[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.4 탐구 5071 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]
[제시문 (가)] 지수함수 $y = a^x$ ($a > 1$)과 로그함수 $y = \log_a x$는 서로 역함수 관계이므로 두 그래프는 직선 $y = x$에 대하여 대칭이다.
[제시문 (나)] 좌표평면에서 기울기가 $-1$인 직선 $l$이 두 곡선 $y = 2^x$, $y = \log_2 x$와 만나는 점을 각각 $A, B$라 하고, 점 $A$를 원점 $O$에 대하여 대칭이동한 점을 $C$라 하자. (단, 점 $A$의 $x$좌표 $t$는 $t > 0$이다.)
[문항 1-1] (8점) 점 $A(t, 2^t)$에 대하여 두 점 $B, C$의 좌표를 $t$로 나타내고, 원점 $O$가 외접원의 중심임을 이용하여 $\angle ACB = \dfrac{1}{2}\angle AOB$임을 증명하시오.
[문항 1-2] (8점) 직선 $OA$의 기울기 $m(t) = \dfrac{2^t}{t}$에 대하여, $t \ge 1$에서 $m(t) \ge 2$가 성립함을 보이고 등호가 성립하는 $t$의 값을 구하시오.
[문항 1-3] (9점) $t \ge 1$인 정수 $t$ 중에서 $\angle ACB$를 최소가 되게 하는 점 $A$의 좌표를 구하고, 그때 직각삼각형 $ABC$의 넓이를 구하시오.
[건국대 KU논술우수자 답안 작성 유의사항] 2022 개정 교육과정 교과서 정리와 정의에 근거하여 논리적 전개 과정, 핵심 수식 계산, 최종 결론을 각 소문항 답안란에 구분하여 기술하시오.
[소문항 1-1 논술 답안 작성란]배점 8점 · 풀이 과정 및 근거 명시
[소문항 1-2 논술 답안 작성란]배점 8점 · 풀이 과정 및 근거 명시
[소문항 1-3 논술 답안 작성란]배점 9점 · 풀이 과정 및 근거 명시
[출처: 비상교육 기하 Ⅰ-1. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.9 탐구 5072 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]
[제시문 (가)] 타원 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ ($a > b > 0$) 위의 점 $P$와 두 초점 $F(c, 0), F'(-c, 0)$ ($c = \sqrt{a^2 - b^2}$)에 대하여 $\overline{PF} + \overline{PF'} = 2a$이다.
[제시문 (나)] 타원 $E : \dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$의 두 초점을 $F, F'$이라 하고, 제$1$사분면 위의 점 $P(x_1, y_1)$에서의 접선이 $x$축, $y$축과 만나는 점을 각각 $A, B$라 하자.
[문항 2-1] (8점) 타원 $E$의 두 초점 $F, F'$의 좌표를 구하고, $\angle FPF' = \dfrac{\pi}{2}$일 때 삼각형 $FPF'$의 넓이를 구하시오.
[문항 2-2] (8점) 제$1$사분면 위의 점 $P(x_1, y_1)$에서의 접선의 방정식을 쓰고, 두 절편 $A, B$의 좌표를 $x_1, y_1$으로 나타내시오.
[문항 2-3] (9점) 원점 $O$에 대하여 삼각형 $OAB$의 넓이의 최솟값을 구하고, 그때 점 $P(x_1, y_1)$의 좌표를 구하시오.
[건국대 KU논술우수자 답안 작성 유의사항] 2022 개정 교육과정 교과서 정리와 정의에 근거하여 논리적 전개 과정, 핵심 수식 계산, 최종 결론을 각 소문항 답안란에 구분하여 기술하시오.
[소문항 2-1 논술 답안 작성란]배점 8점 · 풀이 과정 및 근거 명시
[소문항 2-2 논술 답안 작성란]배점 8점 · 풀이 과정 및 근거 명시
[소문항 2-3 논술 답안 작성란]배점 9점 · 풀이 과정 및 근거 명시
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.8 탐구 5073 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]
[제시문 (가)] 좌표평면에서 점 $(x_0, y_0)$과 직선 $mx - y + n = 0$ 사이의 거리는 $d = \dfrac{|mx_0 - y_0 + n|}{\sqrt{m^2 + 1}}$이다.
[제시문 (나)] 삼차함수 $f(x) = x(x - 1)(x - a) + 2x$ ($a > 1$)의 그래프와 원점을 지나는 직선 $y = 2x$가 제$1$사분면에서 만나는 두 점을 $A, B$ (단, 점 $A$의 $x$좌표가 점 $B$의 $x$좌표보다 작다)라 하고, 곡선 $y = f(x)$ 위의 호 $AB$를 따라 움직이는 동점 $P(t, f(t))$를 생각한다.
[문항 3-1] (8점) 곡선 $y = f(x)$와 직선 $y = 2x$가 원점이 아닌 서로 다른 두 점 $A, B$에서 만나고 $\overline{AB} = 2\sqrt{5}$일 때, 상수 $a$의 값과 두 점 $A, B$의 좌표를 구하시오.
[문항 3-2] (8점) 문항 3-1의 $a$에 대하여, 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $P(t, f(t))$ ($1 < t < 3$)를 꼭짓점으로 하는 삼각형 $PAB$의 넓이 $S(t)$를 $t$에 대한 다항식으로 나타내시오.
[문항 3-3] (9점) 구간 $1 < t < 3$에서 삼각형 $PAB$의 넓이 $S(t)$가 최대가 될 때의 $t$의 값과 그때의 최댓값을 구하시오.
[건국대 KU논술우수자 답안 작성 유의사항] 2022 개정 교육과정 교과서 정리와 정의에 근거하여 논리적 전개 과정, 핵심 수식 계산, 최종 결론을 각 소문항 답안란에 구분하여 기술하시오.
[소문항 3-1 논술 답안 작성란]배점 8점 · 풀이 과정 및 근거 명시
[소문항 3-2 논술 답안 작성란]배점 8점 · 풀이 과정 및 근거 명시
[소문항 3-3 논술 답안 작성란]배점 9점 · 풀이 과정 및 근거 명시
[출처: 비상교육 기하 Ⅲ-2. 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03_비상) PDF p.8 탐구 5074 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]
[제시문 (가)] 좌표공간에서 점 $A(x_1, y_1, z_1)$을 지나고 법선벡터가 $\vec{n} = (a, b, c)$인 평면의 방정식은 $a(x - x_1) + b(y - y_1) + c(z - z_1) = 0$이다.
[제시문 (나)] 좌표공간에서 세 점 $A(6, 0, 0), \; B(0, 3, 0), \; C(0, 0, 2)$를 지나는 평면을 $\alpha$라 하고, 원점 $O(0, 0, 0)$에서 평면 $\alpha$에 내린 수선의 발을 $H$라 하자.
[문항 4-1] (8점) 평면 $\alpha$의 방정식과 단위법선벡터를 구하고, 원점 $O$에서 평면 $\alpha$에 내린 수선의 발 $H$의 좌표와 선분 $OH$의 길이를 구하시오.
[문항 4-2] (8점) 삼각형 $ABC$의 넓이 $S$와, 평면 $\alpha$와 $xy$평면이 이루는 예각 $\theta$에 대하여 $\cos\theta$의 값을 각각 구하시오.
[문항 4-3] (9점) 점 $P(2, 2, 2)$에서 평면 $\alpha$에 내린 수선의 길이와 사면체 $PABC$의 부피 $V$를 각각 구하시오.
[건국대 KU논술우수자 답안 작성 유의사항] 2022 개정 교육과정 교과서 정리와 정의에 근거하여 논리적 전개 과정, 핵심 수식 계산, 최종 결론을 각 소문항 답안란에 구분하여 기술하시오.
[소문항 4-1 논술 답안 작성란]배점 8점 · 풀이 과정 및 근거 명시
[소문항 4-2 논술 답안 작성란]배점 8점 · 풀이 과정 및 근거 명시
[소문항 4-3 논술 답안 작성란]배점 9점 · 풀이 과정 및 근거 명시