🎯 경북대학교 맞춤형 출제 트랙: Track A (AAT 수리논술 — 제시문 기반 다단계 소문항 논증형) | 대수 Ⅲ. 수열
[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 탐구 1 변형 | 성취기준: 12대수03-05, 12대수03-06]
[제시문 (가)] 수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_1 = 2\)이고 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = 2a_n + 2^{n+1}\)을 만족시킬 때, 양변을 \(2^{n+1}\)로 나누어 치환수열 \(b_n = \dfrac{a_n}{2^n}\)을 도입하면 \(b_{n+1} - b_n = 1\)인 등차수열로 귀결된다.
\(a_1 = 2\)이고 모든 자연수 \(n\)에 대하여 점화식 \(a_{n+1} = 2a_n + 2^{n+1}\)을 만족시키는 수열 \(\{a_n\}\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)의 치환 \(b_n = \dfrac{a_n}{2^n}\)을 이용하여 일반항 \(b_n\)과 \(a_n\)을 각각 \(n\)에 대한 식으로 구하시오.
[문항 1-2] (7점) 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합 \(S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k\)를 구하고, \(S_n = (n - 1)2^{n+1} + 2\)가 성립함을 보이시오.
[문항 1-3] (7점) 합 \(\sum_{k=1}^{10} \dfrac{2^{2k+1}}{a_k a_{k+1}}\)의 값을 부분분수 분해로 구하시오.
[경북대학교 AAT 수리논술 답안 작성란 — 제5회 문항 1 (20점)]
• 소문항 [문항 1-1](6점), [문항 1-2](7점), [문항 1-3](7점)의 풀이 과정과 논거를 명확히 구분하여 서술하시오.
🎯 경북대학교 맞춤형 출제 트랙: Track A (AAT 수리논술 — 제시문 기반 다단계 소문항 논증형) | 대수 Ⅱ. 삼각함수
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.44 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]
[제시문 (가)] 반지름이 \(R\)이고 중심각이 \(2\alpha\) (\(0 < \alpha < \dfrac{\pi}{2}\))인 부채꼴 \(\mathrm{OAB}\)에 내접하는 원의 중심을 \(\mathrm{C}\), 반지름을 \(r\)라 하면, \(\overline{\mathrm{OC}} = R - r\)이고 중심각의 이등분선 위에서 \(\sin\alpha = \dfrac{r}{R - r}\)가 성립한다.
반지름의 길이가 \(R = 6\)이고 중심각의 크기가 \(\dfrac{\pi}{3}\) (\(2\alpha = \dfrac{\pi}{3},\; \alpha = \dfrac{\pi}{6}\))인 부채꼴 \(\mathrm{OAB}\)와 그 내부에 내접하는 원 \(C_1\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 부채꼴 \(\mathrm{OAB}\)에 내접하는 원 \(C_1\)의 반지름 \(r_1\)과 넓이를 구하시오.
[문항 2-2] (7점) 원 \(C_1\)과 두 반지름 \(\mathrm{OA}, \mathrm{OB}\)에 동시에 접하고 중심이 \(\mathrm{O}\)에 더 가까운 작은 원 \(C_2\)의 반지름 \(r_2\)를 구하고, 같은 방식으로 한없이 내접원을 만들 때 반지름의 비 \(\dfrac{r_{n+1}}{r_n}\)을 구하시오.
[문항 2-3] (7점) 닫힌구간 \([0, 2\pi]\)에서 방정식 \(2\sin^2\left(x - \dfrac{\pi}{6}\right) - \sin\left(x - \dfrac{\pi}{6}\right) - 1 = 0\)의 모든 실근의 합을 구하시오.
[경북대학교 AAT 수리논술 답안 작성란 — 제5회 문항 2 (20점)]
• 소문항 [문항 2-1](6점), [문항 2-2](7점), [문항 2-3](7점)의 풀이 과정과 논거를 명확히 구분하여 서술하시오.
🎯 경북대학교 맞춤형 출제 트랙: Track A (AAT 수리논술 — 제시문 기반 다단계 소문항 논증형) | 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.48 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-03]
[제시문 (가)] 다항식 \(P(x)\)를 \((x - a)^2\)으로 나눈 몫을 \(Q(x)\), 나머지를 \(R(x) = mx + n\)이라 하면 \(P(x) = (x - a)^2 Q(x) + mx + n\)이다. 양변을 미분하면 \(P'(x) = 2(x - a)Q(x) + (x - a)^2 Q'(x) + m\)이므로 \(P(a) = ma + n,\; P'(a) = m\)이다.
자연수 \(n \ge 2\)에 대하여 다항식 \(P_n(x) = x^n(x^2 + ax + b)\)를 \((x - 2)^2\)으로 나눈 나머지가 \(2^{n+1}(x - 2)\)일 때, 다음 물음에 답하시오.
[문항 3-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 \(P_n(2)\)와 \(P_n'(2)\)의 값을 구하고, 이를 통해 상수 \(a, b\)의 값을 각각 구하시오.
[문항 3-2] (7점) [문항 3-1]에서 구한 \(a, b\)에 대하여 다항식 \(P_3(x)\)를 \((x - 1)^2\)으로 나눈 나머지 \(R(x)\)를 구하시오.
[문항 3-3] (7점) 미분가능한 두 함수 \(f(x), g(x)\)가 \(f(2) = 3,\; f'(2) = -1,\; g(2) = 1,\; g'(2) = 4\)를 만족시킬 때, 곱함수 \(h(x) = (x^2 - 1)f(x)g(x)\)의 \(x = 2\)에서의 미분계수 \(h'(2)\)를 구하시오.
[경북대학교 AAT 수리논술 답안 작성란 — 제5회 문항 3 (20점)]
• 소문항 [문항 3-1](6점), [문항 3-2](7점), [문항 3-3](7점)의 풀이 과정과 논거를 명확히 구분하여 서술하시오.
🎯 경북대학교 맞춤형 출제 트랙: Track A (AAT 수리논술 — 제시문 기반 다단계 소문항 논증형) | 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.49 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-06, 12미적Ⅰ-02-07]
[제시문 (가)] 삼차함수 \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\) (\(a \ne 0\))의 그래프는 점 \(\left(-\dfrac{b}{3a},\; f\left(-\dfrac{b}{3a}\right)\right)\)에 대하여 점대칭이다. 따라서 방정식 \(f(x) = k\)가 서로 다른 세 실근을 가질 때 그 세 실근이 등차수열을 이루기 위한 필요충분조건은 가운데 근이 대칭의 중심 \(x = -\dfrac{b}{3a}\)가 되는 것이다.
삼차함수 \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[문항 4-1] (6점) 함수 \(f(x)\)의 극댓값과 극솟값을 구하고, 곡선 \(y = f(x)\)의 대칭의 중심의 좌표 \((p, q)\)를 구하시오.
[문항 4-2] (7점) 방정식 \(f(x) = k\)의 서로 다른 세 실근 \(\alpha < \beta < \gamma\)가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, 상수 \(k\)의 값과 세 실근 \(\alpha, \beta, \gamma\)를 모두 구하시오.
[문항 4-3] (7점) 점 \((2, 4)\)를 지나는 직선 \(y = m(x - 2) + 4\)가 곡선 \(y = f(x)\)와 서로 다른 세 점에서 만나도록 하는 실수 \(m\)의 값의 범위를 구하고, 세 교점의 \(x\)좌표의 합이 \(m\)의 값에 관계없이 일정함을 보이시오.
[경북대학교 AAT 수리논술 답안 작성란 — 제5회 문항 4 (20점)]
• 소문항 [문항 4-1](6점), [문항 4-2](7점), [문항 4-3](7점)의 풀이 과정과 논거를 명확히 구분하여 서술하시오.
🎯 경북대학교 맞춤형 출제 트랙: Track A (AAT 수리논술 — 제시문 기반 다단계 소문항 논증형) | 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.4 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]
[제시문 (가)] 최고차항의 계수가 \(a > 0\)인 삼차곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \((\alpha, f(\alpha))\)에서의 접선이 곡선과 점 \((\beta, f(\beta))\) (\(\alpha \ne \beta\))에서 다시 만날 때, 곡선과 접선으로 둘러싸인 영역의 넓이는 다음과 같다.
\[S = \int_{\alpha}^{\beta} a|x - \alpha|^2 |x - \beta|\,dx = \dfrac{a}{12}(\beta - \alpha)^4\]
곡선 \(y = f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[문항 5-1] (6점) 곡선 \(y = f(x)\) 위의 원점 \((0, 0)\)에서의 접선 \(l\)의 방정식을 구하고, 접선 \(l\)이 곡선 \(y = f(x)\)와 다시 만나는 점 \(\mathrm{P}\)의 좌표를 구하시오.
[문항 5-2] (7점) 곡선 \(y = f(x)\)와 접선 \(l\)로 둘러싸인 영역의 넓이 \(S\)를 정적분(또는 제시문 (가))으로 구하시오.
[문항 5-3] (7점) 곡선 \(y = f(x)\)와 \(x\)축으로 둘러싸인 두 영역의 넓이의 합 \(A\)를 구하고, 비율 \(\dfrac{S}{A}\)의 값을 구하시오.
[경북대학교 AAT 수리논술 답안 작성란 — 제5회 문항 5 (20점)]
• 소문항 [문항 5-1](6점), [문항 5-2](7점), [문항 5-3](7점)의 풀이 과정과 논거를 명확히 구분하여 서술하시오.