[출처: 한국교육과정평가원 확률과 통계 Ⅰ-2. 중복조합과 이항정리 (DB: KICE_2028) PDF p.10 탐구 5101 변형 | 성취기준: 12확통01-02, 12확통02-02]
[제시문 (가)] 서로 다른 $n$개에서 중복을 허락하여 $r$개를 택하는 중복조합의 수는 ${}_n\mathrm{H}_r = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_r$이며, $1 \le x_1 \le x_2 \le \cdots \le x_r \le n$을 만족시키는 자연수 순서쌍 $(x_1, x_2, \dots, x_r)$의 개수와 같다.
[제시문 (나)] $1$부터 $9$까지의 자연수가 하나씩 적힌 $9$개의 공이 들어 있는 주머니에서 임의로 공을 $1$개 꺼내어 적힌 수를 확인하고 다시 넣는 시행을 $3$번 반복하여 차례로 얻은 세 수를 $a, b, c$라 하자.
[문항 1-1] (8점) 세 수 $a, b, c$가 $a \le b \le c$를 만족시킬 확률을 기약분수로 구하시오.
[문항 1-2] (8점) 세 수의 합 $a + b + c$가 $3$의 배수이고 동시에 $a \le b \le c$를 만족시키는 순서쌍 $(a, b, c)$의 개수를 구하시오.
[문항 1-3] (9점) 세 수 $a, b, c$가 $a \le b \le c$를 만족시켰을 때, $a + b + c$가 $3$의 배수일 조건부확률을 기약분수로 구하시오.
[건국대 KU논술우수자 답안 작성 유의사항] 2022 개정 교육과정 교과서 정리와 정의에 근거하여 논리적 전개 과정, 핵심 수식 계산, 최종 결론을 각 소문항 답안란에 구분하여 기술하시오.
[소문항 1-1 논술 답안 작성란]배점 8점 · 풀이 과정 및 근거 명시
[소문항 1-2 논술 답안 작성란]배점 8점 · 풀이 과정 및 근거 명시
[소문항 1-3 논술 답안 작성란]배점 9점 · 풀이 과정 및 근거 명시
[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-2. 수열의 합과 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.7 탐구 5102 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]
[제시문 (가)] 첫째항이 $b_1$이고 공비가 $r$ ($r \ne 1$)인 등비수열 $\{b_n\}$의 일반항은 $b_n = b_1 r^{n-1}$이다.
[제시문 (나)] 수열 $\{a_n\}$이 $a_1 = 5$이고, 모든 자연수 $n$에 대하여 점화식 $a_{n+1} = 2a_n + 3^n$을 만족시킨다.
[문항 2-1] (8점) 주어진 점화식의 양변을 $3^{n+1}$으로 나누거나 $a_{n+1} - k\cdot 3^{n+1} = 2(a_n - k\cdot 3^n)$을 만족시키는 상수 $k$를 구하여 수열 $\{a_n - 3^n\}$이 등비수열임을 보이시오.
[문항 2-2] (8점) 수열 $\{a_n\}$의 일반항 $a_n$과 첫째항부터 제$n$항까지의 합 $S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$를 구하시오.
[문항 2-3] (9점) 극한 $\lim_{n \to \infty} \dfrac{S_n}{a_{n+1}}$의 값을 구하고, $\dfrac{a_n}{3^n} - 1 < \dfrac{1}{100}$을 만족시키는 최소의 자연수 $n$을 구하시오.
[건국대 KU논술우수자 답안 작성 유의사항] 2022 개정 교육과정 교과서 정리와 정의에 근거하여 논리적 전개 과정, 핵심 수식 계산, 최종 결론을 각 소문항 답안란에 구분하여 기술하시오.
[소문항 2-1 논술 답안 작성란]배점 8점 · 풀이 과정 및 근거 명시
[소문항 2-2 논술 답안 작성란]배점 8점 · 풀이 과정 및 근거 명시
[소문항 2-3 논술 답안 작성란]배점 9점 · 풀이 과정 및 근거 명시
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.4 탐구 5103 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]
[제시문 (가)] 연속함수 $f(t)$에 대하여 함수 $G(x) = \int_1^x (x - t)f(t)\,dt$의 도함수는 $G'(x) = \int_1^x f(t)\,dt$이고 이계도함수는 $G''(x) = f(x)$이다.
[제시문 (나)] 다항함수 $f(x)$가 $f(0) = 6$이고 모든 실수 $x$에 대하여 $\int_1^x (x - t)f(t)\,dt = x^4 - 2x^3 + ax^2 + bx + c$를 만족시킨다.
[문항 3-1] (8점) 주어진 항등식에 $x = 1$을 대입하고 양변을 미분하여 상수 $a, b, c$의 값과 다항함수 $f(x)$를 모두 구하시오.
[문항 3-2] (8점) 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(1, f(1))$에서의 접선 $l$의 방정식을 구하시오.
[문항 3-3] (9점) 곡선 $y = f(x)$와 문항 3-2의 접선 $l$ 및 $y$축으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$를 구하시오.
[건국대 KU논술우수자 답안 작성 유의사항] 2022 개정 교육과정 교과서 정리와 정의에 근거하여 논리적 전개 과정, 핵심 수식 계산, 최종 결론을 각 소문항 답안란에 구분하여 기술하시오.
[소문항 3-1 논술 답안 작성란]배점 8점 · 풀이 과정 및 근거 명시
[소문항 3-2 논술 답안 작성란]배점 8점 · 풀이 과정 및 근거 명시
[소문항 3-3 논술 답안 작성란]배점 9점 · 풀이 과정 및 근거 명시
[출처: 비상교육 기하 Ⅲ-1. 공간도형 (DB: GEOM_Ch03_비상) PDF p.5 탐구 5104 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]
[제시문 (가)] 평면 $\alpha$ 밖의 점 $P$에서 평면 $\alpha$에 내린 수선의 발을 $H$, 점 $H$에서 평면 $\alpha$ 위의 직선 $l$에 내린 수선의 발을 $M$이라 하면 삼수선의 정리에 의하여 $\overline{PM} \perp l$이다.
[제시문 (나)] 한 모서리의 길이가 $6$인 정사면체 $ABCD$에서 모서리 $BC$의 중점을 $M$, 모서리 $AD$를 $1 : 2$로 내분하는 점을 $P$라 하자.
[문항 4-1] (8점) 꼭짓점 $A$에서 밑면 $BCD$에 내린 수선의 발을 $G$라 할 때, 선분 $AG$의 길이(정사면체의 높이)와 정사면체 $ABCD$의 부피 $V$, 그리고 두 면 $ABC$와 $BCD$가 이루는 이면각 $\theta$의 코사인값 $\cos\theta$를 구하시오.
[문항 4-2] (8점) 삼각형 $AMD$에서 선분 $AM, MD$의 길이를 구하고, 코사인법칙을 이용하여 선분 $PM$의 길이를 구하시오.
[문항 4-3] (9점) 삼각형 $PBC$의 넓이를 구하고, 삼각형 $PBC$의 평면 $BCD$ 위로의 정사영의 넓이 $S'$를 구하시오.
[건국대 KU논술우수자 답안 작성 유의사항] 2022 개정 교육과정 교과서 정리와 정의에 근거하여 논리적 전개 과정, 핵심 수식 계산, 최종 결론을 각 소문항 답안란에 구분하여 기술하시오.
[소문항 4-1 논술 답안 작성란]배점 8점 · 풀이 과정 및 근거 명시
[소문항 4-2 논술 답안 작성란]배점 8점 · 풀이 과정 및 근거 명시
[소문항 4-3 논술 답안 작성란]배점 9점 · 풀이 과정 및 근거 명시