2027학년도 건국대학교 수리논술 모의고사 4회 (모범답안 및 채점 기준표)

[대문항 1] 거듭제곱근의 실근 개수와 로그 격자점 (25점)

배점 25점 · 모범답안
[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.2 탐구 5041 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]
[제시문 (가)] 자연수 $n \ge 2$과 실수 $a$에 대하여 방정식 $x^n = a$의 실근은 $n$의 홀짝성과 $a$의 부호에 따라 결정된다.
[제시문 (나)] 자연수 $n$ ($2 \le n \le 10$)에 대하여 함수 $f(n) = n^2 - 9n + 18$의 $n$제곱근 중 실수인 것의 개수를 $g(n)$이라 하자.
[문항 1-1] (8점) 방정식 $f(n) = 0$의 해를 구하고, $2 \le n \le 10$에서 $f(n)$의 부호를 조사하시오.
[문항 1-2] (8점) 합 $\sum_{n=2}^{10} g(n)$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
[문항 1-3] (9점) 곡선 $y = \log_2(x + 2)$와 직선 $y = -x + 10$ 및 $x$축으로 둘러싸인 영역(경계 포함)에 속하는 정수 좌표 점 $(p, q)$의 개수를 구하시오.
[1-1 풀이 (8점)] $f(n) = (n - 3)(n - 6)$이므로 $n = 3, 6$일 때 $f(n) = 0$이고, $n = 4, 5$일 때 $f(n) < 0$, $n = 2, 7, 8, 9, 10$일 때 $f(n) > 0$이다.
[1-2 풀이 (8점)] $n$이 홀수($3, 5, 7, 9$)이면 $f(n)$의 부호와 관계없이 $g(n) = 1$이다. $n$이 짝수일 때 $n = 2, 8, 10$에서는 $f(n) > 0$이므로 $g(n) = 2$, $n = 4$에서는 $f(4) < 0$이므로 $g(4) = 0$, $n = 6$에서는 $f(6) = 0$이므로 $g(6) = 1$이다. 따라서 합은 $4 \times 1 + 3 \times 2 + 0 + 1 = 11$이다.
[1-3 풀이 (9점)] $q$의 가능한 정수값을 기준으로 분류한다. 교점은 $\log_2(x + 2) = -x + 10$에서 $x = 6, y = 4$이다. $q = 0$일 때 $-1 \le p \le 10$ ($12$개), $q = 1$일 때 $0 \le p \le 9$ ($10$개), $q = 2$일 때 $2 \le p \le 8$ ($7$개), $q = 3$일 때 $6 \le p \le 7$ ($2$개), $q = 4$일 때 $p = 6$ ($1$개)이므로 총 $12 + 10 + 7 + 2 + 1 = 32$개이다.
평가 소문항건국대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]• 이차함수 \(f(n)=-(n-3)(n-6)\) 부호 조사(\(n=3,6\)일 때 0, \(4,5\) 음수, 나머지 양수) +4점 / 부호에 따른 그래프 특징 서술 +4점
소문항 [1-2]• 홀수 거듭제곱근의 개수 \(g(n)=1\) 명시 +4점 / 짝수 거듭제곱근 부호 판정 후 \(\sum_{n=2}^{10} g(n)=11\) 산출 +4점
소문항 [1-3]• 교점 방정식 \(\log_2(x+2)=-x+10\)에서 교점 \((6, 4)\) 도출 +4점 / \(y=q\) 기준 정수점 격자 카운팅을 통한 순서쌍 총 개수 \(32\)개(\(12+10+7+2+1=32\)) 완성 +5점
최종 정답 요약: (1-1) $n=3,6$에서 $0$, $n=4,5$에서 음수, 그 외 양수 / (1-2) $11$ / (1-3) $32$개
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2027학년도 건국대학교 수리논술 모의고사 4회 (모범답안 및 채점 기준표)

[대문항 2] 포물선 법선 삼각형의 내접원과 극한 (25점)

배점 25점 · 모범답안
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.3 탐구 5042 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]
[제시문 (가)] $\lim_{t \to 0^+} \dfrac{\sqrt{1 + at} - 1}{t} = \dfrac{a}{2}$가 성립한다.
[제시문 (나)] 좌표평면에서 포물선 $y = x^2$ 위의 제$1$사분면의 점 $P(t, t^2)$ ($t > 0$)을 지나고 직선 $OP$에 수직인 직선이 $y$축과 만나는 점을 $Q(0, y_Q)$라 하자.
[문항 2-1] (8점) 점 $Q$의 $y$좌표 $y_Q$를 $t$에 대한 식으로 나타내고, 극한 $\lim_{t \to 0^+} y_Q$의 값을 구하시오.
[문항 2-2] (8점) 삼각형 $OPQ$의 넓이를 $S(t)$, 둘레의 길이를 $L(t)$라 할 때, 극한 $\lim_{t \to 0^+} \dfrac{S(t)}{t}$와 $\lim_{t \to 0^+} L(t)$의 값을 각각 구하시오.
[문항 2-3] (9점) 삼각형 $OPQ$에 내접하는 원의 반지름의 길이를 $r(t)$라 할 때, 극한 $\lim_{t \to 0^+} \dfrac{r(t)}{t}$의 값을 구하시오.
[2-1 풀이 (8점)] 직선 $OP$의 기울기는 $t$이므로 수직인 직선 $PQ$의 방정식은 $y - t^2 = -\dfrac{1}{t}(x - t)$이다. $x = 0$을 대입하면 $y_Q = t^2 + 1$이고, $\lim_{t \to 0^+} y_Q = 1$이다.
[2-2 풀이 (8점)] 삼각형 $OPQ$의 밑변을 $\overline{OQ} = t^2 + 1$, 높이를 $t$로 보면 $S(t) = \dfrac{1}{2}t(t^2 + 1)$이므로 $\lim_{t \to 0^+} \dfrac{S(t)}{t} = \dfrac{1}{2}$이다. 또한 $t \to 0^+$일 때 $P \to (0, 0), \; Q \to (0, 1)$이므로 $\lim_{t \to 0^+} L(t) = 0 + 1 + 1 = 2$이다.
[2-3 풀이 (9점)] $S(t) = \dfrac{1}{2}r(t)L(t)$이므로 $\dfrac{r(t)}{t} = \dfrac{2S(t)}{t \cdot L(t)}$이다. 따라서 $\lim_{t \to 0^+} \dfrac{r(t)}{t} = \dfrac{2 \cdot (1/2)}{2} = \dfrac{1}{2}$이다.
평가 소문항건국대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]• 법선 \(PQ\)의 방정식 \(y-t^2=-\dfrac{1}{t}(x-t)\) 수립 +4점 / \(y\)절편 \(y_Q=t^2+1\) 및 \(\overline{OQ}=t^2+1\) 산출 +4점
소문항 [2-2]• 삼각형 넓이 \(S(t)=\dfrac{1}{2}t(t^2+1)\) 유도 +4점 / 극한값 \(\lim_{t \to 0^+} \dfrac{S(t)}{t} = \dfrac{1}{2}\) 산출 +4점
소문항 [2-3]• 내접원 넓이 공식 \(S(t)=\dfrac{1}{2}r(t)L(t)\) 변형 \(\dfrac{r(t)}{t}=\dfrac{2S(t)}{t\cdot L(t)}\) 수립 +4점 / 둘레 \(L(t)\to 2\) 계산 및 극한값 \(\lim_{t \to 0^+} \dfrac{r(t)}{t} = \dfrac{1}{2}\) 도출 +5점
최종 정답 요약: (2-1) $y_Q = t^2 + 1$, 극한값 $1$ / (2-2) $\dfrac{1}{2}, \; 2$ / (2-3) $\dfrac{1}{2}$
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[대문항 3] 곡선 밖의 점에서 그은 접선의 개수 추론 (25점)

배점 25점 · 모범답안
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 탐구 5043 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]
[제시문 (가)] 곡선 밖의 점 $(a, b)$에서 곡선 $y = f(x)$에 그은 접선의 개수는 접점의 $x$좌표 $t$에 대한 방정식 $b - f(t) = f'(t)(a - t)$의 서로 다른 실근의 개수와 일치한다.
[제시문 (나)] 삼차함수 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$와 점 $A(1, k)$를 생각한다.
[문항 3-1] (8점) 접점의 $x$좌표를 $t$라 할 때, 점 $A(1, k)$에서 곡선 $y = f(x)$에 그은 접선의 방정식으로부터 $k$를 $t$에 대한 삼차식 $h(t)$로 나타내시오.
[문항 3-2] (8점) 함수 $h(t)$의 극댓값과 극솟값을 구하고, 점 $A(1, k)$에서 곡선 $y = f(x)$에 서로 다른 세 개의 접선을 그을 수 있도록 하는 실수 $k$의 범위를 구하시오.
[문항 3-3] (9점) $k = 0$일 때 점 $A(1, 0)$에서 곡선 $y = f(x)$에 그을 수 있는 모든 접선의 방정식을 구하시오.
[3-1 풀이 (8점)] 접선의 방정식 $y - (t^3 - 3t^2 + 2) = (3t^2 - 6t)(x - t)$에 점 $A(1, k)$를 대입하여 정리하면 $k = h(t) = -2t^3 + 6t^2 - 6t + 2$이다.
[3-2 풀이 (8점)] $h'(t) = -6t^2 + 12t - 6 = -6(t - 1)^2 \le 0$이므로 $h(t) = -2(t - 1)^3$은 실수 전체의 집합에서 극값을 갖지 않고 단조감소한다. 따라서 임의의 실수 $k$에 대하여 방정식 $h(t) = k$의 실근은 오직 $1$개뿐이므로, 서로 다른 세 개의 접선을 그을 수 있는 실수 $k$는 존재하지 않는다.
[3-3 풀이 (9점)] $k = 0$일 때 점 $A(1, 0)$은 곡선 $y = f(x)$의 변곡점이며, $-2(t - 1)^3 = 0$에서 유일한 접점은 $t = 1$이다. 이때 기울기는 $f'(1) = -3$이므로 유일한 접선의 방정식은 $y = -3x + 3$이다.
평가 소문항건국대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]• 접점 \((t, t^3-3t^2+2)\)에서 접선 수립 후 점 \(A(1, k)\) 대입 +4점 / 방정식 \(k=h(t)=-2t^3+6t^2-6t+2\) 유도 +4점
소문항 [3-2]• 도함수 \(h'(t)=-6(t-1)^2 \le 0\)의 단조감소성 판정 +4점 / 임의의 실수 \(k\)에 대해 실근 오직 1개임을 보여 세 접선 불가 증명 +4점
소문항 [3-3]• 변곡점 \((1, 0)\) 및 유일한 접점 \(t=1\) 도출 +4점 / 기울기 \(f'(1)=-3\)으로부터 접선의 방정식 \(y=-3x+3\) 산출 +5점
최종 정답 요약: (3-1) $h(t) = -2(t - 1)^3$ / (3-2) 존재하지 않음 / (3-3) $y = -3x + 3$
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[대문항 4] 두 이차곡선으로 둘러싸인 넓이와 세제곱근 (25점)

배점 25점 · 모범답안
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 탐구 5044 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]
[제시문 (가)] 이차함수 $y = a(x - \alpha)(x - \beta)$ ($a \ne 0, \; \alpha < \beta$)의 그래프와 $x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이는 $\dfrac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^3$이다.
[제시문 (나)] 좌표평면에서 곡선 $C_1 : y = -x^2 + 6x$와 곡선 $C_2 : y = x^2 - 2ax$ (단, $0 < a < 3$)을 생각한다.
[문항 4-1] (8점) 곡선 $C_1$과 $x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하시오.
[문항 4-2] (8점) 두 곡선 $C_1$과 $C_2$로 둘러싸인 도형의 넓이 $T(a)$를 $a$에 대한 식으로 나타내시오.
[문항 4-3] (9점) 두 곡선 $C_1$과 $C_2$로 둘러싸인 도형의 넓이 $T(a)$가 $36$이 될 때, $(3 + a)^3$의 값과 양수 $a$의 값을 구하시오.
[4-1 풀이 (8점)] $-x^2 + 6x = -x(x - 6) = 0$이므로 $S = \dfrac{1}{6}(6 - 0)^3 = 36$이다.
[4-2 풀이 (8점)] 두 곡선의 교점 방정식은 $-x^2 + 6x = x^2 - 2ax \iff 2x\{x - (3 + a)\} = 0$이므로 교점의 $x$좌표는 $0, \; 3 + a$이다. 따라서 $T(a) = \dfrac{2}{6}(3 + a)^3 = \dfrac{1}{3}(3 + a)^3$이다.
[4-3 풀이 (9점)] $T(a) = \dfrac{1}{3}(3 + a)^3 = 36$에서 $(3 + a)^3 = 108$이다. 양변의 세제곱근을 취하면 $3 + a = 3\sqrt[3]{4}$이므로 $a = 3\sqrt[3]{4} - 3$이다.
평가 소문항건국대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]• 곡선과 \(x\)축의 교점 \(x=0, 6\) 도출 +4점 / 정적분으로 넓이 \(S=\dfrac{1}{6}(6-0)^3=36\) 산출 +4점
소문항 [4-2]• 두 곡선의 교점 방정식 \(2x(x-(3+a))=0\)에서 교점 \(0, 3+a\) 유도 +4점 / 둘러싸인 넓이 \(T(a)=\dfrac{1}{3}(3+a)^3\) 산출 +4점
소문항 [4-3]• 방정식 \(\dfrac{1}{3}(3+a)^3=36 \iff (3+a)^3=108\) 수립 +4점 / 세제곱근 정리로 상수 \(a=3\sqrt[3]{4}-3\) 도출 +5점
최종 정답 요약: (4-1) $S = 36$ / (4-2) $T(a) = \dfrac{1}{3}(3 + a)^3$ / (4-3) $(3 + a)^3 = 108, \; a = 3\sqrt[3]{4} - 3$
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