🎯 경북대학교 맞춤형 출제 트랙: Track A (AAT 수리논술 — 제시문 기반 다단계 소문항 논증형) | 대수 Ⅲ. 수열
[출처: 미래엔 대수 Ⅲ. 수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.2 탐구 1 변형 | 성취기준: 12대수03-06, 12대수03-07]
[제시문 (가)] 첫째항이 \(a_1\)이고 공차가 \(d > 0\)인 등차수열 \(\{a_n\}\)에 대하여 \(\dfrac{1}{a_k a_{k+1}} = \dfrac{1}{d}\left(\dfrac{1}{a_k} - \dfrac{1}{a_{k+1}}\right)\)으로 분해하면 연쇄 소거(Telescoping sum)에 의해 부분합을 구할 수 있다.
일반항이 \(a_n = 2n - 1\)인 등차수열 \(\{a_n\}\)과 합 \(S_n = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{a_k a_{k+1}}\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 부분합 \(S_n\)을 \(n\)에 대한 유리식으로 나타내고, \(S_n \ge \dfrac{11}{23}\)을 만족시키는 자연수 \(n\)의 최솟값을 구하시오.
[문항 1-2] (7점) 모든 자연수 \(n\)에 대하여 등식 \(\sum_{k=1}^{n} k\cdot 2^{k-1} = (n - 1)2^n + 1\)이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하시오.
[문항 1-3] (7점) [문항 1-2]의 결과를 이용하여 \(\sum_{k=1}^{8} (2k - 1)\cdot 2^{k-1}\)의 값을 구하시오.
[경북대학교 AAT 수리논술 답안 작성란 — 제3회 문항 1 (20점)]
• 소문항 [문항 1-1](6점), [문항 1-2](7점), [문항 1-3](7점)의 풀이 과정과 논거를 명확히 구분하여 서술하시오.
🎯 경북대학교 맞춤형 출제 트랙: Track A (AAT 수리논술 — 제시문 기반 다단계 소문항 논증형) | 대수 Ⅱ. 삼각함수
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.42 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03]
[제시문 (가)] 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(\angle A\)의 이등분선이 변 \(\mathrm{BC}\)와 만나는 점을 \(\mathrm{D}\), 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 외접원과 다시 만나는 점을 \(\mathrm{E}\)라 하면, 원주각의 성질에 의해 \(\angle \mathrm{EBC} = \angle \mathrm{EAC} = \angle \mathrm{BAE} = \angle \mathrm{BCE}\)이므로 \(\overline{\mathrm{EB}} = \overline{\mathrm{EC}}\)이다.
삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(\overline{\mathrm{AB}} = 4,\; \overline{\mathrm{AC}} = 6\)이고 \(\angle \mathrm{BAC} = \dfrac{2\pi}{3}\;(120^\circ)\)이다. \(\angle \mathrm{BAC}\)의 이등분선이 변 \(\mathrm{BC}\)와 만나는 점을 \(\mathrm{D}\), 외접원과 다시 만나는 점을 \(\mathrm{E}\)라 할 때, 다음 물음에 답하시오.
[문항 2-1] (6점) 코사인법칙을 이용하여 변 \(\mathrm{BC}\)의 길이를 구하고, 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 넓이 분할을 이용하여 각의 이등분선의 길이 \(\overline{\mathrm{AD}}\)를 구하시오.
[문항 2-2] (7점) 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 외접원의 반지름 \(R\)와 현 \(\overline{\mathrm{BE}} = \overline{\mathrm{CE}}\)의 길이를 각각 구하시오.
[문항 2-3] (7점) 원에 내접하는 사각형 \(\mathrm{ABEC}\)에서 코사인법칙(또는 방멱 관계 \(\overline{\mathrm{AD}}\cdot\overline{\mathrm{DE}} = \overline{\mathrm{BD}}\cdot\overline{\mathrm{CD}}\))을 이용하여 선분 \(\mathrm{AE}\)의 길이를 구하시오.
[경북대학교 AAT 수리논술 답안 작성란 — 제3회 문항 2 (20점)]
• 소문항 [문항 2-1](6점), [문항 2-2](7점), [문항 2-3](7점)의 풀이 과정과 논거를 명확히 구분하여 서술하시오.
🎯 경북대학교 맞춤형 출제 트랙: Track A (AAT 수리논술 — 제시문 기반 다단계 소문항 논증형) | 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.41 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]
[제시문 (가)] 최고차항의 계수가 양수인 다항함수 \(f(x), g(x)\)에 대하여 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{g(x)} = L\) (\(L > 0\))이면 두 다항함수의 차수는 같고 최고차항의 계수의 비가 \(L\)이다.
다항함수 \(f(x)\)가 다음 두 조건을 만족시킨다.
(가) \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - x^3}{x^2 + 1} = -3\)
(나) \(\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x)}{x^2 - 4} = \dfrac{5}{4}\)
다음 물음에 답하시오.
[문항 3-1] (6점) 조건 (가), (나)를 이용하여 삼차함수 \(f(x)\)의 식을 구하시오.
[문항 3-2] (7점) 실수 \(t\)에 대하여 극한값 \(g(t) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(t + 2h) - f(t - h)}{h}\)를 \(t\)에 대한 다항식으로 나타내고, \(g(t)\)의 최솟값을 구하시오.
[문항 3-3] (7점) 극한값 \(\lim_{n \to \infty} n\left\{f\left(1 + \dfrac{2}{n}\right) - f\left(1 - \dfrac{1}{n}\right)\right\}\)를 구하시오.
[경북대학교 AAT 수리논술 답안 작성란 — 제3회 문항 3 (20점)]
• 소문항 [문항 3-1](6점), [문항 3-2](7점), [문항 3-3](7점)의 풀이 과정과 논거를 명확히 구분하여 서술하시오.
🎯 경북대학교 맞춤형 출제 트랙: Track A (AAT 수리논술 — 제시문 기반 다단계 소문항 논증형) | 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.46 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]
[제시문 (가)] 최고차항의 계수가 양수인 사차함수 \(f(x)\)는 도함수 \(f'(x) = 0\)이 서로 다른 세 실근을 가질 때에만 극댓값을 가지며, 반대로 \(f(x)\)가 극댓값을 갖지 않기 위한 필요충분조건은 방정식 \(f'(x) = 0\)이 중근과 다른 한 실근을 갖거나 삼중근을 갖거나 한 실근과 두 허근을 갖는 것이다.
실수 \(a\)에 대하여 사차함수 \(f(x) = x^4 - 4x^3 + 2ax^2\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[문항 4-1] (6점) 도함수 \(f'(x)\)를 인수분해하여 함수 \(f(x)\)가 극댓값을 갖기 위한 실수 \(a\)의 값의 범위를 구하시오.
[문항 4-2] (7점) \(a = 0\)일 때 함수 \(f(x)\)가 극댓값을 갖지 않음을 보이고, 이때 함수 \(f(x)\)의 최솟값과 \(x = 0\)에서의 접선의 기울기를 구하시오.
[문항 4-3] (7점) \(a = 2\)일 때, 함수 \(f(x)\)의 한 극댓값과 두 극솟값의 합을 구하시오.
[경북대학교 AAT 수리논술 답안 작성란 — 제3회 문항 4 (20점)]
• 소문항 [문항 4-1](6점), [문항 4-2](7점), [문항 4-3](7점)의 풀이 과정과 논거를 명확히 구분하여 서술하시오.
🎯 경북대학교 맞춤형 출제 트랙: Track A (AAT 수리논술 — 제시문 기반 다단계 소문항 논증형) | 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.2 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]
[제시문 (가)] \(f(0) = 0\)이고 \(x \ge 0\)에서 순증가하는 연속함수 \(y = f(x)\)와 그 역함수 \(y = g(x)\)에 대하여, 임의의 양수 \(a, b \ge 0\)에서 곡선 아래의 두 정적분의 합은 항상 직사각형 넓이 \(ab\) 이상이다.
\[\int_{0}^{a} f(x)\,dx + \int_{0}^{b} g(y)\,dy \ge ab \quad (\text{등호는 } b = f(a)\text{일 때 성립})\]
\(x \ge 0\)에서 정의된 함수 \(f(x) = x^3 + x\)와 그 역함수 \(g(x)\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[문항 5-1] (6점) \(f(0) = 0,\; f(2) = 10\)임을 확인하고, 정적분 \(\int_{0}^{10} g(y)\,dy\)의 값을 구하시오.
[문항 5-2] (7점) 양수 \(a > 0\)에 대하여 함수 \(H(a) = \int_{0}^{a} f(x)\,dx + \int_{0}^{2} g(y)\,dy - 2a\)가 최솟값을 갖는 \(a\)의 값과 그때의 최솟값을 구하시오.
[문항 5-3] (7점) 정적분의 합 \(\int_{1}^{2} f(x)\,dx + \int_{2}^{10} g(y)\,dy\)의 값을 구하고, 곡선 \(y = f(x)\)와 그 역함수 \(y = g(x)\) 및 직선 \(x + y = 12\)로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하시오.
[경북대학교 AAT 수리논술 답안 작성란 — 제3회 문항 5 (20점)]
• 소문항 [문항 5-1](6점), [문항 5-2](7점), [문항 5-3](7점)의 풀이 과정과 논거를 명확히 구분하여 서술하시오.