[1-1 풀이 (8점)] $f(x) = 2^{x-1}$은 증가함수이므로 역함수 $g(x) = \log_2 x + 1$과의 교점은 직선 $y = x$ 위에 놓인다. 방정식 $2^{x-1} = x$에서 $x = 1, \; 2$이므로 두 교점은 $A(1, 1), \; B(2, 2)$이고 두 점 사이의 거리는 $\overline{AB} = \sqrt{(2-1)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{2}$이다.

[1-2 풀이 (8점)] $y = f(x)$와 $y = g(x)$는 역함수 관계이고 직선 $y = -x + k$도 직선 $y = x$에 대하여 대칭이므로 두 교점 $P(x_1, y_1), Q(x_2, y_2)$는 직선 $y = x$에 대하여 대칭이다. 따라서 $x_2 = y_1, \; y_2 = x_1$이고 $x_1 + y_1 = k$이므로 선분 $PQ$의 중점 $M$의 좌표는 $\left(\dfrac{k}{2}, \dfrac{k}{2}\right)$이다.

[1-3 풀이 (9점)] $\overline{PQ} = \sqrt{2}(x_2 - x_1) = 4\sqrt{2}$에서 $x_2 - x_1 = 4$이고, 대칭성에 의해 $x_2 = y_1 = 2^{x_1 - 1}$이므로 $2^{x_1 - 1} - x_1 = 4$이다. $k > 4$에서 $x_1 > 2$이고 $2^{x-1} - x$는 $x > 2$에서 순증가하므로 유일한 실근 $x_1 = 4$를 얻는다. 따라서 $P(4, 8), Q(8, 4)$이고 $k = x_1 + y_1 = 12$이며, 원점과 직선 $x + y - 12 = 0$ 사이의 거리 $h = \dfrac{12}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{2}$로부터 삼각형 $OPQ$의 넓이는 $S = \dfrac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot 6\sqrt{2} = 24$이다.

[2-1 풀이 (8점)] 삼각형 $ABC$에서 코사인법칙에 의하여 $\overline{AC}^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cos\dfrac{\pi}{3} = 25 + 49 - 35 = 39$이므로 $\overline{AC} = \sqrt{39}$이다. 사인법칙에 의하여 $2R = \dfrac{\sqrt{39}}{\sin(\pi/3)} = \dfrac{\sqrt{39}}{\sqrt{3}/2} = 2\sqrt{13}$이므로 $R = \sqrt{13}$이다.

[2-2 풀이 (8점)] 사각형 $ABCD$가 원에 내접하므로 $\angle D = \pi - \angle B = \dfrac{2\pi}{3}$이다. $\overline{DA} = x$ ($x > 0$)라 하면 삼각형 $ACD$에서 $39 = x^2 + 3^2 - 2 \cdot 3x \cos\dfrac{2\pi}{3} = x^2 + 3x + 9$이므로 $x^2 + 3x - 30 = 0$에서 $\overline{DA} = \dfrac{-3 + \sqrt{129}}{2}$이다.

[2-3 풀이 (9점)] 삼각형 $ABC$의 넓이는 $S_1 = \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 7 \sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{35\sqrt{3}}{4}$이고, 삼각형 $ACD$의 넓이는 $S_2 = \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot \overline{DA} \sin\dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{3\sqrt{3}}{4}\overline{DA}$이므로 전체 넓이는 $S = \dfrac{\sqrt{3}}{4}(35 + 3\overline{DA}) = \dfrac{\sqrt{3}(61 + 3\sqrt{129})}{8}$이다.

[3-1 풀이 (8점)] 도함수 $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x - 1)(x - 3) = 0$이므로 $x = 1$에서 극댓값 $f(1) = 6$, $x = 3$에서 극솟값 $f(3) = 2$를 갖는다. 두 극점의 중점인 대칭중심 $I$의 좌표는 $(2, 4)$이다.

[3-2 풀이 (8점)] $f(0) = 2, \; f(3) = 2$이므로 구간 $[0, 3]$에서의 평균변화율은 $\dfrac{2 - 2}{3 - 0} = 0$이다. $f'(c) = 3(c - 1)(c - 3) = 0$에서 구간 $(0, 3)$에 속하는 상수는 $c = 1$이다.

[3-3 풀이 (9점)] 방정식 $x^3 - 6x^2 + 9x + 2 = mx + 2 \iff x(x^2 - 6x + 9 - m) = 0$이 서로 다른 세 실근을 가지려면 이차방정식 $x^2 - 6x + 9 - m = 0$이 $0$이 아닌 서로 다른 두 실근을 가져야 한다. 판별식 $D/4 = 9 - (9 - m) = m > 0$이고 $x = 0$을 대입했을 때 $9 - m \ne 0 \implies m \ne 9$이므로 구하는 범위는 $0 < m < 9$ 또는 $m > 9$이다.

[4-1 풀이 (8점)] $G(x) = x\int_0^x f(t)\,dt - \int_0^x tf(t)\,dt$의 양변을 미분하면 $G'(x) = \int_0^x (t^2 - 4t + 3)\,dt = \dfrac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x = \dfrac{1}{3}x(x - 3)^2$이고, 한 번 더 미분하면 $G''(x) = f(x) = x^2 - 4x + 3$이다. 따라서 $G'(x) = 0$의 해는 $x = 0, \; 3$이다.

[4-2 풀이 (8점)] $G'(x) = \dfrac{1}{3}x(x - 3)^2$은 $x = 0$의 좌우에서 부호가 음에서 양으로 바뀌고 $x = 3$의 좌우에서는 양에서 양으로 유지된다. 따라서 $G(x)$는 극댓값을 갖지 않으며, $x = 0$에서 유일한 극솟값 $G(0) = 0$을 갖는다.

[4-3 풀이 (9점)] $f(x) = (x - 2)^2 - 1$이므로 꼭짓점은 $(2, -1)$이고 꼭짓점에서의 접선은 $y = -1$이다. 따라서 구간 $[0, 2]$에서 곡선 $y = f(x)$와 접선 $y = -1$ 및 $y$축으로 둘러싸인 넓이는 $S = \int_0^2 \{(x^2 - 4x + 3) - (-1)\}\,dx = \int_0^2 (x - 2)^2\,dx = \dfrac{8}{3}$이다.