🎯 경북대학교 맞춤형 출제 트랙: Track A (AAT 수리논술 — 제시문 기반 다단계 소문항 논증형) | 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그
[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.5 탐구 1 변형 | 성취기준: 12대수01-03, 12대수01-04]
[제시문 (가)] \(1\)이 아닌 양수 \(a, b\)와 양수 \(c\)에 대하여 밑변환 공식 \(\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}\)와 \(a^{\log_c b} = b^{\log_c a}\)가 성립한다.
\(1\)보다 큰 세 실수 \(a, b, c\)가 \(\log_a c : \log_b c = 2 : 3\)을 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.
[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 \(\log_a b\)와 \(\log_b a\)의 값을 각각 구하고, \(b\)를 \(a\)의 거듭제곱으로 나타내시오.
[문항 1-2] (7점) \(\log_a b + \log_b c + \log_c a = \dfrac{19}{6}\)일 때, 가능한 모든 \(\log_a c\)의 값들의 합을 구하시오.
[문항 1-3] (7점) 자연수 \(k\) (\(1 \le k \le 6\))에 대하여 두 곡선 \(y = \log_2 x\)와 \(y = \log_4 x\) 사이에 있으면서 \(x = 2^k\) 선분 위에 놓인 정수 격자점 \((2^k, m)\) (\(m \in \mathbb{Z}\))의 개수를 \(N_k\)라 할 때, \(\sum_{k=1}^{6} N_k\)를 구하시오.
[경북대학교 AAT 수리논술 답안 작성란 — 제4회 문항 1 (20점)]
• 소문항 [문항 1-1](6점), [문항 1-2](7점), [문항 1-3](7점)의 풀이 과정과 논거를 명확히 구분하여 서술하시오.
🎯 경북대학교 맞춤형 출제 트랙: Track A (AAT 수리논술 — 제시문 기반 다단계 소문항 논증형) | 대수 Ⅱ. 삼각함수
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.43 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03]
[제시문 (가)] 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 변 \(\mathrm{BC}\) 위의 점 \(\mathrm{D}\)에 대하여 \(\angle \mathrm{ADB} + \angle \mathrm{ADC} = \pi\)이므로 \(\cos(\angle \mathrm{ADB}) + \cos(\angle \mathrm{ADC}) = 0\)이다. 이를 두 삼각형 \(\mathrm{ABD}, \mathrm{ACD}\)의 코사인법칙에 대입하면 스튜어트 정리(중선정리의 일반화)를 얻는다.
세 변의 길이가 \(\overline{\mathrm{AB}} = 5,\; \overline{\mathrm{AC}} = 6,\; \overline{\mathrm{BC}} = 7\)인 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 변 \(\mathrm{BC}\)를 \(3 : 4\)로 내분하는 점을 \(\mathrm{D}\) (\(\overline{\mathrm{BD}} = 3,\; \overline{\mathrm{CD}} = 4\))라 할 때, 다음 물음에 답하시오.
[문항 2-1] (6점) 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에 코사인법칙을 적용하여 \(\cos B\)와 \(\sin B\)의 값을 각각 구하고, 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 넓이를 구하시오.
[문항 2-2] (7점) 삼각형 \(\mathrm{ABD}\)에 코사인법칙을 적용하여 선분 \(\mathrm{AD}\)의 길이를 구하시오.
[문항 2-3] (7점) 두 삼각형 \(\mathrm{ABD}\)와 \(\mathrm{ACD}\)의 외접원의 반지름을 각각 \(R_1, R_2\)라 할 때, 사인법칙을 이용하여 비율 \(\dfrac{R_1}{R_2}\)의 값을 구하시오.
[경북대학교 AAT 수리논술 답안 작성란 — 제4회 문항 2 (20점)]
• 소문항 [문항 2-1](6점), [문항 2-2](7점), [문항 2-3](7점)의 풀이 과정과 논거를 명확히 구분하여 서술하시오.
🎯 경북대학교 맞춤형 출제 트랙: Track A (AAT 수리논술 — 제시문 기반 다단계 소문항 논증형) | 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.42 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]
[제시문 (가)] 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속인 함수 \(h(x)\)가 \(h(a)h(b) < 0\)이면 열린구간 \((a, b)\)에 \(h(c) = 0\)인 실수 \(c\)가 적어도 하나 존재한다(존재성). 나아가 열린구간 \((a, b)\)의 모든 \(x\)에서 \(h'(x) > 0\)이면 평균값 정리에 의해 실근은 오직 하나뿐이다(유일성).
실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(h(x) = x^5 + 2x^3 + 3x - 4\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[문항 3-1] (6점) 사잇값 정리를 이용하여 방정식 \(h(x) = 0\)이 열린구간 \((0, 1)\)에서 적어도 하나의 실근을 가짐을 논증하시오.
[문항 3-2] (7점) 도함수 \(h'(x)\)의 부호를 조사하고 평균값 정리를 이용한 귀류법으로 방정식 \(h(x) = 0\)의 실근이 실수 전체에서 오직 하나뿐임을 증명하시오.
[문항 3-3] (7점) 함수 \(h(x)\)의 역함수를 \(h^{-1}(x)\)라 할 때, \(h^{-1}(2)\)의 값과 곡선 \(y = h^{-1}(x)\) 위의 점 \((2, h^{-1}(2))\)에서의 접선의 기울기를 구하시오.
[경북대학교 AAT 수리논술 답안 작성란 — 제4회 문항 3 (20점)]
• 소문항 [문항 3-1](6점), [문항 3-2](7점), [문항 3-3](7점)의 풀이 과정과 논거를 명확히 구분하여 서술하시오.
🎯 경북대학교 맞춤형 출제 트랙: Track A (AAT 수리논술 — 제시문 기반 다단계 소문항 논증형) | 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.47 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-08, 12미적Ⅰ-02-09]
[제시문 (가)] 밑면의 반지름이 \(R\)이고 높이가 \(H\)인 직원뿔에 내접하는 직원기둥의 밑면 반지름을 \(r\) (\(0 < r < R\)), 높이를 \(h\)라 하면, 축 단면의 직각삼각형 닮음에 의해 \(\dfrac{R - r}{R} = \dfrac{h}{H}\)가 성립한다.
밑면의 반지름이 \(R = 6\)이고 높이가 \(H = 12\)인 직원뿔에 내접하는 직원기둥(밑면 반지름 \(r\), 높이 \(h\))에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[문항 4-1] (6점) 닮음비를 이용하여 직원기둥의 높이 \(h\)를 \(r\)에 대한 일차식으로 나타내고, 직원기둥의 부피 \(V(r)\)와 옆넓이 \(S(r)\)를 각각 \(r\)에 대한 다항식으로 나타내시오.
[문항 4-2] (7점) 열린구간 \((0, 6)\)에서 직원기둥의 부피 \(V(r)\)가 최대가 되는 반지름 \(r_1\)과 그때의 최대 부피 \(V_{\max}\)를 구하고, \(V_{\max}\)가 직원뿔 전체 부피의 몇 분의 몇인지 구하시오.
[문항 4-3] (7점) 열린구간 \((0, 6)\)에서 직원기둥의 옆넓이 \(S(r)\)가 최대가 되는 반지름 \(r_2\)와 최댓값 \(S_{\max}\)를 구하시오.
[경북대학교 AAT 수리논술 답안 작성란 — 제4회 문항 4 (20점)]
• 소문항 [문항 4-1](6점), [문항 4-2](7점), [문항 4-3](7점)의 풀이 과정과 논거를 명확히 구분하여 서술하시오.
🎯 경북대학교 맞춤형 출제 트랙: Track A (AAT 수리논술 — 제시문 기반 다단계 소문항 논증형) | 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.3 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]
[제시문 (가)] 닫힌구간 \([-a, a]\)에서 연속인 함수에 대하여 우함수(\(f(-x) = f(x)\))는 \(\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_{0}^{a} f(x)\,dx\)이고, 기함수(\(g(-x) = -g(x)\))는 \(\int_{-a}^{a} g(x)\,dx = 0\)이다.
다항함수 \(f(x) = 3x^3 - 5x^2 + 7x + 4\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[문항 5-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 정적분 \(\int_{-2}^{2} f(x)\,dx\)와 \(\int_{-2}^{2} x f'(x)\,dx\)의 값을 각각 구하시오.
[문항 5-2] (7점) 실수 \(k, c\)에 대하여 오차제곱 정적분 \(J(k, c) = \int_{-1}^{1} \bigl(x^3 + x^2 - (kx + c)\bigr)^2\,dx\)를 최소로 하는 일차근사 직선 \(y = kx + c\)의 계수 \(k, c\)를 구하시오.
[문항 5-3] (7점) 모든 실수 \(x\)에서 \(g(-x) = g(x)\)를 만족시키는 연속함수 \(g(x)\)에 대하여 \(\int_{0}^{2} g(x)\,dx = 5\)일 때, 정적분 \(\int_{-2}^{2} (3x^3 + 2x + 4)g(x)\,dx\)의 값을 구하시오.
[경북대학교 AAT 수리논술 답안 작성란 — 제4회 문항 5 (20점)]
• 소문항 [문항 5-1](6점), [문항 5-2](7점), [문항 5-3](7점)의 풀이 과정과 논거를 명확히 구분하여 서술하시오.