[출처: 교과서 본문 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.5 탐구 5021 변형 | 성취기준: 12대수01-04, 12대수01-05]
[제시문 (가)] 양수 $a, b, c$ ($a \ne 1, \; b \ne 1$)에 대하여 밑변환 공식 $\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}$가 성립한다.
[제시문 (나)] 실수 $x$에 대한 지수부등식 $9^x - 12 \cdot 3^x + 27 \le 0$의 해집합을 $D$라 하고, $x \in D$에서 정의된 함수 $h(x) = (\log_3 x)^2 - a\log_3 x + b$를 생각한다.
[문항 1-1] (8점) 집합 $D$를 구하고, $x \in D$일 때 $t = \log_3 x$의 값의 범위를 구하시오.
[문항 1-2] (8점) $a = 2, \; b = 5$일 때, $x \in D$에서 함수 $h(x)$의 최댓값과 최솟값을 각각 구하시오.
[문항 1-3] (9점) $a > 0$일 때, 구간 $x \in D$에서 함수 $h(x)$의 최솟값이 $-1$이고 최댓값이 $3$이 되도록 하는 상수 $a, b$의 순서쌍 $(a, b)$를 모두 구하시오.
[1-1 풀이 (8점)] $u = 3^x$로 놓으면 $u^2 - 12u + 27 = (u - 3)(u - 9) \le 0$에서 $3 \le 3^x \le 9$이므로 $D = \{x \mid 1 \le x \le 2\}$이다. 따라서 $t = \log_3 x$의 범위는 $0 \le t \le \log_3 2$이다.
[1-2 풀이 (8점)] $a = 2, \; b = 5$일 때 $q(t) = t^2 - 2t + 5 = (t - 1)^2 + 4$이다. 구간 $[0, \log_3 2]$에서 $\log_3 2 < 1$이므로 $q(t)$는 단조감소하여 $t = 0$일 때 최댓값 $5$, $t = \log_3 2$일 때 최솟값 $(\log_3 2 - 1)^2 + 4$를 갖는다.
[1-3 풀이 (9점)] 구간 $t \in [0, \log_3 2]$의 길이가 $\log_3 2 < 1$이므로, 만약 대칭축 $t = a/2$가 구간 내부에 있으면 최대·최소의 차가 $(\log_3 2)^2 < 1$이 되어 $3 - (-1) = 4$를 만족할 수 없다. 따라서 $a/2 > \log_3 2$이어야 하고 구간 $[0, \log_3 2]$에서 $q(t) = t^2 - at + b$는 순감소한다. 그러므로 최댓값 $q(0) = b = 3$이고 최솟값 $q(\log_3 2) = (\log_3 2)^2 - a\log_3 2 + 3 = -1$에서 $a = \log_3 2 + 4\log_2 3, \; b = 3$이다.
| 평가 소문항 | 건국대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준 |
|---|
| 소문항 [1-1] | • 치환 \(u=3^x\)에 의한 이차부등식 풀이로 \(D=\{x \mid 1 \le x \le 2\}\) 도출 +4점 / \(t=\log_3 x\)의 치역 \(0 \le t \le \log_3 2\) 유도 +4점 |
| 소문항 [1-2] | • 이차함수 \(q(t)=(t-1)^2+4\) 변형 및 단조감소 구간 확인 +4점 / 최댓값 \(q(0)=5\), 최솟값 \(q(\log_3 2)=(\log_3 2)^2-2\log_3 2+5\) 산출 +4점 |
| 소문항 [1-3] | • 대칭축 \(t=a/2 > \log_3 2\)에 의한 구간 내 순감소성 논증 +4점 / \(q(0)=b=3\) 및 \(q(\log_3 2)=-1\)에서 \(a=\log_3 2+4\log_2 3, b=3\) 도출 +5점 |
최종 정답 요약: (1-1) $D = [1, 2], \; 0 \le t \le \log_3 2$ / (1-2) 최댓값 $5$, 최솟값 $(\log_3 2 - 1)^2 + 4$ / (1-3) $a = \log_3 2 + 4\log_2 3, \; b = 3$