[1-1 풀이 (8점)] $t = 2^k > 0$으로 놓으면 $2t = t^2 - 4t + 6 \iff t^2 - 6t + 6 = 0$이 아니라 만약 $C_2 : y = 4^x - 2^{x+2} + 3$이면 $2t = t^2 - 4t + 3$에서 $t^2 - 6t + 3 = 0$이고, $C_2 : y = 4^x - 2^{x+1} + 3$이거나 $C_1 : y = 2^x, C_2 : y = 4^x - 5\cdot 2^x + 6$이면 cleanly 인수분해된다. 제시문 (나)에서 $L(k) = |t^2 - 6t + 6|$일 때 $t = 3 \pm \sqrt{3}$에서 교점을 가지며, 꼭짓점 $t = 3$ ($k = \log_2 3$)에서 $L(k) = |-3| = 3$이다.

[1-2 풀이 (8점)] $g(t) = |t^2 - 6t + 6| = |(t - 3)^2 - 3|$이므로 두 교점 사이 구간 $3 - \sqrt{3} \le t \le 3 + \sqrt{3}$에서 $t = 3$, 즉 $k = \log_2 3$일 때 최댓값 $3$을 갖는다.

[1-3 풀이 (9점)] 닫힌구간 $0 \le k \le 3$은 $1 \le t \le 8$에 대응한다. 교점 $t = 3 \pm \sqrt{3} \in [1, 8]$에서 $L(k)$의 최솟값은 $m = 0$이다. 한편 구간 $[1, 8]$에서 $g(1) = 1$, $g(3) = 3$, $g(8) = |64 - 48 + 6| = 22$이므로 최댓값은 $k = 3$ ($t = 8$)일 때 $M = 22$이다.

[2-1 풀이 (8점)] 전체 특등급 비율은 $p = 0.6 \times 0.25 + 0.4 \times 0.125 = 0.15 + 0.05 = 0.2 = \dfrac{1}{5}$이다. 베이즈 정리에 의하여 특등급일 때 제$1$라인 제품일 조건부확률은 $\dfrac{0.15}{0.20} = \dfrac{3}{4}$이다.

[2-2 풀이 (8점)] 표본비율은 $\hat{p} = \dfrac{80}{400} = 0.2$이고 표준오차는 $\sqrt{\dfrac{0.2 \times 0.8}{400}} = \dfrac{0.4}{20} = 0.02$이다. 따라서 $1.96 \times 0.02 = 0.0392$이므로 신뢰도 $95\%$의 신뢰구간은 $[0.1608, \; 0.2392]$이다.

[2-3 풀이 (9점)] 신뢰구간의 길이는 $L = 2 \times 1.96\sqrt{\dfrac{0.2 \times 0.8}{n}} = 3.92 \times \dfrac{0.4}{\sqrt{n}} \le 0.0392$이다. 정리하면 $\dfrac{0.4}{\sqrt{n}} \le 0.01 \iff \sqrt{n} \ge 40 \iff n \ge 1600$이므로 표본의 크기 $n$의 최솟값은 $1600$이다.

[3-1 풀이 (8점)] 점 $P(t, t^2)$에서의 접선의 기울기가 $2t$이므로 법선의 방정식은 $y - t^2 = -\dfrac{1}{2t}(x - t)$이다. $x = 0$을 대입하면 $c(t) = t^2 + \dfrac{1}{2}$이고, 반지름은 $R(t) = \overline{CP} = \sqrt{t^2 + \dfrac{1}{4}} = \dfrac{\sqrt{4t^2 + 1}}{2}$이다. 따라서 $\lim_{t \to 0^+} c(t) = \dfrac{1}{2}$이다.

[3-2 풀이 (8점)] $R(t) = \dfrac{\sqrt{4t^2 + 1}}{2}$이므로 $\lim_{t \to 0^+} \dfrac{R(t)}{t}$ 대신 $\lim_{t \to 0^+} R(t) = \dfrac{1}{2}$이고, $\lim_{t \to 0^+} \dfrac{R(t) - 1/2}{t^2} = \lim_{t \to 0^+} \dfrac{2t^2}{t^2(\sqrt{4t^2 + 1} + 1)} = 1$이다. 또한 $\lim_{t \to \infty} \dfrac{R(t)}{t} = 1$이다.

[3-3 풀이 (9점)] $t = 1$일 때 $P(1, 1), \; Q(-1, 1), \; C(0, 3/2)$이다. 선분 $PQ$ ($y = 1$) 위쪽의 삼각형 $CPQ$의 넓이는 $\dfrac{1}{2} \times 2 \times \left(\dfrac{3}{2} - 1\right) = \dfrac{1}{2}$이고, 선분 $PQ$ ($y = 1$)와 포물선 $y = x^2$으로 둘러싸인 넓이는 $\int_{-1}^{1} (1 - x^2)\,dx = \dfrac{4}{3}$이다. 따라서 두 직선 $CP, CQ$와 포물선 $y = x^2$으로 둘러싸인 전체 영역의 넓이는 $\dfrac{1}{2} + \dfrac{4}{3} = \dfrac{11}{6}$이다.

[4-1 풀이 (8점)] $c = \sqrt{9 + 16} = 5$이므로 두 초점은 $F(5, 0), \; F'(-5, 0)$이고 두 점근선은 $y = \pm\dfrac{4}{3}x$ ($4x \mp 3y = 0$)이다. 초점 $F(5, 0)$에서 점근선 $4x - 3y = 0$까지의 거리는 $d = \dfrac{|20 - 0|}{\sqrt{16 + 9}} = 4$ ($= b$)이다.

[4-2 풀이 (8점)] 접선 $\dfrac{x_1 x}{9} - \dfrac{y_1 y}{16} = 1$과 $y = \pm\dfrac{4}{3}x$를 연립하면 $\left(\dfrac{x_1}{3} \mp \dfrac{y_1}{4}\right)\dfrac{x}{3} = 1$이다. 이때 $\dfrac{x_1^2}{9} - \dfrac{y_1^2}{16} = 1$을 이용하면 $A\left(3\left(\dfrac{x_1}{3} + \dfrac{y_1}{4}\right), 4\left(\dfrac{x_1}{3} + \dfrac{y_1}{4}\right)\right)$, $B\left(3\left(\dfrac{x_1}{3} - \dfrac{y_1}{4}\right), -4\left(\dfrac{x_1}{3} - \dfrac{y_1}{4}\right)\right)$이므로 두 점의 중점은 $(x_1, y_1) = P$이다.

[4-3 풀이 (9점)] 신발끈 공식에 의하여 삼각형 $OAB$의 넓이는 $S = \dfrac{1}{2}|x_A y_B - x_B y_A| = \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 12\left(\dfrac{x_1}{3} + \dfrac{y_1}{4}\right)\left(\dfrac{x_1}{3} - \dfrac{y_1}{4}\right) = 12\left(\dfrac{x_1^2}{9} - \dfrac{y_1^2}{16}\right) = 12 \times 1 = 12$로 점 $P$의 위치에 관계없이 항상 $12$로 일정하다.