[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 탐구 5051 변형 | 성취기준: 12대수02-03]
[제시문 (가)] 삼각형 $ABC$의 넓이 $S$는 내접원의 반지름 $r$와 둘레의 절반 $s = \dfrac{a + b + c}{2}$에 대하여 $S = rs$이고, 외접원의 반지름 $R$에 대하여 $S = \dfrac{abc}{4R}$이다.
[제시문 (나)] 세 변의 길이 $a < b < c$가 이 순서대로 공차가 $d > 0$인 등차수열을 이루고, 가장 큰 내각 $C$의 크기가 $\dfrac{2\pi}{3}$인 삼각형 $ABC$를 생각한다.
[문항 1-1] (8점) 세 변의 길이를 $b - d, \; b, \; b + d$로 놓고 코사인법칙을 적용하여 세 변의 길이의 비 $a : b : c$를 가장 간단한 자연수의 비로 나타내시오.
[문항 1-2] (8점) 삼각형 $ABC$의 둘레의 길이가 $30$일 때, 세 변의 길이 $a, b, c$와 삼각형 $ABC$의 넓이 $S$를 각각 구하시오.
[문항 1-3] (9점) 문항 1-2의 삼각형에서 외접원의 반지름 $R$와 내접원의 반지름 $r$의 비 $\dfrac{R}{r}$를 구하시오.
[1-1 풀이 (8점)] $(b + d)^2 = (b - d)^2 + b^2 - 2b(b - d)\cos\dfrac{2\pi}{3} \iff b^2 + 2bd + d^2 = 2b^2 - 2bd + d^2 + b^2 - bd \iff 2b^2 - 5bd = 0$에서 $b = \dfrac{5}{2}d$이다. 따라서 $a : b : c = \dfrac{3}{2}d : \dfrac{5}{2}d : \dfrac{7}{2}d = 3 : 5 : 7$이다.
[1-2 풀이 (8점)] $a + b + c = 15k = 30$에서 $k = 2$이므로 $a = 6, \; b = 10, \; c = 14$이다. 넓이는 $S = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 \sin\dfrac{2\pi}{3} = 15\sqrt{3}$이다.
[1-3 풀이 (9점)] $2R = \dfrac{14}{\sin(2\pi/3)} = \dfrac{28}{\sqrt{3}} \implies R = \dfrac{14\sqrt{3}}{3}$이고, $S = 15r = 15\sqrt{3} \implies r = \sqrt{3}$이므로 $\dfrac{R}{r} = \dfrac{14}{3}$이다.
| 평가 소문항 | 건국대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준 |
|---|
| 소문항 [1-1] | • 코사인법칙 \((b+d)^2=(b-d)^2+b^2-2b(b-d)\cos\dfrac{2\pi}{3}\) 전개 +4점 / \(2b^2-5bd=0\)에서 \(b=\dfrac{5}{2}d\) 및 세 변의 비 \(3:5:7\) 도출 +4점 |
| 소문항 [1-2] | • 둘레 조건 \(15k=30\)에서 세 변의 길이 \(6, 10, 14\) 산출 +4점 / 넓이 공식 \(S=\dfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 10\sin\dfrac{2\pi}{3}=15\sqrt{3}\) 도출 +4점 |
| 소문항 [1-3] | • 사인법칙으로 외접원 반지름 \(R=\dfrac{14\sqrt{3}}{3}\) 도출 +4점 / 넓이 관계식 \(S=\dfrac{1}{2}r(a+b+c)\)에서 \(r=\sqrt{3}\) 및 \(\dfrac{R}{r}=\dfrac{14}{3}\) 산출 +5점 |
최종 정답 요약: (1-1) $3 : 5 : 7$ / (1-2) $a=6, b=10, c=14, \; S = 15\sqrt{3}$ / (1-3) $\dfrac{R}{r} = \dfrac{14}{3}$
[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-2. 수열의 합과 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 탐구 5052 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]
[제시문 (가)] 자연수 $n$에 대한 명제 $P(n)$이 모든 자연수에서 성립함을 보이려면 $P(1)$이 참임을 보이고, $P(k)$가 참이라 가정할 때 $P(k+1)$이 참임을 보이면 된다.
[제시문 (나)] 수열 $\{a_n\}$이 $a_1 = 1$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1} = \dfrac{a_n}{2a_n + 1}$을 만족시킨다.
[문항 2-1] (8점) 치환 $b_n = \dfrac{1}{a_n}$을 이용하여 수열 $\{b_n\}$이 등차수열임을 보이고, 일반항 $a_n$을 구하시오.
[문항 2-2] (8점) 모든 자연수 $n$에 대하여 $\sum_{k=1}^{n} a_k a_{k+1} = \dfrac{n}{2n + 1}$이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하시오.
[문항 2-3] (9점) 부등식 $\sum_{k=1}^{n} a_k a_{k+1} > \dfrac{49}{100}$를 만족시키는 가장 작은 자연수 $n$의 값을 구하시오.
[2-1 풀이 (8점)] 주어진 점화식의 역수를 취하면 $\dfrac{1}{a_{n+1}} = \dfrac{1}{a_n} + 2$, 즉 $b_{n+1} - b_n = 2$이고 $b_1 = 1$이므로 $b_n = 2n - 1$이다. 따라서 $a_n = \dfrac{1}{2n - 1}$이다.
[2-2 풀이 (8점)] (i) $n = 1$일 때 좌변 $a_1 a_2 = \dfrac{1}{3}$, 우변 $\dfrac{1}{3}$으로 성립한다. (ii) $n = m$일 때 성립한다고 가정하면 $\sum_{k=1}^{m+1} a_k a_{k+1} = \dfrac{m}{2m + 1} + \dfrac{1}{(2m + 1)(2m + 3)} = \dfrac{2m^2 + 3m + 1}{(2m + 1)(2m + 3)} = \dfrac{m + 1}{2m + 3}$이므로 $n = m + 1$일 때도 성립한다.
[2-3 풀이 (9점)] $\dfrac{n}{2n + 1} > \dfrac{49}{100} \iff 100n > 98n + 49 \iff 2n > 49 \iff n \ge 25$이므로 가장 작은 자연수는 $n = 25$이다.
| 평가 소문항 | 건국대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준 |
|---|
| 소문항 [2-1] | • 역수 수열 \(b_n=\dfrac{1}{a_n}\) 등차수열 치환 및 공차 \(2\) 파악 +4점 / 일반항 \(b_n=2n-1\)로부터 \(a_n=\dfrac{1}{2n-1}\) 도출 +4점 |
| 소문항 [2-2] | • 초기값 \(n=1\) 성립 확인 +3점 / 귀납 가정 \(n=m\) 후 부분분수 합을 더해 \(n=m+1\) 성립 증명 완성 +5점 |
| 소문항 [2-3] | • 부등식 \(\dfrac{n}{2n+1}>\dfrac{49}{100}\) 정리 +4점 / 일차부등식 \(2n>49\)에서 최소 자연수 \(n=25\) 도출 +5점 |
최종 정답 요약: (2-1) $a_n = \dfrac{1}{2n - 1}$ / (2-2) 수학적 귀납법 증명 완료 / (2-3) $n = 25$
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 탐구 5053 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]
[제시문 (가)] 미분가능한 함수 $f(x)$에 대하여 함수 $g(x) = |f(x)|$가 $f(a) = 0$인 점 $x = a$에서 미분가능할 필요충분조건은 $f'(a) = 0$이다.
[제시문 (나)] 사차함수 $f(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2 + k$와 실수 $t$에 대하여 함수 $h(x) = |f(x) - t|$를 생각한다.
[문항 3-1] (8점) $k = 0$일 때, 함수 $f(x)$의 극댓값과 극솟값을 모두 구하고 그래프의 개형을 설명하시오.
[문항 3-2] (8점) $k = 3$일 때, 함수 $h(x) = |f(x) - t|$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하지 않은 점의 개수가 $2$가 되도록 하는 실수 $t$의 값 또는 범위를 구하시오.
[문항 3-3] (9점) $k = 3$일 때, 곡선 $y = f(x)$와 직선 $y = 3$으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하시오.
[3-1 풀이 (8점)] $k = 0$일 때 $f(x) = x^2(x - 2)^2$이고 $f'(x) = 4x(x - 1)(x - 2) = 0$이다. 따라서 $x = 0, \; 2$에서 극솟값 $0$을 갖고, $x = 1$에서 극댓값 $1$을 갖는 직선 $x = 1$에 대칭인 W자 개형이다.
[3-2 풀이 (8점)] $k = 3$일 때 극솟값은 $3$, 극댓값은 $4$이다. 직선 $y = t$가 곡선 $y = f(x)$와 만나는 점 중 접하지 않고 관통하는 교점이 정확히 $2$개인 경우는 $t = 4$ (극대점에서 접하고 양 끝에서 2번 관통) 또는 $t > 4$ (양 끝에서 2번 관통)이므로 $t \ge 4$이다.
[3-3 풀이 (9점)] $S = \int_0^2 x^2(x - 2)^2\,dx = \int_0^2 (x^4 - 4x^3 + 4x^2)\,dx = \left[\dfrac{1}{5}x^5 - x^4 + \dfrac{4}{3}x^3\right]_0^2 = \dfrac{32}{5} - 16 + \dfrac{32}{3} = \dfrac{16}{15}$이다.
| 평가 소문항 | 건국대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준 |
|---|
| 소문항 [3-1] | • 도함수 \(f'(x)=4x(x-1)(x-2)=0\)에서 극값 좌표 도출 +4점 / 극솟값 \(f(0)=f(2)=0\), 극댓값 \(f(1)=1\) 및 \(x=1\) 대칭 개형 서술 +4점 |
| 소문항 [3-2] | • \(k=3\) 평행이동에 따른 극솟값 3, 극댓값 4 파악 +4점 / 직선 \(y=t\)와의 관통 교점 2개 조건 판정으로 범위 \(t \ge 4\) 도출 +4점 |
| 소문항 [3-3] | • 정적분 식 \(S=\int_0^2 (x^4-4x^3+4x^2)\,dx\) 수립 +4점 / 부정적분 대입 계산으로 둘러싸인 넓이 \(S=\dfrac{16}{15}\) 산출 +5점 |
최종 정답 요약: (3-1) 극댓값 $1$, 극솟값 $0$ / (3-2) $t \ge 4$ / (3-3) $S = \dfrac{16}{15}$
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 탐구 5054 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]
[제시문 (가)] 다항함수 $f(x)$에 대하여 $\lim_{x \to a} \dfrac{1}{x - a}\int_a^x f(t)\,dt = f(a)$이다.
[제시문 (나)] 다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $x f(x) = 2x^3 - 3x^2 + \int_1^x f(t)\,dt$를 만족시킨다.
[문항 4-1] (8점) $f(1)$의 값을 구하고, 주어진 등식의 양변을 미분하여 다항함수 $f(x)$를 구하시오.
[문항 4-2] (8점) 극한 $\lim_{h \to 0} \dfrac{1}{h}\int_{1-h}^{1+2h} f(t)\,dt$의 값을 구하시오.
[문항 4-3] (9점) 닫힌구간 $[0, 3]$에서 함수 $F(x) = \int_0^x f(t)\,dt$의 최댓값과 최솟값을 각각 구하시오.
[4-1 풀이 (8점)] $x = 1$을 대입하면 $f(1) = 2 - 3 + 0 = -1$이다. 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $f(x) + x f'(x) = 6x^2 - 6x + f(x)$에서 $x f'(x) = 6x^2 - 6x \implies f'(x) = 6x - 6$이다. 적분하고 $f(1) = -1$을 대입하면 $f(x) = 3x^2 - 6x + 2$이다.
[4-2 풀이 (8점)] $F'(t) = f(t)$라 하면 주어진 극한은 $\lim_{h \to 0} \dfrac{F(1 + 2h) - F(1 - h)}{h} = 3F'(1) = 3f(1) = -3$이다.
[4-3 풀이 (9점)] $F(x) = \int_0^x (3t^2 - 6t + 2)\,dt = x^3 - 3x^2 + 2x = x(x - 1)(x - 2)$이다. $F'(x) = 3x^2 - 6x + 2 = 0$에서 $x = 1 \pm \dfrac{\sqrt{3}}{3}$이다. 구간 $[0, 3]$에서 경계값 $F(0) = 0, \; F(3) = 6$과 극값 $F(1 - \sqrt{3}/3) = \dfrac{2\sqrt{3}}{9}$, $F(1 + \sqrt{3}/3) = -\dfrac{2\sqrt{3}}{9}$를 비교하면 최댓값은 $6$, 최솟값은 $-\dfrac{2\sqrt{3}}{9}$이다.
| 평가 소문항 | 건국대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준 |
|---|
| 소문항 [4-1] | • \(x=1\) 대입으로 \(f(1)=-1\) 도출 +3점 / 양변 미분으로 \(xf'(x)=6x^2-6x\) 유도 및 적분하여 \(f(x)=3x^2-6x+2\) 산출 +5점 |
| 소문항 [4-2] | • 미분계수 정의 변형으로 주어진 극한을 \(3F'(1)=3f(1)\)로 표현 +4점 / 앞서 구한 \(f(1)=-1\) 대입하여 극한값 \(-3\) 산출 +4점 |
| 소문항 [4-3] | • 원함수 \(F(x)=x^3-3x^2+2x\) 유도 및 극점 \(x=1\pm \dfrac{\sqrt{3}}{3}\) 파악 +4점 / 구간 \([0, 3]\) 경계값과 비교하여 최댓값 \(6\), 최솟값 \(-\dfrac{2\sqrt{3}}{9}\) 도출 +5점 |
최종 정답 요약: (4-1) $f(1) = -1, \; f(x) = 3x^2 - 6x + 2$ / (4-2) $-3$ / (4-3) 최댓값 $6$, 최솟값 $-\dfrac{2\sqrt{3}}{9}$