[1-1 풀이 (8점)] 코사인법칙에 의하여 $\cos A = \dfrac{6^2 + 4^2 - 5^2}{2 \cdot 6 \cdot 4} = \dfrac{27}{48} = \dfrac{9}{16}$이다. 따라서 $\sin A = \sqrt{1 - \dfrac{81}{256}} = \dfrac{5\sqrt{7}}{16}$이고, 삼각형 $ABC$의 넓이는 $S = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 \cdot \dfrac{5\sqrt{7}}{16} = \dfrac{15\sqrt{7}}{4}$이다.

[1-2 풀이 (8점)] $\overline{BD} = 5 \times \dfrac{6}{6 + 4} = 3, \; \overline{DC} = 2$이다. $\cos B = \dfrac{6^2 + 5^2 - 4^2}{2 \cdot 6 \cdot 5} = \dfrac{3}{4}$이므로 $\triangle ABD$에서 코사인법칙을 적용하면 $\overline{AD}^2 = 6^2 + 3^2 - 2 \cdot 6 \cdot 3 \cdot \dfrac{3}{4} = 45 - 27 = 18$에서 $\overline{AD} = 3\sqrt{2}$이다.

[1-3 풀이 (9점)] 외접원의 반지름은 $R = \dfrac{abc}{4S}$이고 내접원의 반지름은 $r = \dfrac{2S}{a + b + c}$이므로 두 반지름의 곱은 $Rr = \dfrac{abc}{2(a + b + c)} = \dfrac{5 \times 4 \times 6}{2(5 + 4 + 6)} = \dfrac{120}{30} = 4$이다.

[2-1 풀이 (8점)] 선분 $AB$의 중점은 $M(4, 3)$이고 $|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(5-3)^2 + (5-1)^2} = 2\sqrt{5}$이다. $\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} = 2\overrightarrow{PM}$이고 $|\overrightarrow{OM}| = 5$, 원의 반지름이 $r = 2$이므로 $5 - 2 \le |\overrightarrow{PM}| \le 5 + 2$, 즉 $3 \le |\overrightarrow{PM}| \le 7$이다. 따라서 $|\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB}| = 2|\overrightarrow{PM}|$의 최댓값은 $14$, 최솟값은 $6$이다.

[2-2 풀이 (8점)] $\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} = |\overrightarrow{PM}|^2 - \dfrac{1}{4}|\overrightarrow{AB}|^2 = |\overrightarrow{PM}|^2 - 5$이다. $3 \le |\overrightarrow{PM}| \le 7$에서 $9 \le |\overrightarrow{PM}|^2 \le 49$이므로 내적 $\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB}$의 최댓값은 $49 - 5 = 44$, 최솟값은 $9 - 5 = 4$이다.

[2-3 풀이 (9점)] $\overrightarrow{AB} = (2, 4)$이고 $P(x, y)$라 하면 $\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{AB} = 2x + 4y = 0 \implies x = -2y$이다. 이를 $x^2 + y^2 = 4$에 대입하면 $5y^2 = 4$에서 $y = \pm\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$이므로 두 점의 좌표는 $\left(-\dfrac{4\sqrt{5}}{5}, \dfrac{2\sqrt{5}}{5}\right)$, $\left(\dfrac{4\sqrt{5}}{5}, -\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\right)$이다.

[3-1 풀이 (8점)] $f'(x) = 3x(x - 2) = 0$이므로 $x = 0$에서 극댓값 $f(0) = 4$, $x = 2$에서 극솟값 $f(2) = 0$을 갖는다. $f(x) - 4 = x^2(x - 3) = 0$의 실근은 $x = 0, \; 3$이고, $f(x) = (x + 1)(x - 2)^2 = 0$의 실근은 $x = -1, \; 2$이다.

[3-2 풀이 (8점)] (i) $t < -1$일 때 구간 $[t, t+2]$에서 $x = t$일 때 최소이므로 $g(t) = f(t) = t^3 - 3t^2 + 4$이다. (ii) $-1 \le t < 0$일 때 $f(t+2) \le f(t)$이고 극소점 $2$가 구간에 포함되거나 우측 끝점이 최소이므로: $f(t) = f(t+2) \iff t^3 - 3t^2 + 4 = (t+2)^3 - 3(t+2)^2 + 4 \iff 6t^2 + 2 = 0$이 아니라 $6t^2 - 4 = 0$? 직접 전개하면 $(t^3 + 6t^2 + 12t + 8) - (3t^2 + 12t + 12) + 4 = t^3 + 3t^2$이므로 $f(t) = f(t+2) \iff -3t^2 + 4 = 3t^2 \iff t^2 = \dfrac{2}{3}$이다! 특히 $0 \le t \le 2$에서는 극소점 $x = 2 \in [t, t+2]$이므로 $g(t) = f(2) = 0$이고, $t > 2$에서는 $f(x)$가 순증가하므로 $g(t) = f(t)$이다. 더 단순하게 구간 $(-\infty, 2]$에서 $h(t) = \min_{x \le t} f(x)$가 아니라 구간 $[0, 3]$에서의 정적분: $0 \le t \le 2$에서 $g(t) = 0$, $2 < t \le 3$에서 $g(t) = f(t) = t^3 - 3t^2 + 4$이고, $-\sqrt{2/3} < t < 0$에서는 $g(t) = f(t+2) = t^3 + 3t^2$이다. 따라서 미분불가능점은 $t = -\sqrt{\dfrac{2}{3}}$ ($g'_- \ne g'_+$)이다.

[3-3 풀이 (9점)] 특히 구간 $[0, 3]$에서 $\int_0^3 g(t)\,dt = \int_0^2 0\,dt + \int_2^3 (t^3 - 3t^2 + 4)\,dt = \left[\dfrac{1}{4}t^4 - t^3 + 4t\right]_2^3 = \left(\dfrac{81}{4} - 27 + 12\right) - (4 - 8 + 8) = \dfrac{21}{4} - 4 = \dfrac{5}{4}$이고, 구간 $[-1, 0]$까지 포함할 경우 대칭식을 적분하여 합산한다.

[4-1 풀이 (8점)] 우함수 성질에 의하여 $\int_{-1}^{1} f(x)\,dx = 2\int_{0}^{1} 3x^2\,dx = 2\left[x^3\right]_0^1 = 2$이다. 주기가 $2$이므로 모든 정수 $n$에 대하여 $\int_{2n-1}^{2n+1} f(x)\,dx = 2$이다.

[4-2 풀이 (8점)] 구간 $[-2, 4]$의 길이는 $6$ ($3$주기)이고 중심은 $x = 1$이다. $x = u + 1$로 평행이동하면 $f(u + 1)$ 역시 직선 $u = 0$에 대칭인 우함수이므로 $\int_{-2}^{4} (x + 1)f(x)\,dx = \int_{-3}^{3} (u + 2)f(u + 1)\,du = 0 + 2\int_{-3}^{3} f(u + 1)\,du = 2 \times (3 \times 2) = 12$이다.

[4-3 풀이 (9점)] 적분과 미분의 관계 및 $f(x + 2) = f(x)$에 의하여 $G'(x) = (x + 2)f(x + 2) - x f(x) = 2f(x)$이다. 또한 $x = 2$일 때 구간 $[2, 4]$의 중심이 $t = 3$이므로 $t = v + 3$으로 치환하면 $G(2) = \int_{-1}^{1} (v + 3)f(v + 3)\,dv = 3\int_{-1}^{1} f(v + 1)\,dv = 3 \times 2 = 6$이다.