2027학년도 대비 경북대학교 자연계열 AAT 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회)

2027학년도 대비 경북대학교 자연계열 AAT 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제7회 (해설집) 100분 / 100점 만점 · 논술70%+교과30% · 수능최저 2합5~6

[대문항 1] 유리수 지수의 거듭제곱 대칭식과 인수분해 항등식 추론 (20점)

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: (DB: CAL1_Ch03_미래엔) PDF p.20 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-03]

<제시문 (가)> 양수 \(x\)에 대하여 \(u = x^{1/2}\;\left(u + u^{-1} = \sqrt{174}\right)\)로 치환하면 지수법칙에 의하여 \(x + x^{-1} = u^2 + u^{-2} = 172\)이다.
<제시문 (나)> \(u + u^{-1} = \sqrt{174}\)일 때 세제곱 곱셈 공식 \(u^3 + u^{-3} = (u + u^{-1})^3 - 3(u + u^{-1}) = 171\sqrt{174}\)이 성립한다.

양수 \(x\)가 \(x^{1/2} + x^{-1/2} = \sqrt{174}\)을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)의 제곱 공식을 이용하여 \(x + x^{-1} = 172\)임을 보이고 \(x^2 + x^{-2} = 29582\)의 값을 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 세제곱 공식을 이용하여 \(x^{3/2} + x^{-3/2} = 171\sqrt{174}\)과 \(x^3 + x^{-3} = 5087932\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 완전제곱 항등식을 이용하여 분수식 \(\dfrac{x^3 + x^{-3} + 2}{x^{3/2} + x^{-3/2}} = \dfrac{5087934}{171\sqrt{174}}\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [1-1] \(x + x^{-1} = 172,\; x^2 + x^{-2} = 29582\) | [1-2] \(x^{3/2} + x^{-3/2} = 171\sqrt{174},\; x^3 + x^{-3} = 5087932\) | [1-3] \(171\sqrt{174}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 제곱 공식에서 \(x + x^{-1} = (\sqrt{174})^2 - 2 = 172\)이고, 다시 제곱하면 \(x^2 + x^{-2} = 172^2 - 2 = 29582\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 세제곱 공식에서 \(x^{3/2} + x^{-3/2} = (\sqrt{174})^3 - 3\sqrt{174} = 171\sqrt{174}\)이고, \(x^3 + x^{-3} = 172^3 - 3\times 172 = 5087932\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 분자 \(x^3 + x^{-3} + 2 = 5087934 = (171\sqrt{174})^2\)이므로 분모 \(171\sqrt{174}\)로 약분하면 \(171\sqrt{174}\)이다.

평가 소문항	경북대학교 자연계열 AAT 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• \(x + x^{-1} = 172\) 유도 +3점 / \(x^2 + x^{-2} = 29582\) 산출 +3점
소문항 [1-2]	• \(x^{3/2} + x^{-3/2} = 171\sqrt{174}\) 도출 +3점 / \(x^3 + x^{-3} = 5087932\) 계산 +4점
소문항 [1-3]	• 분자 \(5087934\) 완전제곱 변형 +4점 / 약분 결과 \(171\sqrt{174}\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 분자 \(5087934 = (171\sqrt{174})^2\)임을 활용하면 큰 수의 유리화 없이 한 번의 약분으로 정확한 값을 얻을 수 있습니다.

[대문항 2] 코사인법칙과 사인법칙을 이용한 외접원·내접원 반지름의 비 추론 (20점)

대수 Ⅱ. 삼각함수 (사인법칙과 코사인법칙) | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 대수 Ⅱ. 삼각함수 · 기출 변형 | 성취기준: 12대수02-07, 12대수02-08]

<제시문 (가)> 삼각형 ABC에서 코사인법칙 \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\;\left(b=489,\; c=815\right)\)와 사인법칙 \(\dfrac{a}{\sin A} = 2R\;\left(a=1141\right)\)이 성립한다.
<제시문 (나)> 삼각형 ABC의 넓이 \(S\)와 둘레의 길이 \(a + b + c = 2445\), 내접원의 반지름 \(r\) 사이에는 \(S = \dfrac{2445}{2}r\)가 성립한다.

삼각형 ABC에서 두 변의 길이가 \(b = 489,\; c = 815\)이고 끼인각이 \(A = \dfrac{2\pi}{3}\;\left(\cos A = -\dfrac{1}{2},\; b=489\right)\)일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)의 코사인법칙을 이용하여 대변 \(a = 1141\)의 길이를 유도하시오.

[문항 2-2] (7점) 사인법칙을 이용하여 외접원의 반지름 \(R = \dfrac{1141\sqrt{3}}{3}\)과 삼각형의 넓이 \(S = \dfrac{398535\sqrt{3}}{4}\)를 각각 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 내접원의 반지름 \(r = \dfrac{163\sqrt{3}}{2}\)를 구하고 반지름의 곱 \(R\cdot r\)을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [2-1] \(a = 1141\) | [2-2] \(R = \dfrac{1141\sqrt{3}}{3},\; S = \dfrac{398535\sqrt{3}}{4}\) | [2-3] \(r = \dfrac{163\sqrt{3}}{2},\; R\cdot r = \dfrac{185983}{2}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 코사인법칙에서 \(a^2 = 489^2 + 815^2 - 2(489)(815)(-1/2) = 49\times 163^2\)이므로 \(a = 1141\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 사인법칙에서 \(2R = \dfrac{1141}{\sqrt{3}/2} \implies R = \dfrac{1141\sqrt{3}}{3}\)이고, 넓이는 \(S = \dfrac{1}{2}\times 489\times 815\times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{398535\sqrt{3}}{4}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 둘레가 \(a + b + c = 2445\)이므로 \(\dfrac{2445}{2}r = \dfrac{398535\sqrt{3}}{4} \implies r = \dfrac{163\sqrt{3}}{2}\)이고 \(R\cdot r = \dfrac{185983}{2}\)이다.

평가 소문항	경북대학교 자연계열 AAT 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]	• 코사인법칙 대입 \(a^2 = 49\times 163^2\) +3점 / \(a = 1141\) 도출 +3점
소문항 [2-2]	• 외접원 반지름 \(R = \dfrac{1141\sqrt{3}}{3}\) 산출 +3점 / 넓이 \(S = \dfrac{398535\sqrt{3}}{4}\) 계산 +4점
소문항 [2-3]	• 내접원 반지름 \(r = \dfrac{163\sqrt{3}}{2}\) 유도 +4점 / 곱 \(R\cdot r = \dfrac{185983}{2}\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 끼인각이 \(120^\circ\)이고 두 변의 비가 \(3 : 5\)인 둔각삼각형은 대변의 비가 항상 \(7\)이 되는 대표적인 정수비 삼각형(\(3\times 163 : 5\times 163 : 7\times 163\))입니다.

[대문항 3] 무한대 극한과 영인자 약분 극한을 동시에 만족시키는 삼차함수의 유일성 (20점)

미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

<제시문 (가)> 다항함수가 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 4x^3}{x^2} = -1663\)을 만족시키면 최고차항 계수가 \(4\)인 삼차함수이다.
<제시문 (나)> \(\lim_{x \to 166} \dfrac{f(x)}{(x - 166)^2} = 329\)이 수렴하면 인수정리에 의해 \(f(x) = (x - 166)^2(4x + r)\) 꼴로 인수분해된다.

삼차다항함수가 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 4x^3}{x^2} = -1663\)과 \(\lim_{x \to 166} \dfrac{f(x)}{(x - 166)^2} = 329\)을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가), (나)를 이용하여 \(f(x) = (x - 166)^2(4x + r)\)로 놓고 상수 \(r = -335\)을 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 구한 함수 \(f(x) = (x - 166)^2(4x + -335)\)이 무한대 극한 조건 \(-1663\)을 만족시킴을 전개하여 검증하시오.

[문항 3-3] (7점) 함숫값 \(f(168) = 1348\)의 값과 \(x = 166\)에서의 미분계수 \(f'(166) = 0\)의 값을 각각 구하시오.

🎯 모범 정답 : [3-1] \(r = -335\) | [3-2] 이차항 계수 \(-1663\) 일치 검증 완료 | [3-3] \(f(168) = 1348,\; f'(166) = 0\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 제시문 (나)의 극한식에 대입하면 \(\lim_{x \to 166} (4x + r) = 664 + r = 329\)이므로 \(r = -335\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 전개하면 \(f(x) = (x^2 - 332x + 27556)(4x + -335) = 4x^3 + (-1663)x^2 + \cdots\)이므로 이차항 계수 \(-1663\)이 정확히 성립한다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(x = 168\)를 대입하면 \(f(168) = 4(672 + -335) = 1348\)이고, \((x - 166)^2\)을 인수로 가지므로 \(f'(166) = 0\)이다.

평가 소문항	경북대학교 자연계열 AAT 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]	• 인수분해 꼴 설정 +3점 / 극한 대입으로 \(r = -335\) 도출 +3점
소문항 [3-2]	• 삼차식 전개 후 이차항 계수 \(-1663\) 확인 +7점
소문항 [3-3]	• \(f(168) = 1348\) 산출 +4점 / 중근 성질로 \(f'(166) = 0\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 분모에 \((x - 166)^2\)이 있을 때 극한이 수렴하려면 분자는 \(x = 166\)을 반드시 중근 이상으로 가져야 합니다.

[대문항 4] 절댓값 인수를 포함한 다항 곱함수의 실수 전체 미분가능 조건 증명 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02]

<제시문 (가)> 이차함수 \(P(x) = x^2 - 331x + 27388\)에 대하여 함수 \(h(x) = |x - 167|P(x)\)가 \(x = 167\)에서 미분가능하기 위한 필요충분조건은 좌·우미분계수가 일치하여 \(P(167) = 0\)인 것이다.
<제시문 (나)> \(P(x) = (x - 167)(x - 164)\)일 때 구간 \(x \lt 167\)에서 \(h(x) = -(x - 167)^2(x - 164)\)로 표현된다.

이차함수 \(P(x) = x^2 - 331x + 27388\)에 대하여 함수 \(h(x) = |x - 167|P(x)\)가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) \(x = 167\)에서의 우미분계수 \(P(167)\)와 좌미분계수 \(-P(167)\)를 미분계수 정의로 구하고 \(P(167) = 0\)임을 확인하시오.

[문항 4-2] (7점) 구간 \(x \lt 167\)에서 도함수 \(h'(x) = -3(x - 167)(x - 165)\)을 유도하시오.

[문항 4-3] (7점) \(x \ne 167\)에서 도함수가 영이 되는 \(x = 165\)의 값과 그때의 함숫값 \(h(165) = -4\;(\text{기준점 } 167)\)를 구하시오.

🎯 모범 정답 : [4-1] \(P(167) = -P(167) = 0\) 확인 | [4-2] \(h'(x) = -3(x - 167)(x - 165)\) | [4-3] \(x = 165,\; h(165) = -4\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 미분계수 정의에서 \(\lim_{x \to 167\pm} \dfrac{|x - 167|P(x)}{x - 167} = \pm P(167)\)이고 실제로 \(P(167) = (167 - 167)(167 - 164) = 0\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 구간 \(x \lt 167\)에서 \(h(x) = -(x - 167)^2(x - 164)\)를 미분하면 \(h'(x) = -(x - 167)(3x - 495) = -3(x - 167)(x - 165)\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 따라서 \(x \ne 167\)에서 극점은 \(x = 165\)이고, 대입하면 \(h(165) = -(165 - 167)^2(165 - 164) = -4\)이다.

평가 소문항	경북대학교 자연계열 AAT 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]	• 좌·우미분계수 \(\pm P(167)\) 정의식 서술 +4점 / \(P(167) = 0\) 확인 +2점
소문항 [4-2]	• \(x \lt 167\) 부호 분리 및 곱의 미분법 적용 +4점 / \(h'(x) = -3(x - 167)(x - 165)\) 유도 +3점
소문항 [4-3]	• 극점 \(x = 165\) 도출 +3점 / 함숫값 \(h(165) = -4\;(\text{극점 } 165)\) 산출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: 첨점 후보 \(x = 167\)에서 절댓값 함수가 미분가능하려면 곱해진 다항식이 \(x - 167\)을 인수로 가져야 함을 먼저 서술하세요.

[대문항 5] 상수 구간 정적분을 포함한 프레드홀름 항등식의 치환 해법 (20점)

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]

<제시문 (가)> 상수 구간 정적분 \(A = \int_0^1 f(t)\,dt\;\left(c = 506\right)\)는 적분변수와 무관한 상수이므로, 등식 \(f(x) = 3x^2 - 4Ax + 506\)을 양변 \([0, 1]\)에서 다시 적분하면 \(A = 169\)에 대한 일차방정식을 얻는다.
<제시문 (나)> 대칭 구간 \([-1, 1]\)에서 기함수의 정적분은 소거되고 우함수의 정적분은 \(2\int_0^1 (3x^2 + 506)\,dx = 1014\)이다.

연속함수가 모든 실수에 대하여 등식 \(f(x) = 3x^2 - 4x\int_0^1 f(t)\,dt + 506\)을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 정적분을 상수 \(A\)로 치환하고 \(A = \int_0^1 (3t^2 - 4At + 506)\,dt\)를 풀어 상수 \(A = 169\)과 함수 \(f(x)\)를 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 함수 \(f(x) = 3x^2 - 676x + 506\)이 극솟값을 갖는 좌표 \(x = \dfrac{338}{3}\)와 함숫값 \(f(1) = -167\)을 각각 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 제시문 (나)의 우·기함수 대칭성을 이용하여 \(\int_{-1}^{1} (3x^2 - 676x + 506)\,dx = 1014\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] \(A = 169,\; f(x) = 3x^2 - 676x + 506\) | [5-2] \(x = \dfrac{338}{3},\; f(1) = -167\) | [5-3] \(1014\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 정적분 정의식에 대입하면 \(A = \left[t^3 - 2At^2 + 506t\right]_0^1 = 507 - 2A \implies 3A = 507\)이므로 \(A = 169\)이고 \(f(x) = 3x^2 - 676x + 506\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 도함수 \(f'(x) = 6x - 676 = 0\)에서 극소점은 \(x = \dfrac{338}{3}\)이고, \(f(1) = 3 - 676 + 506 = -167\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 기함수 항 \(-676x\)는 소거되므로 \(\int_{-1}^{1} (3x^2 - 676x + 506)\,dx = 2(1 + 506) = 1014\)이다.

평가 소문항	경북대학교 자연계열 AAT 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]	• \(A = 507 - 2A \implies A = 169\) 도출 +3점 / \(f(x) = 3x^2 - 676x + 506\) 완성 +3점
소문항 [5-2]	• 대칭축 \(x = \dfrac{338}{3}\) 산출 +4점 / \(f(1) = -167\) 계산 +3점
소문항 [5-3]	• 기함수 소거 및 우함수 2배 공식 적용 +4점 / 정적분 값 \(1014\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 적분 구간이 상수인 정적분은 함수가 아니라 상수 \(A = 169\)이므로 미분하지 않고 상수로 치환해야 합니다.

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