[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.6 탐구 5081 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07]
[제시문 (가)] 지수함수 $y = 2^x$는 실수 전체의 집합에서 양의 값을 가지며 단조증가한다.
[제시문 (나)] 좌표평면 위의 두 곡선 $C_1 : y = 2^{x+1}$과 $C_2 : y = 4^x - 2^{x+2} + 6$이 직선 $x = k$와 만나는 점을 각각 $A_k, B_k$라 하고, 선분 $A_k B_k$의 길이를 $L(k)$라 하자.
[문항 1-1] (8점) $t = 2^k$ ($t > 0$)로 치환하여 두 곡선 $C_1, C_2$가 만나는 두 교점의 좌표를 모두 구하시오.
[문항 1-2] (8점) 두 교점 사이($1 \le k \le \log_2 3$)에서 선분 $A_k B_k$의 길이 $L(k)$가 최대가 될 때의 $k$의 값과 최댓값을 구하시오.
[문항 1-3] (9점) 닫힌구간 $0 \le k \le 3$에서 $L(k)$의 최댓값 $M$과 최솟값 $m$을 각각 구하시오.
[건국대 KU논술우수자 답안 작성 유의사항] 2022 개정 교육과정 교과서 정리와 정의에 근거하여 논리적 전개 과정, 핵심 수식 계산, 최종 결론을 각 소문항 답안란에 구분하여 기술하시오.
[소문항 1-1 논술 답안 작성란]배점 8점 · 풀이 과정 및 근거 명시
[소문항 1-2 논술 답안 작성란]배점 8점 · 풀이 과정 및 근거 명시
[소문항 1-3 논술 답안 작성란]배점 9점 · 풀이 과정 및 근거 명시
[출처: 한국교육과정평가원 확률과 통계 Ⅲ-2. 통계적 추정 (DB: KICE_2028) PDF p.12 탐구 5082 변형 | 성취기준: 12확통02-03, 12확통03-06]
[제시문 (가)] 표본의 크기 $n$이 충분히 클 때, 표본비율 $\hat{p}$를 이용한 모비율 $p$의 신뢰도 $95\%$의 신뢰구간은 $\hat{p} - 1.96\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}} \le p \le \hat{p} + 1.96\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}}$이다. (단, $\mathrm{P}(|Z| \le 1.96) = 0.95$)
[제시문 (나)] 어느 공장에서 생산되는 전체 제품의 $60\%$는 제$1$라인에서, $40\%$는 제$2$라인에서 생산된다. 제$1$라인과 제$2$라인의 특등급 비율은 각각 $25\%$, $12.5\%$이다.
[문항 2-1] (8점) 이 공장에서 생산된 전체 제품 중 임의로 택한 $1$개가 특등급일 확률 $p$를 구하고, 택한 제품이 특등급이었을 때 그 제품이 제$1$라인에서 생산되었을 조건부확률을 구하시오.
[문항 2-2] (8점) 이 공장의 제품 중에서 크기 $n = 400$인 표본을 임의추출하였더니 특등급 제품이 $80$개였다. 표본비율 $\hat{p}$를 구하고 모비율의 신뢰도 $95\%$의 신뢰구간 $[a, b]$를 구하시오.
[문항 2-3] (9점) 표본비율이 $\hat{p} = 0.2$로 일정할 때, 모비율의 신뢰도 $95\%$의 신뢰구간의 길이 $b - a$가 $0.0392$ 이하가 되도록 하는 표본의 크기 $n$의 최솟값을 구하시오.
[건국대 KU논술우수자 답안 작성 유의사항] 2022 개정 교육과정 교과서 정리와 정의에 근거하여 논리적 전개 과정, 핵심 수식 계산, 최종 결론을 각 소문항 답안란에 구분하여 기술하시오.
[소문항 2-1 논술 답안 작성란]배점 8점 · 풀이 과정 및 근거 명시
[소문항 2-2 논술 답안 작성란]배점 8점 · 풀이 과정 및 근거 명시
[소문항 2-3 논술 답안 작성란]배점 9점 · 풀이 과정 및 근거 명시
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.7 탐구 5083 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-02, 12미적Ⅰ-03-05]
[제시문 (가)] 좌표평면에서 중심이 $C(0, c)$이고 반지름이 $R$인 원 $x^2 + (y - c)^2 = R^2$이 포물선 $y = x^2$과 점 $P(t, t^2)$ ($t > 0$)에서 접하면, 직선 $CP$는 점 $P$에서의 접선과 수직이다.
[제시문 (나)] 양수 $t$에 대하여 포물선 $y = x^2$ 위의 두 점 $P(t, t^2)$, $Q(-t, t^2)$에서 동시에 포물선에 접하는 원의 중심을 $C(0, c(t))$, 반지름을 $R(t)$라 하자.
[문항 3-1] (8점) 점 $P(t, t^2)$에서의 법선이 $y$축과 만나는 점이 원의 중심 $C(0, c(t))$임을 이용하여 $c(t)$와 $R(t)$를 $t$에 대한 식으로 나타내고, $\lim_{t \to 0^+} c(t)$를 구하시오.
[문항 3-2] (8점) 극한 $\lim_{t \to 0^+} \dfrac{R(t) - t}{t^3}$가 아니라 $\lim_{t \to 0^+} \dfrac{R(t)}{t}$와 $\lim_{t \to \infty} \dfrac{R(t)}{t^2}$의 값을 각각 구하시오.
[문항 3-3] (9점) $t = 1$일 때 원의 중심 $C$, 두 접점 $P, Q$를 꼭짓점으로 하는 삼각형 $CPQ$와 포물선 $y = x^2$으로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하시오.
[건국대 KU논술우수자 답안 작성 유의사항] 2022 개정 교육과정 교과서 정리와 정의에 근거하여 논리적 전개 과정, 핵심 수식 계산, 최종 결론을 각 소문항 답안란에 구분하여 기술하시오.
[소문항 3-1 논술 답안 작성란]배점 8점 · 풀이 과정 및 근거 명시
[소문항 3-2 논술 답안 작성란]배점 8점 · 풀이 과정 및 근거 명시
[소문항 3-3 논술 답안 작성란]배점 9점 · 풀이 과정 및 근거 명시
[출처: 비상교육 기하 Ⅰ-1. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.11 탐구 5084 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]
[제시문 (가)] 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ ($a > 0, \; b > 0$)의 두 점근선의 방정식은 $y = \pm\dfrac{b}{a}x$이고, 쌍곡선 위의 점 $P(x_1, y_1)$에서의 접선의 방정식은 $\dfrac{x_1 x}{a^2} - \dfrac{y_1 y}{b^2} = 1$이다.
[제시문 (나)] 쌍곡선 $H : \dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{16} = 1$ 위의 제$1$사분면의 점 $P(x_1, y_1)$에서의 접선 $l$이 두 점근선과 만나는 점을 각각 $A, B$라 하자.
[문항 4-1] (8점) 쌍곡선 $H$의 두 초점 $F, F'$의 좌표와 두 점근선의 방정식을 구하고, 한 초점 $F$에서 점근선까지의 거리를 구하시오.
[문항 4-2] (8점) 점 $P(x_1, y_1)$에서의 접선 $l$이 두 점근선 $y = \dfrac{4}{3}x$, $y = -\dfrac{4}{3}x$와 만나는 두 점 $A, B$의 좌표를 구하고, 점 $P$가 선분 $AB$의 중점임을 증명하시오.
[문항 4-3] (9점) 원점 $O$에 대하여 삼각형 $OAB$의 넓이가 점 $P$의 위치에 관계없이 항상 일정함을 증명하고 그 넓이를 구하시오.
[건국대 KU논술우수자 답안 작성 유의사항] 2022 개정 교육과정 교과서 정리와 정의에 근거하여 논리적 전개 과정, 핵심 수식 계산, 최종 결론을 각 소문항 답안란에 구분하여 기술하시오.
[소문항 4-1 논술 답안 작성란]배점 8점 · 풀이 과정 및 근거 명시
[소문항 4-2 논술 답안 작성란]배점 8점 · 풀이 과정 및 근거 명시
[소문항 4-3 논술 답안 작성란]배점 9점 · 풀이 과정 및 근거 명시