 때 접점 \({\kern0pt}(-2, 4)\)에서의 접선은 \({\kern0pt}y = 7(x + 2) + 4 = 7x + 18\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] 따라서 두 접선의 \({\kern0pt}y\)절편은 \({\kern0pt}-14\)와 \({\kern0pt}18\)이므로 그 곱은 \({\kern0pt}(-14) \times 18 = -252\)이다.
| 배점 단계 | 국민대학교 자연A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준 |
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| 소문항 [6-1] (6점) | • \({\kern0pt}3t^2 - 5 = 7\)로부터 두 접점 \({\kern0pt}(2, 0),\; (-2, 4)\) 도출 +6점 |
| 소문항 [6-2] (6.5점) | • 두 접선의 방정식 도출 +3.5점 / \({\kern0pt}y\)절편의 곱 \({\kern0pt}-252\) 산출 +3점 |
💡 감점 방어 클리닉: 기울기가 주어진 접선 문제는 접점의 좌표를 \({\kern0pt}(t, f(t))\)로 설정하는 것이 첫 단계입니다.
2027학년도 대비 국민대학교 자연A형 약술형 논술 실전 모의고사 10회 (모범해설 및 2열 부분점수 채점기준표)
수리 영역 8문항 (80분 / 100점 만점 · 수능최저 2합 6 이내)
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 탐구 170107 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]
다항함수 \({\kern0pt}f(x) = 4x^3 - 2x + 5\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[7-1] (6점) \({\kern0pt}F'(x) = f(x)\)인 한 부정적분을 \({\kern0pt}F(x)\)라 할 때, 극한 \({\kern0pt}\lim_{h \to 0} \dfrac{1}{h}\int_{1}^{1+2h} f(t)\,dt\)를 \({\kern0pt}f(1)\)에 대한 식으로 나타내시오.
[7-2] (6.5점) 주어진 극한값을 구하시오.
🎯 정답 : [7-1] \({\kern0pt}2f(1)\) | [7-2] \({\kern0pt}14\)
[1줄: 공식선언 (30%)] \({\kern0pt}F'(x) = f(x)\)인 부정적분 \({\kern0pt}F(x)\)를 도입하면 \({\kern0pt}\int_1^{1+2h} f(t)\,dt = F(1 + 2h) - F(1)\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 미분계수의 정의에 의해 \({\kern0pt}\lim_{h \to 0} \dfrac{F(1 + 2h) - F(1)}{h} = 2\lim_{h \to 0}\dfrac{F(1+2h)-F(1)}{2h} = 2F'(1) = 2f(1)\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \({\kern0pt}f(1) = 4(1)^3 - 2(1) + 5 = 7\)이므로 구하는 극한값은 \({\kern0pt}2f(1) = 14\)이다.
| 배점 단계 | 국민대학교 자연A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준 |
|---|
| 소문항 [7-1] (6점) | • 부정적분 \({\kern0pt}F(x)\) 도입 및 \({\kern0pt}2f(1)\) 유도 +6점 |
| 소문항 [7-2] (6.5점) | • \({\kern0pt}f(1) = 7\) 계산 +3점 / 극한값 \({\kern0pt}14\) 산출 +3.5점 |
💡 감점 방어 클리닉: 적분 위끝이 \({\kern0pt}1 + 2h\)이므로 분모 \({\kern0pt}2h\)를 맞춰 \({\kern0pt}2F'(1) = 2f(1)\)이 됨을 명확히 서술합니다.
2027학년도 대비 국민대학교 자연A형 약술형 논술 실전 모의고사 10회 (모범해설 및 2열 부분점수 채점기준표)
수리 영역 8문항 (80분 / 100점 만점 · 수능최저 2합 6 이내)
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.10 탐구 170108 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]
이차곡선 \({\kern0pt}y = -x^2 + 4x\)와 \({\kern0pt}x\)축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 직선 \({\kern0pt}y = mx\) (\({\kern0pt}0 < m < 4\))가 이등분할 때, 다음 물음에 답하시오.
[8-1] (6점) 곡선 \({\kern0pt}y = -x^2 + 4x\)와 \({\kern0pt}x\)축으로 둘러싸인 도형의 넓이 \({\kern0pt}S_1\)을 구하시오.
[8-2] (6.5점) 곡선과 직선 \({\kern0pt}y = mx\)로 둘러싸인 넓이 \({\kern0pt}S_2\)를 \({\kern0pt}m\)에 대한 식으로 나타내고, \({\kern0pt}(4 - m)^3\)의 값을 구하시오.
🎯 정답 : [8-1] \({\kern0pt}S_1 = \dfrac{32}{3}\) | [8-2] \({\kern0pt}S_2 = \dfrac{1}{6}(4 - m)^3,\; (4 - m)^3 = 32\)
[1줄: 공식선언 (30%)] 곡선 \({\kern0pt}y = -x^2 + 4x\)와 \({\kern0pt}x\)축의 교점은 \({\kern0pt}x = 0, 4\)이므로 둘러싸인 넓이는 \({\kern0pt}S_1 = \int_0^4 (-x^2 + 4x)\,dx = \dfrac{1}{6}(4 - 0)^3 = \dfrac{32}{3}\)이다.
[2줄: 핵심계산 (40%)] 곡선과 직선 \({\kern0pt}y = mx\)의 교점은 \({\kern0pt}x = 0,\; 4 - m\)이므로 둘러싸인 넓이는 \({\kern0pt}S_2 = \dfrac{1}{6}(4 - m)^3\)이다.
[3줄: 최종결론 (30%)] \({\kern0pt}S_2 = \dfrac{1}{2}S_1\)에서 \({\kern0pt}\dfrac{1}{6}(4 - m)^3 = \dfrac{16}{3}\)이므로 \({\kern0pt}(4 - m)^3 = 32\)이다.
| 배점 단계 | 국민대학교 자연A형 약술형 공식 2열 부분점수 채점 기준 |
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| 소문항 [8-1] (6점) | • 전체 넓이 \({\kern0pt}S_1 = \dfrac{32}{3}\) 산출 +6점 |
| 소문항 [8-2] (6.5점) | • \({\kern0pt}S_2 = \dfrac{1}{6}(4 - m)^3\) 표현 +3.5점 / \({\kern0pt}(4 - m)^3 = 32\) 도출 +3점 |
💡 감점 방어 클리닉: 이차곡선과 직선으로 둘러싸인 넓이 공식 \({\kern0pt}\dfrac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^3\)을 활용하면 삼차방정식을 직접 전개하지 않고 즉시 구할 수 있습니다.