[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 탐구 1 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]
✅ 최종 정답 요약: [1-1] \(b_n = n,\; a_n = n\cdot 2^n\) | [1-2] \(S_n = (n - 1)2^{n+1} + 2\) 유도 완료 | [1-3] \(\dfrac{10}{11}\)
[1줄 공식선언 (30%)]: \(b_1 = \dfrac{a_1}{2^1} = 1\)이고 \(\dfrac{a_{n+1}}{2^{n+1}} = \dfrac{a_n}{2^n} + 1 \implies b_{n+1} - b_n = 1\)이다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: \(b_n = n\)이므로 \(a_n = n\cdot 2^n\)이다. 또한 \(S_n - 2S_n = -S_n = \sum_{k=1}^{n} 2^k - n\cdot 2^{n+1} = (2^{n+1} - 2) - n\cdot 2^{n+1} = -(n - 1)2^{n+1} - 2\)이므로 \(S_n = (n - 1)2^{n+1} + 2\)이다.
[3줄 최종결론 (30%)]: \(a_k = k\cdot 2^k\)를 대입하면 \(\dfrac{2^{2k+1}}{a_k a_{k+1}} = \dfrac{2^{2k+1}}{(k\cdot 2^k)\bigl((k+1)2^{k+1}\bigr)} = \dfrac{1}{k(k+1)} = \dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+1}\)이므로 \(\sum_{k=1}^{10} \left(\dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+1}\right) = 1 - \dfrac{1}{11} = \dfrac{10}{11}\)이다.
| 배점 단계 | 경북대학교 AAT 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
|---|
| [1-1] 6점 | • \(b_{n+1} - b_n = 1\) 및 \(b_n = n\) 도출 +3점 / \(a_n = n\cdot 2^n\) 산출 +3점 |
| [1-2] 7점 | • \(S_n - 2S_n\) 공비 차감법 적용 +4점 / \(S_n = (n - 1)2^{n+1} + 2\) 정리 +3점 |
| [1-3] 7점 | • \(\dfrac{1}{k(k+1)} = \dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+1}\) 부분분수 변형 +4점 / 망원합 \(\dfrac{10}{11}\) 산출 +3점 |
⚠️ 경북대학교 AAT 감점 방어 & 수리논술 클리닉: \(a_{n+1} = p a_n + q\cdot p^{n+1}\) 꼴의 점화식은 양변을 \(p^{n+1}\)로 나누면 즉시 공차가 \(q\)인 등차수열로 바뀝니다.
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.44 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]
✅ 최종 정답 요약: [2-1] \(r_1 = 2\), 넓이 \(4\pi\) | [2-2] \(r_2 = \dfrac{2}{3}\), 공비 \(\dfrac{r_{n+1}}{r_n} = \dfrac{1}{3}\) | [2-3] \(4\pi\)
[1줄 공식선언 (30%)]: \(\alpha = \dfrac{\pi}{6}\)이므로 \(\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2} = \dfrac{r_1}{6 - r_1}\)이다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: \(6 - r_1 = 2r_1 \implies r_1 = 2\)이고 원 \(C_1\)의 넓이는 \(4\pi\)이다. 또한 두 원의 중심 거리에 대하여 \(\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{r_1 - r_2}{r_1 + r_2} = \dfrac{1}{2} \implies 2r_1 - 2r_2 = r_1 + r_2 \implies r_2 = \dfrac{1}{3}r_1 = \dfrac{2}{3}\)이며, 모든 자연수 \(n\)에서 \(\dfrac{r_{n+1}}{r_n} = \dfrac{1 - \sin(\pi/6)}{1 + \sin(\pi/6)} = \dfrac{1}{3}\)이다.
[3줄 최종결론 (30%)]: \(t = \sin\left(x - \dfrac{\pi}{6}\right)\)로 놓으면 \((2t + 1)(t - 1) = 0 \implies t = 1\) 또는 \(t = -\dfrac{1}{2}\)이다. \(0 \le x \le 2\pi\)에서 \(x - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{2}\) (\(x = \dfrac{2\pi}{3}\))와 \(x - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6}\) (\(x = \dfrac{4\pi}{3}, 2\pi\)) 및 \(x - \dfrac{\pi}{6} = -\dfrac{\pi}{6}\) (\(x = 0\))을 얻으므로 모든 실근 \(0, \dfrac{2\pi}{3}, \dfrac{4\pi}{3}, 2\pi\)의 합은 \(4\pi\)이다.
| 배점 단계 | 경북대학교 AAT 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
|---|
| [2-1] 6점 | • \(\dfrac{r_1}{6 - r_1} = \dfrac{1}{2}\) 식 수립 +3점 / \(r_1 = 2\) 및 넓이 \(4\pi\) 산출 +3점 |
| [2-2] 7점 | • \(\dfrac{r_1 - r_2}{r_1 + r_2} = \sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}\) 유도 +4점 / \(r_2 = \dfrac{2}{3}\) 및 공비 \(\dfrac{1}{3}\) 산출 +3점 |
| [2-3] 7점 | • \(t = 1, -\dfrac{1}{2}\) 인수분해 +3점 / 구간 \([0, 2\pi]\)의 네 실근 \(0, \dfrac{2\pi}{3}, \dfrac{4\pi}{3}, 2\pi\) 및 합 \(4\pi\) 도출 +4점 |
⚠️ 경북대학교 AAT 감점 방어 & 수리논술 클리닉: 평행이동된 삼각방정식에서 구간의 양 끝점 \(x = 0\)과 \(x = 2\pi\)가 정확히 \(\sin\left(0 - \dfrac{\pi}{6}\right) = -\dfrac{1}{2}\)을 만족시키므로 끝점 근 누락에 주의해야 합니다.
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.48 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-03]
✅ 최종 정답 요약: [3-1] \(a = -2,\; b = 0\) | [3-2] \(R(x) = -3x + 2\) | [3-3] \(h'(2) = 45\)
[1줄 공식선언 (30%)]: 항등식 \(x^n(x^2 + ax + b) = (x - 2)^2 Q(x) + 2^{n+1}(x - 2)\)에 \(x = 2\)를 대입하고 미분하여 \(x = 2\)를 대입한다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: \(P_n(2) = 2^n(4 + 2a + b) = 0\)에서 \(2^n \ne 0\)이므로 \(4 + 2a + b = 0 \implies b = -2a - 4\)이다. 이를 대입하면 \(x^2 + ax + b = (x - 2)(x + a + 2)\)이므로 \(P_n(x) = x^n(x - 2)(x + a + 2)\)이다. 미분 후 \(x = 2\)를 대입하면 \(P_n'(2) = 2^n(2 + a + 2) = 2^{n+1} \implies a + 4 = 2 \implies a = -2,\; b = 0\)이다. 따라서 \(P_3(x) = x^4(x - 2) = x^5 - 2x^4\)이고, \(P_3(1) = -1,\; P_3'(1) = 5 - 8 = -3\)이므로 \((x - 1)^2\)으로 나눈 나머지는 \(R(x) = -3(x - 1) - 1 = -3x + 2\)이다.
[3줄 최종결론 (30%)]: 세 함수 곱의 미분법에 의해 \(h'(x) = 2x f(x)g(x) + (x^2 - 1)f'(x)g(x) + (x^2 - 1)f(x)g'(x)\)이므로 \(h'(2) = 4(3)(1) + 3(-1)(1) + 3(3)(4) = 12 - 3 + 36 = 45\)이다.
| 배점 단계 | 경북대학교 AAT 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
|---|
| [3-1] 6점 | • \(P_n(2) = 0 \implies 4 + 2a + b = 0\) 도출 +3점 / \(P_n'(2) = 2^{n+1}\)로부터 \(a = -2,\; b = 0\) 산출 +3점 |
| [3-2] 7점 | • \(P_3(x) = x^5 - 2x^4\) 및 \(P_3(1) = -1,\; P_3'(1) = -3\) 도출 +4점 / \(R(x) = -3x + 2\) 산출 +3점 |
| [3-3] 7점 | • 세 함수 곱의 미분법 전개 +4점 / \(h'(2) = 45\) 산출 +3점 |
⚠️ 경북대학교 AAT 감점 방어 & 수리논술 클리닉: 제시문 (가)에 의해 다항식 \(P(x)\)를 \((x - c)^2\)으로 나눈 나머지는 항상 점 \((c, P(c))\)에서의 접선의 방정식 \(R(x) = P'(c)(x - c) + P(c)\)와 일치합니다.
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.49 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-06, 12미적Ⅰ-02-07]
✅ 최종 정답 요약: [4-1] 극댓값 \(6\), 극솟값 \(2\), 대칭 중심 \((2, 4)\) | [4-2] \(k = 4\), 세 근 \(2 - \sqrt{3},\; 2,\; 2 + \sqrt{3}\) | [4-3] \(m > -3\), 세 교점 \(x\)좌표 합 \(6\)
[1줄 공식선언 (30%)]: \(f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x - 1)(x - 3) = 0\)에서 극점을 구한다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: 극댓값은 \(f(1) = 1 - 6 + 9 + 2 = 6\), 극솟값은 \(f(3) = 27 - 54 + 27 + 2 = 2\)이고, 대칭의 중심은 두 극점의 중점인 \((2, 4)\)이다. 세 실근이 등차수열을 이루려면 가운데 근이 \(\beta = 2\)이어야 하므로 \(k = f(2) = 4\)이고, \(f(x) - 4 = (x - 2)(x^2 - 4x + 1) = 0\)에서 세 근은 \(2 - \sqrt{3},\; 2,\; 2 + \sqrt{3}\)이다.
[3줄 최종결론 (30%)]: \(f(x) - \{m(x - 2) + 4\} = (x - 2)\bigl((x - 2)^2 - 3 - m\bigr) = 0\)이 서로 다른 세 실근을 가지려면 \((x - 2)^2 = m + 3 > 0 \iff m > -3\)이어야 한다. 또한 삼차방정식 \(x^3 - 6x^2 + (9 - m)x + (2m - 2) = 0\)의 근과 계수의 관계에 의해 세 실근의 합은 \(m\)에 관계없이 항상 \(6\)으로 일정하다.
| 배점 단계 | 경북대학교 AAT 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
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| [4-1] 6점 | • 극댓값 \(f(1)=6\), 극솟값 \(f(3)=2\) 도출 +3점 / 대칭 중심 \((2, 4)\) 산출 +3점 |
| [4-2] 7점 | • \(k = f(2) = 4\) 도출 +3점 / \((x-2)(x^2-4x+1)=0\) 인수분해로 세 근 산출 +4점 |
| [4-3] 7점 | • \((x-2)^2 = m+3 > 0 \implies m > -3\) 도출 +4점 / 근과 계수의 관계로 합 \(6\) 불변 증명 +3점 |
⚠️ 경북대학교 AAT 감점 방어 & 수리논술 클리닉: \(f(x)\)를 대칭 중심 \(x = 2\) 기준으로 \(f(x) = (x - 2)^3 - 3(x - 2) + 4\)로 테일러 전개하면 모든 대칭성과 교점 조건이 한 줄로 해결됩니다.
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.4 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]
✅ 최종 정답 요약: [5-1] 접선 \(l : y = 2x\), 교점 \(\mathrm{P}(3, 6)\) | [5-2] \(S = \dfrac{27}{4}\) | [5-3] \(A = \dfrac{1}{2},\; \dfrac{S}{A} = \dfrac{27}{2}\)
[1줄 공식선언 (30%)]: \(f'(x) = 3x^2 - 6x + 2\)에서 \(f'(0) = 2\)이므로 접선 \(l\)의 방정식은 \(y = 2x\)이다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: \(f(x) - 2x = x^3 - 3x^2 = x^2(x - 3) = 0\)이므로 다시 만나는 점은 \(\mathrm{P}(3, 6)\)이다. 둘러싸인 넓이는 \(S = \int_{0}^{3} (2x - f(x))\,dx = \int_{0}^{3} (3x^2 - x^3)\,dx = \Bigl[x^3 - \dfrac{1}{4}x^4\Bigr]_{0}^{3} = 27 - \dfrac{81}{4} = \dfrac{27}{4}\)이다(제시문 공식 \(\dfrac{1}{12}(3 - 0)^4 = \dfrac{27}{4}\)와 일치).
[3줄 최종결론 (30%)]: \(f(x) = x(x - 1)(x - 2)\)는 점 \((1, 0)\)에 대하여 점대칭이므로 \(x\)축과 둘러싸인 두 영역의 넓이의 합은 \(A = 2\int_{0}^{1} (x^3 - 3x^2 + 2x)\,dx = 2\Bigl[\dfrac{1}{4}x^4 - x^3 + x^2\Bigr]_{0}^{1} = 2 \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}\)이다. 따라서 \(\dfrac{S}{A} = \dfrac{27/4}{1/2} = \dfrac{27}{2}\)이다.
| 배점 단계 | 경북대학교 AAT 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
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| [5-1] 6점 | • 접선 \(y = 2x\) 도출 +3점 / \(x^2(x - 3) = 0\)으로 \(\mathrm{P}(3, 6)\) 산출 +3점 |
| [5-2] 7점 | • \(\int_{0}^{3} (3x^2 - x^3)\,dx\) 정적분 수행 +4점 / \(S = \dfrac{27}{4}\) 산출 +3점 |
| [5-3] 7점 | • \(x\)축 교점 \(0, 1, 2\) 및 대칭 적분으로 \(A = \dfrac{1}{2}\) 도출 +4점 / \(\dfrac{S}{A} = \dfrac{27}{2}\) 산출 +3점 |
⚠️ 경북대학교 AAT 감점 방어 & 수리논술 클리닉: 삼차함수 그래프 위의 한 점 \(x = \alpha\)에서의 접선이 곡선과 만나는 다른 교점 \(x = \beta\)는 변곡점 \(x = p\)에 대하여 항상 \(2\alpha + \beta = 3p\) (\(2\cdot 0 + 3 = 3\cdot 1\))를 만족시킵니다.