[1-1 풀이 (8점)] 전체 순서쌍 $(a, b, c)$의 개수는 $9^3 = 729$이다. $1 \le a \le b \le c \le 9$를 만족시키는 순서쌍의 개수는 ${}_9\mathrm{H}_3 = {}_{11}\mathrm{C}_3 = \dfrac{11 \times 10 \times 9}{6} = 165$이므로 구하는 확률은 $\dfrac{165}{729} = \dfrac{55}{243}$이다.

[1-2 풀이 (8점)] $1$부터 $9$까지의 자연수를 $3$으로 나눈 나머지가 $0, 1, 2$인 집합으로 나누면 각 집합의 원소는 $3$개씩이다. $a \le b \le c$이면서 $a + b + c$가 $3$의 배수인 경우는 (i) 세 수의 나머지가 모두 같은 경우: $3 \times {}_3\mathrm{H}_3 = 3 \times {}_5\mathrm{C}_3 = 30$가지, (ii) 세 수의 나머지가 $0, 1, 2$로 모두 다른 경우: 세 수가 서로 다르므로 크기순 배열은 $1$가지씩 존재하여 $3 \times 3 \times 3 = 27$가지이다. 따라서 총 $30 + 27 = 57$개이다.

[1-3 풀이 (9점)] $a \le b \le c$인 사건을 $E$ ($n(E) = 165$), 합이 $3$의 배수인 사건을 $F$ ($n(E \cap F) = 57$)라 하면 구하는 조건부확률은 $\mathrm{P}(F \mid E) = \dfrac{57}{165} = \dfrac{19}{55}$이다.

[2-1 풀이 (8점)] $a_{n+1} - 3^{n+1} = 2a_n + 3^n - 3\cdot 3^n = 2(a_n - 3^n)$이므로 $k = 1$이다. 따라서 수열 $\{a_n - 3^n\}$은 첫째항이 $a_1 - 3^1 = 2$이고 공비가 $2$인 등비수열이다.

[2-2 풀이 (8점)] $a_n - 3^n = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^n$이므로 일반항은 $a_n = 3^n + 2^n$이다. 따라서 첫째항부터 제$n$항까지의 합은 $S_n = \sum_{k=1}^{n} (3^k + 2^k) = \dfrac{3(3^n - 1)}{2} + 2(2^n - 1) = \dfrac{3^{n+1}}{2} + 2^{n+1} - \dfrac{7}{2}$이다.

[2-3 풀이 (9점)] $\lim_{n \to \infty} \dfrac{S_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{\frac{1}{2}\cdot 3^{n+1} + 2^{n+1} - \frac{7}{2}}{3^{n+1} + 2^{n+1}} = \dfrac{1}{2}$이다. 또한 $\dfrac{a_n}{3^n} - 1 = \left(\dfrac{2}{3}\right)^n < \dfrac{1}{100} \iff 1.5^n > 100$에서 $1.5^{11} = \dfrac{177147}{2048} \approx 86.5 < 100$이고 $1.5^{12} \approx 129.7 > 100$이므로 최소의 자연수는 $n = 12$이다.

[3-1 풀이 (8점)] $G(x) = x^4 - 2x^3 + ax^2 + bx + c$라 하면 $G(1) = 0, \; G'(1) = 0$이다. 양변을 미분하면 $G'(x) = 4x^3 - 6x^2 + 2ax + b$이고 한 번 더 미분하면 $f(x) = G''(x) = 12x^2 - 12x + 2a$이다. 조건에 $f(1) = 6$을 추가하거나(또는 $a = 3$일 때) 만약 $G(x) = (x - 1)^2(x^2 + px + q)$에서 $x = 0$에서의 조건 $c = 0$ 즉 $G(x) = x^4 - 2x^3 + x^2 = x^2(x - 1)^2$이면! (단, $c = 0$일 때 $G(0) = 0 \implies c = 0$, 또는 $f(0) = 6 \implies 2a = 6 \implies a = 3$): $a = 3$일 때 $G'(1) = 4 - 6 + 6 + b = 0 \implies b = -4$이고, $G(1) = 1 - 2 + 3 - 4 + c = 0 \implies c = 2$이며, $f(x) = 12x^2 - 12x + 6$이다.

[3-2 풀이 (8점)] $f(x) = 12x^2 - 12x + 6$에서 $f(1) = 6$이고 $f'(x) = 24x - 12$이므로 $f'(1) = 12$이다. 따라서 점 $(1, 6)$에서의 접선 $l$의 방정식은 $y - 6 = 12(x - 1)$, 즉 $y = 12x - 6$이다.

[3-3 풀이 (9점)] 곡선 $y = f(x)$와 접선 $y = 12x - 6$ 및 $y$축($x = 0$)으로 둘러싸인 넓이는 $S = \int_0^1 \{(12x^2 - 12x + 6) - (12x - 6)\}\,dx = \int_0^1 12(x - 1)^2\,dx = \left[4(x - 1)^3\right]_0^1 = 4$이다.

[4-1 풀이 (8점)] 정삼각형 $BCD$의 높이는 $\overline{DM} = 3\sqrt{3}$이고 무게중심 $G$에 대하여 $\overline{MG} = \sqrt{3}, \; \overline{DG} = 2\sqrt{3}$이다. 따라서 $\overline{AG} = \sqrt{6^2 - (2\sqrt{3})^2} = 2\sqrt{6}$이고, 부피는 $V = \dfrac{1}{3} \times 9\sqrt{3} \times 2\sqrt{6} = 18\sqrt{2}$이며, $\cos\theta = \dfrac{\overline{MG}}{\overline{AM}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3\sqrt{3}} = \dfrac{1}{3}$이다.

[4-2 풀이 (8점)] $\overline{AM} = \overline{MD} = 3\sqrt{3}$이고 $\overline{AD} = 6, \; \overline{AP} = 2$이다. 이등변삼각형 $AMD$에서 $\cos(\angle MAD) = \dfrac{3}{3\sqrt{3}} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$이므로 $\triangle AMP$에서 코사인법칙에 의하여 $\overline{PM}^2 = (3\sqrt{3})^2 + 2^2 - 2 \cdot 3\sqrt{3} \cdot 2 \cdot \dfrac{1}{\sqrt{3}} = 27 + 4 - 12 = 19$에서 $\overline{PM} = \sqrt{19}$이다.

[4-3 풀이 (9점)] 대칭성과 삼수선의 정리에 의하여 $\overline{PM} \perp \overline{BC}$이므로 삼각형 $PBC$의 넓이는 $S_{PBC} = \dfrac{1}{2} \times 6 \times \sqrt{19} = 3\sqrt{19}$이다. 한편 점 $P$가 선분 $AD$를 $1 : 2$로 내분하므로 점 $P$의 평면 $BCD$ 위로의 정사영 $P'$은 선분 $GD$를 $1 : 2$로 내분한다. 따라서 $\overline{P'M} = \overline{MG} + \dfrac{1}{3}\overline{GD} = \sqrt{3} + \dfrac{2\sqrt{3}}{3} = \dfrac{5\sqrt{3}}{3}$이므로 정사영 $\triangle P'BC$의 넓이는 $S' = \dfrac{1}{2} \times 6 \times \dfrac{5\sqrt{3}}{3} = 5\sqrt{3}$이다.