[1줄 공식선언 (30%)]: \(\dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2k-1} - \dfrac{1}{2k+1}\right)\)을 대입하여 연쇄 소거한다.

[2줄 핵심계산 (40%)]: \(S_n = \dfrac{1}{2}\left(1 - \dfrac{1}{2n+1}\right) = \dfrac{n}{2n+1}\)이고, \(\dfrac{n}{2n+1} \ge \dfrac{11}{23} \iff 23n \ge 22n + 11 \iff n \ge 11\)이므로 최솟값은 \(11\)이다. 귀납법 증명에서 (i) \(n=1\)일 때 좌변 \(1\), 우변 \(0 + 1 = 1\) 성립. (ii) \(n=m\) 성립 가정 시 양변에 \((m+1)2^m\)을 더하면 \((m-1)2^m + 1 + (m+1)2^m = 2m\cdot 2^m + 1 = m\cdot 2^{m+1} + 1\)이 되어 \(n=m+1\)에서도 성립한다.

[3줄 최종결론 (30%)]: \(\sum_{k=1}^{8} (2k - 1)2^{k-1} = 2\sum_{k=1}^{8} k\cdot 2^{k-1} - \sum_{k=1}^{8} 2^{k-1} = 2(7\cdot 2^8 + 1) - (2^8 - 1) = 13\cdot 2^8 + 3 = 13\times 256 + 3 = 3328 + 3 = 3331\)이다.

[1줄 공식선언 (30%)]: \(\overline{\mathrm{BC}}^2 = 16 + 36 - 2\cdot 4\cdot 6\cos 120^\circ = 52 + 24 = 76\)이다.

[2줄 핵심계산 (40%)]: \(\overline{\mathrm{BC}} = 2\sqrt{19}\)이고 \(\dfrac{1}{2}\cdot 4\cdot 6\sin 120^\circ = \dfrac{1}{2}(4 + 6)\overline{\mathrm{AD}}\sin 60^\circ\)에서 \(\overline{\mathrm{AD}} = \dfrac{24}{10} = \dfrac{12}{5}\)이다. 외접원 반지름은 \(R = \dfrac{2\sqrt{19}}{2\sin 120^\circ} = \dfrac{2\sqrt{57}}{3}\)이고, \(\angle \mathrm{BAE} = 60^\circ,\; \angle \mathrm{BAC} = 120^\circ\)에서 \(\sin 60^\circ = \sin 120^\circ\)이므로 사인법칙에 의해 \(\overline{\mathrm{BE}} = \overline{\mathrm{CE}} = 2R\sin 60^\circ = \overline{\mathrm{BC}} = 2\sqrt{19}\)이다(\(\triangle \mathrm{BCE}\)는 정삼각형).

[3줄 최종결론 (30%)]: \(\triangle \mathrm{BCE}\)가 정삼각형이고 \(\angle \mathrm{AEB} = \angle \mathrm{AEC} = 60^\circ\)이므로 \(\triangle \mathrm{ABE}, \triangle \mathrm{ACE}\)에 코사인법칙을 적용(또는 톨레미 정리 적용)하면 \(\overline{\mathrm{AE}} = \overline{\mathrm{AB}} + \overline{\mathrm{AC}} = 4 + 6 = 10\)이다.

[1줄 공식선언 (30%)]: 조건 (가)에서 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + ax + b\)로 놓고 조건 (나)에서 \(f(2) = 0,\; \dfrac{f'(2)}{4} = \dfrac{5}{4}\)를 적용한다.

[2줄 핵심계산 (40%)]: \(f'(x) = 3x^2 - 6x + a\)에서 \(f'(2) = 12 - 12 + a = 5 \implies a = 5\)이고, \(f(2) = 8 - 12 + 10 + b = 0 \implies b = -6\)이므로 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 5x - 6\)이다. 또한 \(g(t) = 3f'(t) = 3(3t^2 - 6t + 5) = 9(t - 1)^2 + 6\)이므로 \(t = 1\)에서 최솟값 \(6\)을 갖는다.

[3줄 최종결론 (30%)]: \(h = \dfrac{1}{n}\)로 치환하면 \(n \to \infty\)일 때 \(h \to 0+\)이므로 구하는 극한은 \(\lim_{h \to 0+} \dfrac{f(1 + 2h) - f(1 - h)}{h} = g(1) = 3f'(1) = 6\)이다.

[1줄 공식선언 (30%)]: \(f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 4ax = 4x(x^2 - 3x + a)\)가 서로 다른 세 실근을 가질 조건을 구한다.

[2줄 핵심계산 (40%)]: \(x^2 - 3x + a = 0\)이 \(0\)이 아닌 서로 다른 두 실근을 가져야 하므로 \(D = 9 - 4a > 0 \implies a < \dfrac{9}{4}\)이고 \(a \ne 0\)이다. \(a = 0\)일 때는 \(f'(x) = 4x^2(x - 3)\)이므로 \(x = 0\)에서 부호가 바뀌지 않아 극댓값을 갖지 않으며, \(x = 3\)에서 최솟값 \(f(3) = -27\)을 갖고 \(f'(0) = 0\)이다.

[3줄 최종결론 (30%)]: \(a = 2\)이면 \(f'(x) = 4x(x - 1)(x - 2) = 0\)이므로 \(x = 1\)에서 극댓값 \(f(1) = 1 - 4 + 4 = 1\)을 갖고, \(x = 0, 2\)에서 극솟값 \(f(0) = 0,\; f(2) = 16 - 32 + 16 = 0\)을 갖는다. 따라서 모든 극값의 합은 \(1 + 0 + 0 = 1\)이다.

[1줄 공식선언 (30%)]: \(\int_{0}^{2} f(x)\,dx + \int_{0}^{10} g(y)\,dy = 2 \times 10 = 20\)을 적용한다.

[2줄 핵심계산 (40%)]: \(\int_{0}^{2} (x^3 + x)\,dx = \Bigl[\dfrac{1}{4}x^4 + \dfrac{1}{2}x^2\Bigr]_{0}^{2} = 4 + 2 = 6\)이므로 \(\int_{0}^{10} g(y)\,dy = 20 - 6 = 14\)이다. 또한 제시문 (가)에서 \(b = 2 = f(1)\)일 때 \(\int_{0}^{a} f(x)\,dx + \int_{0}^{2} g(y)\,dy \ge 2a\)이고 등호는 \(b = f(a) \iff 2 = a^3 + a \iff a = 1\)일 때 성립하므로, \(H(a)\)는 \(a = 1\)에서 최솟값 \(0\)을 갖는다.

[3줄 최종결론 (30%)]: \(f(1) = 2,\; f(2) = 10\)이므로 \(\int_{1}^{2} f(x)\,dx + \int_{2}^{10} g(y)\,dy = 2\cdot 10 - 1\cdot 2 = 18\)이다. 또한 직선 \(x + y = 12\)는 점 \((2, 10)\)과 \((10, 2)\)를 지나므로 둘러싸인 넓이는 \(2\int_{0}^{2} (x - f(x))\,dx\)가 아니라 대칭 분할에 의해 \(\triangle = \dfrac{1}{2}\cdot 12\cdot 12 = 72\)에서 양쪽 영역 \(2\left(\int_{0}^{2} f(x)\,dx + \dfrac{1}{2}(10 + 0)(10 - 2)\text{ 대칭 보정}\right)\): 정확히 \(y = x\)에 대한 대칭으로 넓이는 \(2\left[\int_{0}^{2} (x - f(x))\,dx + \int_{2}^{6} (x - g(x))\,dx\right] = \dfrac{1}{2}(10 - 2)(10 + 2) - 2\int_{0}^{2} f(x)\,dx = 48 - 12 = 36\)이 아니라 사다리꼴 \(\{(0,0), (2,10), (10,2)\}\)에서 \(\dfrac{1}{2}\cdot 12\cdot 12 - 2\left(\int_{0}^{2} f(x)\,dx + \dfrac{1}{2}\cdot 10\cdot 2\text{가 아닌 } \int_{2}^{12} (12-x)\,dx\right) = 2\left(\dfrac{1}{2}\cdot 2\cdot 10 + \dfrac{1}{2}(10+6)\cdot 4 - 6\right) = 72 - 2(6 + 8) = 44\)이다.