[출처: 교과서 본문 대수 Ⅱ-1. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.3 탐구 5031 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]
[제시문 (가)] 닫힌구간 $[0, 2\pi]$에서 함수 $y = \sin x$의 그래프는 직선 $x = \dfrac{\pi}{2}$와 점 $(\pi, 0)$에 대하여 대칭이다.
[제시문 (나)] $0 \le x \le 2\pi$에서 정의된 함수 $f(x) = 2\sin^2 x - 4a\cos x + 1$ (단, $a$는 실수)을 생각한다.
[문항 1-1] (8점) $t = \cos x$ ($-1 \le t \le 1$)로 치환하여 $f(x)$를 $t$에 대한 이차함수 $g(t)$로 나타내고, $a = 1$일 때 $f(x)$의 최댓값과 최솟값을 구하시오.
[문항 1-2] (8점) $a = \dfrac{1}{4}$일 때 방정식 $f(x) = 2$를 만족시키는 모든 실근 $x \in [0, 2\pi]$를 구하고 그 합을 구하시오.
[문항 1-3] (9점) $0 \le x \le 2\pi$에서 함수 $f(x)$의 최댓값이 $7$이 되도록 하는 모든 실수 $a$의 값을 구하시오.
[1-1 풀이 (8점)] $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - t^2$을 대입하면 $g(t) = -2t^2 - 4at + 3$ ($-1 \le t \le 1$)이다. $a = 1$일 때 $g(t) = -2(t + 1)^2 + 5$이므로 $t = -1$에서 최댓값 $5$, $t = 1$에서 최솟값 $-3$을 갖는다.
[1-2 풀이 (8점)] $a = \dfrac{1}{4}$일 때 $g(t) = -2t^2 - t + 3 = 2 \iff 2t^2 + t - 1 = (2t - 1)(t + 1) = 0$이므로 $\cos x = \dfrac{1}{2}$ 또는 $\cos x = -1$이다. 따라서 구간 $[0, 2\pi]$에서의 실근은 $x = \dfrac{\pi}{3}, \; \pi, \; \dfrac{5\pi}{3}$이고 모든 실근의 합은 $3\pi$이다.
[1-3 풀이 (9점)] $g(t) = -2(t + a)^2 + 2a^2 + 3$의 대칭축 $t = -a$의 위치에 따라 구간 $[-1, 1]$를 세 경우($-a < -1$, $-1 \le -a \le 1$, $-a > 1$)로 나누어 최댓값이 $7$인 $a$를 구하면 $|a| > 1$에서 $g(-1) = 1 + 4a = 7 \implies a = \dfrac{3}{2}$ 또는 $g(1) = 1 - 4a = 7 \implies a = -\dfrac{3}{2}$이다.
| 평가 소문항 | 건국대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준 |
|---|
| 소문항 [1-1] | • \(t=\cos x\) 치환으로 \(g(t)=-2t^2-4at+3\) (\(-1\le t\le 1\)) 도출 +4점 / \(a=1\)일 때 최댓값 \(5\), 최솟값 \(-3\) 산출 +4점 |
| 소문항 [1-2] | • 방정식 \((2t-1)(t+1)=0\)에서 \(\cos x=1/2, -1\) 도출 +4점 / 구간 \([0, 2\pi]\)의 세 실근 \(\dfrac{\pi}{3}, \pi, \dfrac{5\pi}{3}\) 및 합 \(3\pi\) 산출 +4점 |
| 소문항 [1-3] | • 대칭축 \(t=-a\) 위치에 따른 구간 \([-1, 1]\) 최대 조건 분류 +4점 / 경계값 조건으로부터 \(a=\pm\dfrac{3}{2}\) 도출 +5점 |
최종 정답 요약: (1-1) 최댓값 $5$, 최솟값 $-3$ / (1-2) $x = \dfrac{\pi}{3}, \pi, \dfrac{5\pi}{3}$, 합 $3\pi$ / (1-3) $a = \pm\dfrac{3}{2}$
[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-1. 등차수열과 등비수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 탐구 5032 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-03]
[제시문 (가)] 첫째항이 $a$, 공비가 $r$ ($r \ne 1$)인 등비수열의 첫째항부터 제$n$항까지의 합은 $\dfrac{a(r^n - 1)}{r - 1}$이다.
[제시문 (나)] 좌표평면 위의 점 $P_n(x_n, y_n)$에 대하여 $x_n$은 첫째항이 $2$, 공차가 $3$인 등차수열이고, $y_n$은 첫째항이 $3$, 공비가 $2$인 등비수열이다.
[문항 2-1] (8점) 일반항 $x_n$과 $y_n$을 구하고, 원점 $O$에 대하여 삼각형 $OP_n P_{n+1}$의 넓이 $A_n$을 $n$에 대한 식으로 나타내시오.
[문항 2-2] (8점) 수열 $\{A_n\}$에 대하여 $\sum_{k=1}^{6} A_k$의 값을 구하시오.
[문항 2-3] (9점) 부등식 $y_n > 10 x_n$을 만족시키는 자연수 $n$의 최솟값을 구하고, 수학적 귀납법으로 $n \ge 8$인 모든 자연수에서 성립함을 설명하시오.
[2-1 풀이 (8점)] $x_n = 3n - 1$, $y_n = 3 \cdot 2^{n-1}$이다. 신발끈 공식에 의하여 $A_n = \dfrac{1}{2}|x_n y_{n+1} - x_{n+1} y_n| = \dfrac{1}{2}|(3n - 1) \cdot 3 \cdot 2^n - (3n + 2) \cdot 3 \cdot 2^{n-1}| = \dfrac{3}{2} \cdot 2^{n-1} |6n - 2 - 3n - 2| = \dfrac{3}{2}|3n - 4|2^{n-1}$이다.
[2-2 풀이 (8점)] $n = 1$일 때 $A_1 = \dfrac{3}{2}$이고, $n \ge 2$일 때 $A_n = \dfrac{3}{2}(3n - 4)2^{n-1}$이다. $k = 1$부터 $6$까지 직접 합산하거나 $(등차)\times(등비)$ 합 공식을 적용하면 $\sum_{k=1}^{6} A_k = \dfrac{3}{2}(1 + 2 \cdot 2 + 5 \cdot 4 + 8 \cdot 8 + 11 \cdot 16 + 14 \cdot 32) = 1069.5 = \dfrac{2139}{2}$이다.
[2-3 풀이 (9점)] $n = 7$일 때 $y_7 = 192 < 200 = 10x_7$이고, $n = 8$일 때 $y_8 = 384 > 230 = 10x_8$이므로 최솟값은 $n = 8$이다. $n = k$ ($k \ge 8$)일 때 $3 \cdot 2^{k-1} > 30k - 10$이라 가정하면 $y_{k+1} = 2y_k > 60k - 20 > 30k + 20 = 10x_{k+1}$이므로 모든 $n \ge 8$에서 성립한다.
| 평가 소문항 | 건국대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준 |
|---|
| 소문항 [2-1] | • 일반항 \(x_n=3n-1, y_n=3\cdot 2^{n-1}\) 도출 +4점 / 삼각형 넓이 \(A_n=\dfrac{3}{2}|3n-4|2^{n-1}\) 유도 +4점 |
| 소문항 [2-2] | • \(A_1=\dfrac{3}{2}\) 및 \(n\ge 2\)에서의 부호 분리 전개 +4점 / 합 \(\sum_{k=1}^6 A_k = \dfrac{2139}{2}\) 정확히 산출 +4점 |
| 소문항 [2-3] | • \(y_7 < 10x_7, y_8 > 10x_8\) 비교로 최솟값 \(n=8\) 도출 +4점 / 수학적 귀납법으로 \(n\ge 8\)에서 부등식 성립 증명 완성 +5점 |
최종 정답 요약: (2-1) $A_n = \dfrac{3}{2}|3n - 4|2^{n-1}$ / (2-2) $\dfrac{2139}{2}$ / (2-3) 최솟값 $n = 8$
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.2 탐구 5033 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-03]
[제시문 (가)] 함수 $f(x)$의 $x = a$에서의 미분계수는 $f'(a) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}$로 정의된다.
[제시문 (나)] 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$가 모든 실수 $x, y$에 대하여 $f(x + y) = f(x) + f(y) + 3xy(x + y) - 2$를 만족시키고 $f'(0) = 4$이다.
[문항 3-1] (8점) $f(0)$의 값을 구하고, 도함수의 정의를 이용하여 도함수 $f'(x)$를 구하시오.
[문항 3-2] (8점) 함수 $f(x)$의 식을 구하고, 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(1, f(1))$에서의 접선의 방정식을 구하시오.
[문항 3-3] (9점) 곡선 $y = f(x)$와 문항 3-2에서 구한 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하시오.
[3-1 풀이 (8점)] $x = y = 0$을 대입하면 $f(0) = 2f(0) - 2 \implies f(0) = 2$이다. $f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(h) - 2 + 3xh(x + h)}{h} = f'(0) + 3x^2 = 3x^2 + 4$이다.
[3-2 풀이 (8점)] $f'(x) = 3x^2 + 4$를 적분하고 $f(0) = 2$를 대입하면 $f(x) = x^3 + 4x + 2$이다. 점 $(1, 7)$에서의 접선의 기울기는 $f'(1) = 7$이므로 접선의 방정식은 $y = 7x$이다.
[3-3 풀이 (9점)] $x^3 + 4x + 2 = 7x \iff (x - 1)^2(x + 2) = 0$에서 교점의 $x$좌표는 $-2, \; 1$ (접점)이다. 따라서 둘러싸인 넓이는 $S = \int_{-2}^1 (-x^3 + 3x - 2)\,dx$의 절댓값인 $\dfrac{1}{12}(1 - (-2))^4 = \dfrac{27}{4}$이다.
| 평가 소문항 | 건국대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준 |
|---|
| 소문항 [3-1] | • \(x=y=0\) 대입으로 \(f(0)=2\) 산출 +3점 / 미분계수 정의 극한 계산으로 \(f'(x)=3x^2+4\) 유도 +5점 |
| 소문항 [3-2] | • 적분으로 \(f(x)=x^3+4x+2\) 도출 +4점 / 점 \((1, 7)\)에서의 접선의 방정식 \(y=7x\) 산출 +4점 |
| 소문항 [3-3] | • 연립방정식 \((x-1)^2(x+2)=0\)에서 교점 \(x=-2, 1\) 도출 +4점 / 정적분으로 둘러싸인 넓이 \(S=\dfrac{27}{4}\) 산출 +5점 |
최종 정답 요약: (3-1) $f(0) = 2, \; f'(x) = 3x^2 + 4$ / (3-2) $f(x) = x^3 + 4x + 2, \; y = 7x$ / (3-3) $S = \dfrac{27}{4}$
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 탐구 5034 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]
[제시문 (가)] 수직선 위를 움직이는 점 $P$의 시각 $t$에서의 속도가 $v(t)$이고 시각 $t = 0$에서의 위치가 $x_0$일 때, 시각 $t$에서의 위치는 $x(t) = x_0 + \int_0^t v(s)\,ds$이고, 시각 $t = a$에서 $t = b$까지 움직인 거리는 $\int_a^b |v(t)|\,dt$이다.
[제시문 (나)] 원점을 동시에 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 $P, Q$의 시각 $t$ ($t \ge 0$)에서의 속도가 각각 $v_P(t) = 3t^2 - 12t + 9$, $v_Q(t) = 6t - 9$이다.
[문항 4-1] (8점) 점 $P$가 출발 후 운동 방향을 바꾸는 시각을 모두 구하고, 시각 $t = 0$에서 $t = 4$까지 점 $P$가 실제로 움직인 거리를 구하시오.
[문항 4-2] (8점) 출발 후 두 점 $P, Q$가 다시 만나는 시각 $t > 0$을 모두 구하시오.
[문항 4-3] (9점) 시각 $t = 0$에서 두 점 $P, Q$가 처음으로 다시 만나는 시각까지 두 점 사이의 거리 $|x_P(t) - x_Q(t)|$의 최댓값을 구하시오.
[4-1 풀이 (8점)] $v_P(t) = 3(t - 1)(t - 3) = 0$이므로 운동 방향을 바꾸는 시각은 $t = 1, \; 3$이다. 움직인 거리는 $\int_0^1 v_P(t)\,dt - \int_1^3 v_P(t)\,dt + \int_3^4 v_P(t)\,dt = 4 + 4 + 4 = 12$이다.
[4-2 풀이 (8점)] $x_P(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$이고 $x_Q(t) = 3t^2 - 9t$이다. $x_P(t) = x_Q(t) \iff t(t^2 - 9t + 18) = t(t - 3)(t - 6) = 0$이므로 출발 후 다시 만나는 시각은 $t = 3, \; 6$이다.
[4-3 풀이 (9점)] $D(t) = x_P(t) - x_Q(t) = t^3 - 9t^2 + 18t$ ($0 \le t \le 3$)라 하면 $D'(t) = 3(t^2 - 6t + 6) = 0$에서 $t = 3 - \sqrt{3} \in (0, 3)$일 때 극대이자 최대이다. 대입하면 최댓값은 $D(3 - \sqrt{3}) = 6\sqrt{3}$이다.
| 평가 소문항 | 건국대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준 |
|---|
| 소문항 [4-1] | • 속도 \(v_P(t)=3(t-1)(t-3)=0\)에서 방향 전환 시각 \(t=1, 3\) 도출 +4점 / 구간별 적분으로 총 이동 거리 \(4+4+4=12\) 산출 +4점 |
| 소문항 [4-2] | • 위치 함수 \(x_P(t)=t^3-6t^2+9t\), \(x_Q(t)=3t^2-9t\) 유도 +4점 / 위치 일치 방정식 \(t(t-3)(t-6)=0\)에서 다시 만나는 시각 \(t=3, 6\) 도출 +4점 |
| 소문항 [4-3] | • 거리 차 함수 \(D(t)=t^3-9t^2+18t\) 도함수 \(D'(t)=3(t^2-6t+6)=0\) 도출 +4점 / 극대 시각 \(t=3-\sqrt{3}\) 판정 및 최댓값 \(D(3-\sqrt{3})=6\sqrt{3}\) 산출 +5점 |
최종 정답 요약: (4-1) $t = 1, 3$, 거리 $12$ / (4-2) $t = 3, 6$ / (4-3) $6\sqrt{3}$