[1-1 풀이 (8점)] $4p = 8$에서 $p = 2$이므로 초점은 $F(2, 0)$이다. 점 $P(t^2/2, 2t)$에서의 접선의 방정식은 $2t y = 4(x + t^2/2)$, 즉 $y = \dfrac{2}{t}x + t$이다. 법선의 기울기는 $-\dfrac{t}{2}$이므로 법선의 방정식은 $y - 2t = -\dfrac{t}{2}\left(x - \dfrac{t^2}{2}\right)$, 즉 $y = -\dfrac{t}{2}x + \dfrac{t^3}{4} + 2t$이다.

[1-2 풀이 (8점)] 접선과 법선에 $y = 0$을 대입하면 $T(-t^2/2, 0)$, $N(t^2/2 + 4, 0)$이다. 포물선의 정의에 의하여 $\overline{FP} = \dfrac{t^2}{2} + 2$이고, $\overline{FT} = 2 - \left(-\dfrac{t^2}{2}\right) = \dfrac{t^2}{2} + 2$이므로 $\overline{FT} = \overline{FP}$이다. 또한 $\overline{FN} = \left(\dfrac{t^2}{2} + 4\right) - 2 = \dfrac{t^2}{2} + 2 = \overline{FP}$이므로 $\overline{TN} - \overline{FP} = \left(\dfrac{t^2}{2} + 4\right)$에서 $x_N - x_P = 4$이고 $\overline{FN} = \overline{FP}$, 즉 $\overline{TN} - 2\overline{FP} = 0$과 $x_N - x_F = \dfrac{t^2}{2} + 2$로부터 축 위의 법선영장 길이 $x_N - x_P = 4$가 일정하게 성립한다.

[1-3 풀이 (9점)] 밑변 $\overline{TN} = \left(\dfrac{t^2}{2} + 4\right) - \left(-\dfrac{t^2}{2}\right) = t^2 + 4$이고 높이는 $y_P = 2t$이므로 삼각형 $PTN$의 넓이는 $S(t) = \dfrac{1}{2}(t^2 + 4) \cdot 2t = t^3 + 4t = 64$이다. $t^3 + 4t - 64 = (t - 4)(t^2 + 4t + 16) = 0$에서 유일한 양근은 $t = 4$이다. 이때 $P(8, 8), \; N(12, 0)$이므로 $\overline{PN} = \sqrt{(12 - 8)^2 + (0 - 8)^2} = \sqrt{16 + 64} = 4\sqrt{5}$이다.

[2-1 풀이 (8점)] 전체 경우의 수는 ${}_n\mathrm{C}_3 = \dfrac{n(n-1)(n-2)}{6}$이다. 최댓값과 최솟값의 차가 $k$ ($2 \le k \le n-1$)이려면 최솟값 $a$는 $1 \le a \le n - k$ 중 하나($n - k$가지)이고, 최댓값은 $a + k$로 결정되며, 가운데 수는 $a + 1$부터 $a + k - 1$까지의 $k - 1$개 중 하나를 선택하면 된다. 따라서 $\mathrm{P}(X = k) = \dfrac{(n - k)(k - 1)}{{}_n\mathrm{C}_3}$이다.

[2-2 풀이 (8점)] 분자의 합 $\sum_{k=2}^{n-1} k(n - k)(k - 1) = \sum_{k=1}^{n-1} \{-k^3 + (n + 1)k^2 - nk\}$을 계산하면 $-\dfrac{(n-1)^2 n^2}{4} + \dfrac{(n+1)(n-1)n(2n-1)}{6} - \dfrac{n(n-1)n}{2} = \dfrac{(n+1)n(n-1)(n-2)}{12}$이다. 이를 ${}_n\mathrm{C}_3 = \dfrac{n(n-1)(n-2)}{6}$으로 나누면 $\mathrm{E}(X) = \dfrac{n + 1}{2}$이다.

[2-3 풀이 (9점)] $\mathrm{E}(X) = \dfrac{n + 1}{2} = 24$에서 $n = 47$이다. 이때 $k = 24$에 대하여 $\mathrm{P}(X = 24) = \dfrac{(47 - 24)(24 - 1)}{{}_{47}\mathrm{C}_3} = \dfrac{23 \times 23 \times 6}{47 \times 46 \times 45} = \dfrac{23}{47 \times 15} = \dfrac{23}{705}$이다.

[3-1 풀이 (8점)] $P(b, b^2 + 2)$에서 $l_1$의 기울기는 $2b$이다. $l_1, l_2$가 모두 직선 $PQ$와 수직이므로 $l_2$의 기울기도 $2b$이다. $y' = -2(x - a) = 2b$에서 $x = a - b$이므로 $Q(a - b, -b^2)$이다. 직선 $PQ$의 기울기가 $-\dfrac{1}{2b}$이므로 $\dfrac{(b^2 + 2) - (-b^2)}{b - (a - b)} = \dfrac{2b^2 + 2}{2b - a} = -\dfrac{1}{2b}$에서 $a - 2b = 4b^3 + 4b$, 즉 $a = 4b^3 + 6b$이다.

[3-2 풀이 (8점)] $a = 10$일 때 $4b^3 + 6b - 10 = 2(b - 1)(2b^2 + 2b + 5) = 0$이고 $2b^2 + 2b + 5 > 0$이므로 유일한 실근은 $b = 1$이다. 따라서 $P(1, 3)$이고 $Q(10 - 1, -1) = (9, -1)$이다.

[3-3 풀이 (9점)] $x_Q - x_P = a - 2b = 4b^3 + 4b = 2b(2b^2 + 2)$이고 $y_P - y_Q = 2b^2 + 2$이므로 $L = (2b^2 + 2)\sqrt{4b^2 + 1}$이다. 양변을 $b$에 대하여 미분하면 $\dfrac{dL}{db} = 4b\sqrt{4b^2 + 1} + (2b^2 + 2)\dfrac{4b}{\sqrt{4b^2 + 1}} = \dfrac{24b^3 + 12b}{\sqrt{4b^2 + 1}}$이고, $\dfrac{da}{db} = 12b^2 + 6$이므로 $\dfrac{dL}{da} = \dfrac{dL/db}{da/db} = \dfrac{2b}{\sqrt{4b^2 + 1}}$이다. $a = 10$일 때 $b = 1$이므로 $\dfrac{dL}{da} = \dfrac{2}{\sqrt{5}} = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}$이다.

[4-1 풀이 (8점)] $y = \dfrac{1}{2}x^2$에서 $y' = x$이므로 점 $P(t, t^2/2)$ ($t \ne 0$)에서의 법선의 방정식은 $y - \dfrac{1}{2}t^2 = -\dfrac{1}{t}(x - t)$이고, $t = 0$일 때 법선은 $x = 0$이다. 두 경우 모두 점 $A(a, b)$를 대입하여 양변에 $2t$를 곱해 정리하면 $t^3 - 2(b - 1)t = 2a$가 된다.

[4-2 풀이 (8점)] 방정식 $g(t) = t^3 - 2(b - 1)t = 2a$가 서로 다른 세 실근을 가지려면 $b > 1$이어야 하고, $g'(t) = 3t^2 - 2(b - 1) = 0$의 두 극점 $t = \pm\sqrt{\dfrac{2(b - 1)}{3}}$에서 극댓값과 극솟값 사이에 $2a$가 놓여야 한다. 즉 $|2a| < \dfrac{4(b - 1)}{3}\sqrt{\dfrac{2(b - 1)}{3}}$이므로 양변을 제곱하여 정리하면 $b > 1$이고 $a^2 < \dfrac{8(b - 1)^3}{27}$이다.

[4-3 풀이 (9점)] $b = 5, 6, 7$을 각각 대입한다. (i) $b = 5$일 때 $a^2 < \dfrac{8 \times 64}{27} \approx 18.96$이므로 $a = 4$ ($1$개). (ii) $b = 6$일 때 $a^2 < \dfrac{8 \times 125}{27} \approx 37.03$이므로 $a = 4, 5, 6$ ($3$개). (iii) $b = 7$일 때 $a^2 < \dfrac{8 \times 216}{27} = 64$이므로 $a = 4, 5, 6, 7$ ($4$개). 따라서 조건을 만족시키는 점 $A(a, b)$의 개수는 $1 + 3 + 4 = 8$이다.