[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.5 탐구 1 변형 | 성취기준: 12대수01-03, 12대수01-04]
✅ 최종 정답 요약: [1-1] \(\log_a b = \dfrac{2}{3},\; \log_b a = \dfrac{3}{2},\; b = a^{2/3}\) | [1-2] \(\dfrac{5}{3}\) | [1-3] \(15\)개
[1줄 공식선언 (30%)]: 밑변환 공식 \(\log_a c = \dfrac{1}{\log_c a},\; \log_b c = \dfrac{1}{\log_c b}\)를 비례식에 대입한다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: \(\dfrac{\log_a c}{\log_b c} = \dfrac{\log_c b}{\log_c a} = \log_a b = \dfrac{2}{3}\)이므로 \(\log_b a = \dfrac{3}{2},\; b = a^{2/3}\)이다. 또한 \(t = \log_a c\)라 하면 \(\log_b c = \dfrac{3}{2}t\)이므로 \(\dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{2}t + \dfrac{1}{t} = \dfrac{19}{6} \implies \dfrac{3}{2}t + \dfrac{1}{t} = \dfrac{5}{2} \implies 3t^2 - 5t + 2 = 0\)에서 두 근(\(t = 1, \dfrac{2}{3}\))의 합은 \(\dfrac{5}{3}\)이다.
[3줄 최종결론 (30%)]: \(x = 2^k\)일 때 \(\log_4(2^k) = \dfrac{k}{2} \le m \le \log_2(2^k) = k\)이다. \(k = 2j\) (짝수 \(2, 4, 6\))일 때는 \(j \le m \le 2j\)이므로 \(j + 1\)개(\(2, 3, 4\)개), \(k = 2j-1\) (홀수 \(1, 3, 5\))일 때는 \(j \le m \le 2j-1\)이므로 \(j\)개(\(1, 2, 3\)개)가 되어 총합은 \((1+2) + (2+3) + (3+4) = 15\)개이다.
| 배점 단계 | 경북대학교 AAT 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
|---|
| [1-1] 6점 | • 밑변환으로 \(\log_a b = \dfrac{2}{3},\; \log_b a = \dfrac{3}{2}\) 도출 +4점 / \(b = a^{2/3}\) 표현 +2점 |
| [1-2] 7점 | • \(3t^2 - 5t + 2 = 0\) 유도 +4점 / 두 근의 합 \(\dfrac{5}{3}\) (\(t = 1, \dfrac{2}{3}\)) 산출 +3점 |
| [1-3] 7점 | • \(\dfrac{k}{2} \le m \le k\) 정수 개수 분류 +4점 / \(\sum_{k=1}^{6} N_k = 15\) 산출 +3점 |
⚠️ 경북대학교 AAT 감점 방어 & 수리논술 클리닉: \(\log_a c : \log_b c = 2 : 3\)에서 진수 \(c\)가 같으므로 밑변환을 취하면 역수가 되어 \(\log_c a : \log_c b = 3 : 2 \implies \log_a b = \dfrac{2}{3}\)가 됨에 유의하십시오.
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.43 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03]
✅ 최종 정답 요약: [2-1] \(\cos B = \dfrac{19}{35},\; \sin B = \dfrac{12\sqrt{6}}{35},\; S = 6\sqrt{6}\) | [2-2] \(\overline{\mathrm{AD}} = \dfrac{2\sqrt{217}}{7}\) | [2-3] \(\dfrac{R_1}{R_2} = \dfrac{5}{6}\)
[1줄 공식선언 (30%)]: \(\cos B = \dfrac{5^2 + 7^2 - 6^2}{2\cdot 5\cdot 7} = \dfrac{38}{70} = \dfrac{19}{35}\)이다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: \(\sin B = \sqrt{1 - \dfrac{361}{1225}} = \dfrac{\sqrt{864}}{35} = \dfrac{12\sqrt{6}}{35}\)이고 \(S = \dfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 7\cdot\dfrac{12\sqrt{6}}{35} = 6\sqrt{6}\)이다. \(\triangle \mathrm{ABD}\)에서 \(\overline{\mathrm{AD}}^2 = 5^2 + 3^2 - 2\cdot 5\cdot 3\cdot\dfrac{19}{35} = 34 - \dfrac{114}{7} = \dfrac{124}{7} \implies \overline{\mathrm{AD}} = \dfrac{2\sqrt{217}}{7}\)이다.
[3줄 최종결론 (30%)]: \(\angle \mathrm{ADB} + \angle \mathrm{ADC} = \pi\)이므로 \(\sin(\angle \mathrm{ADB}) = \sin(\angle \mathrm{ADC})\)이다. 사인법칙에 의해 \(2R_1 = \dfrac{\overline{\mathrm{AB}}}{\sin(\angle \mathrm{ADB})},\; 2R_2 = \dfrac{\overline{\mathrm{AC}}}{\sin(\angle \mathrm{ADC})}\)이므로 \(\dfrac{R_1}{R_2} = \dfrac{\overline{\mathrm{AB}}}{\overline{\mathrm{AC}}} = \dfrac{5}{6}\)이다.
| 배점 단계 | 경북대학교 AAT 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
|---|
| [2-1] 6점 | • \(\cos B = \dfrac{19}{35},\; \sin B = \dfrac{12\sqrt{6}}{35}\) 도출 +3점 / \(S = 6\sqrt{6}\) 산출 +3점 |
| [2-2] 7점 | • \(\triangle \mathrm{ABD}\) 코사인법칙 식 수립 +4점 / \(\overline{\mathrm{AD}} = \dfrac{2\sqrt{217}}{7}\) 산출 +3점 |
| [2-3] 7점 | • \(\sin(\angle \mathrm{ADB}) = \sin(\angle \mathrm{ADC})\) 보각 성질 명시 +4점 / \(\dfrac{R_1}{R_2} = \dfrac{5}{6}\) 도출 +3점 |
⚠️ 경북대학교 AAT 감점 방어 & 수리논술 클리닉: 두 외접원 반지름의 비 \(\dfrac{R_1}{R_2}\)를 구할 때 \(\sin(\angle \mathrm{ADB})\)의 값을 직접 구할 필요 없이 보각 관계 \(\sin(\pi - \theta) = \sin\theta\)로 약분하면 \(\dfrac{\overline{\mathrm{AB}}}{\overline{\mathrm{AC}}} = \dfrac{5}{6}\)가 즉시 도출됩니다.
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.42 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]
✅ 최종 정답 요약: [3-1] \([0, 1]\) 연속 및 \(h(0) = -4 < 0,\; h(1) = 2 > 0\) 존재성 논증 | [3-2] \(h'(x) = 5x^4 + 6x^2 + 3 \ge 3 > 0\) 유일성 귀류 증명 | [3-3] \(h^{-1}(2) = 1\), 접선 기울기 \(\dfrac{1}{14}\)
[1줄 공식선언 (30%)]: 다항함수 \(h(x)\)는 닫힌구간 \([0, 1]\)에서 연속이고 \(h(0) = -4 < 0,\; h(1) = 1 + 2 + 3 - 4 = 2 > 0\)이다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: \(h(0)h(1) = -8 < 0\)이므로 사잇값 정리에 의해 \((0, 1)\)에 적어도 하나의 실근이 존재한다. 만약 서로 다른 두 실근 \(\alpha < \beta\)가 존재한다고 가정하면, 평균값 정리에 의해 \(\dfrac{h(\beta) - h(\alpha)}{\beta - \alpha} = 0 = h'(\gamma)\)인 \(\gamma \in (\alpha, \beta)\)가 존재해야 하지만, 모든 실수 \(x\)에서 \(h'(x) = 5x^4 + 6x^2 + 3 \ge 3 > 0\)이므로 모순이다. 따라서 실근은 유일하다.
[3줄 최종결론 (30%)]: \(h(1) = 2\)이므로 \(h^{-1}(2) = 1\)이고, 점 \((2, 1)\)에서의 역함수 접선의 기울기는 \(\dfrac{1}{h'(1)} = \dfrac{1}{5 + 6 + 3} = \dfrac{1}{14}\)이다.
| 배점 단계 | 경북대학교 AAT 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
|---|
| [3-1] 6점 | • 다항함수의 \([0, 1]\) 연속성 명시 +3점 / \(h(0)=-4<0,\; h(1)=2>0\) 사잇값 정리 결론 +3점 |
| [3-2] 7점 | • \(h'(x) = 5x^4 + 6x^2 + 3 > 0\) 도출 +3점 / 평균값 정리 귀류법으로 유일성 증명 +4점 |
| [3-3] 7점 | • \(h(1) = 2 \implies h^{-1}(2) = 1\) 도출 +3점 / 역함수 접선 기울기 \(\dfrac{1}{h'(1)} = \dfrac{1}{14}\) 산출 +4점 |
⚠️ 경북대학교 AAT 감점 방어 & 수리논술 클리닉: 경북대 AAT에서 해의 '존재성'은 사잇값 정리로, '유일성'은 도함수 부호와 평균값 정리(롤의 정리) 귀류법으로 짝지어 증명하는 것이 표준 답안 규격입니다.
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.47 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-08, 12미적Ⅰ-02-09]
✅ 최종 정답 요약: [4-1] \(h = 12 - 2r,\; V(r) = 2\pi r^2(6 - r),\; S(r) = 4\pi r(6 - r)\) | [4-2] \(r_1 = 4,\; V_{\max} = 64\pi\), 원뿔 부피의 \(\dfrac{4}{9}\) | [4-3] \(r_2 = 3,\; S_{\max} = 36\pi\)
[1줄 공식선언 (30%)]: \(\dfrac{6 - r}{6} = \dfrac{h}{12} \implies h = 2(6 - r) = 12 - 2r\) (\(0 < r < 6\))이다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: \(V(r) = \pi r^2(12 - 2r) = 2\pi(6r^2 - r^3)\)이고 \(S(r) = 2\pi r h = 4\pi(6r - r^2)\)이다. \(V'(r) = 6\pi r(4 - r) = 0\)에서 \(r_1 = 4\)일 때 최대 부피 \(V_{\max} = 2\pi(16)(2) = 64\pi\)를 가지며, 원뿔 부피 \(\dfrac{1}{3}\pi(36)(12) = 144\pi\)에 대한 비율은 \(\dfrac{64\pi}{144\pi} = \dfrac{4}{9}\)이다.
[3줄 최종결론 (30%)]: 옆넓이 \(S(r) = 4\pi(6r - r^2) = -4\pi(r - 3)^2 + 36\pi\)는 \(r_2 = 3\)에서 최댓값 \(S_{\max} = 36\pi\)를 갖는다.
| 배점 단계 | 경북대학교 AAT 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
|---|
| [4-1] 6점 | • \(h = 12 - 2r\) 도출 +2점 / \(V(r) = 2\pi r^2(6-r),\; S(r) = 4\pi r(6-r)\) 산출 +4점 |
| [4-2] 7점 | • \(V'(r) = 6\pi r(4-r) = 0 \implies r_1 = 4,\; V_{\max} = 64\pi\) 도출 +4점 / 원뿔 대비 비율 \(\dfrac{4}{9}\) 산출 +3점 |
| [4-3] 7점 | • 옆넓이 \(S(r)\)의 완전제곱 또는 미분 +4점 / \(r_2 = 3\)에서 최댓값 \(36\pi\) 도출 +3점 |
⚠️ 경북대학교 AAT 감점 방어 & 수리논술 클리닉: 임의의 직원뿔에 내접하는 최대 부피 원기둥은 항상 밑면 반지름이 원뿔의 \(\dfrac{2}{3}\), 높이가 원뿔의 \(\dfrac{1}{3}\)일 때 달성되며 부피 비는 \(\dfrac{4}{9}\)로 일정합니다.
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]
✅ 최종 정답 요약: [5-1] \(\int_{-2}^{2} f(x)\,dx = -\dfrac{32}{3},\; \int_{-2}^{2} xf'(x)\,dx = \dfrac{2288}{15}\) | [5-2] \(k = \dfrac{3}{5},\; c = \dfrac{1}{3}\) | [5-3] \(40\)
[1줄 공식선언 (30%)]: 기함수 항을 소거하여 \(\int_{-2}^{2} f(x)\,dx = 2\int_{0}^{2} (-5x^2 + 4)\,dx\)로 계산한다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: \(2\Bigl[-\dfrac{5}{3}x^3 + 4x\Bigr]_{0}^{2} = 2\left(-\dfrac{40}{3} + 8\right) = -\dfrac{32}{3}\)이다. 또한 \(xf'(x) = 9x^4 - 10x^3 + 7x^2\)이므로 \(\int_{-2}^{2} xf'(x)\,dx = 2\int_{0}^{2} (9x^4 + 7x^2)\,dx = 2\left(\dfrac{288}{5} + \dfrac{56}{3}\right) = \dfrac{2288}{15}\)이다. [문항 5-2]에서 우함수·기함수 직교성에 의해 \(J(k, c) = \int_{-1}^{1} (x^3 - kx)^2\,dx + \int_{-1}^{1} (x^2 - c)^2\,dx\)로 분리되므로 \(\int_{-1}^{1} x(x^3 - kx)\,dx = 0 \implies \dfrac{2}{5} - \dfrac{2}{3}k = 0 \implies k = \dfrac{3}{5}\)이고, \(\int_{-1}^{1} (x^2 - c)\,dx = 0 \implies \dfrac{2}{3} - 2c = 0 \implies c = \dfrac{1}{3}\)이다.
[3줄 최종결론 (30%)]: \(g(x)\)가 우함수이므로 \((3x^3 + 2x)g(x)\)는 기함수가 되어 \([-2, 2]\)에서의 정적분이 \(0\)이다. 따라서 \(\int_{-2}^{2} (3x^3 + 2x + 4)g(x)\,dx = 4\int_{-2}^{2} g(x)\,dx = 8\int_{0}^{2} g(x)\,dx = 8 \times 5 = 40\)이다.
| 배점 단계 | 경북대학교 AAT 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
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| [5-1] 6점 | • 기함수 소거 후 \(\int_{-2}^{2} f(x)\,dx = -\dfrac{32}{3}\) 산출 +3점 / \(\int_{-2}^{2} xf'(x)\,dx = \dfrac{2288}{15}\) 도출 +3점 |
| [5-2] 7점 | • 기함수\((x^3-kx)\)와 우함수\((x^2-c)\)의 곱 적분 소거 분리 +3점 / \(k = \dfrac{3}{5},\; c = \dfrac{1}{3}\) 산출 +4점 |
| [5-3] 7점 | • \((3x^3+2x)g(x)\)가 기함수임을 논증하여 소거 +4점 / \(8 \times 5 = 40\) 도출 +3점 |
⚠️ 경북대학교 AAT 감점 방어 & 수리논술 클리닉: 대칭 구간 \([-1, 1]\)에서 최소제곱 정적분 \(\int_{-1}^{1} \bigl(h(x) - (kx + c)\bigr)^2\,dx\)를 전개하면 교차항 중 기함수가 모두 \(0\)으로 사라져 \(k\)에 대한 이차식과 \(c\)에 대한 이차식으로 독립 분리됩니다.