[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.4 탐구 1 변형 | 성취기준: 12대수01-05, 12대수01-06]
✅ 최종 정답 요약: [1-1] \(\alpha + \beta = 3\) | [1-2] 두 실근: \(k > 3\sqrt{3} - 1\), 두 양근: \(3\sqrt{3} - 1 < k < 13\) | [1-3] \(k = 5,\; 3^{2\alpha} + 3^{2\beta} = 90\)
[1줄 공식선언 (30%)]: \(t = 3^x > 0\)은 실수 전체와 양수 전체 사이의 일대일대응이므로 \(3^{\alpha + \beta} = t_1 t_2 = 27 = 3^3\)이다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: \(\alpha + \beta = 3\)이다. 서로 다른 두 양근을 가지려면 \(D/4 = (k+1)^2 - 27 > 0\)이고 합 \(2(k+1) > 0\)이어야 하므로 \(k > 3\sqrt{3} - 1\)이다. 나아가 \(\alpha, \beta > 0 \iff t_1, t_2 > 1\)이려면 \(f(t) = t^2 - 2(k+1)t + 27\)에서 \(f(1) = 28 - 2(k+1) > 0 \implies k < 13\)이므로 \(3\sqrt{3} - 1 < k < 13\)이다.
[3줄 최종결론 (30%)]: \(\beta - \alpha = 1\)이고 \(\alpha + \beta = 3\)이면 \(\alpha = 1,\; \beta = 2\)이므로 \(t_1 = 3,\; t_2 = 9\)이다. 따라서 \(2(k + 1) = 3 + 9 = 12 \implies k = 5\)이고, \(3^{2\alpha} + 3^{2\beta} = 9 + 81 = 90\)이다.
| 배점 단계 | 경북대학교 AAT 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
|---|
| [1-1] 6점 | • \(t = 3^x > 0\) 치환 설명 +3점 / \(3^{\alpha+\beta} = 27 \implies \alpha + \beta = 3\) 도출 +3점 |
| [1-2] 7점 | • 판별식 조건으로 \(k > 3\sqrt{3} - 1\) 도출 +3점 / \(t > 1\) 경계 조건 \(f(1) > 0\)으로 \(3\sqrt{3} - 1 < k < 13\) 산출 +4점 |
| [1-3] 7점 | • \(\alpha=1, \beta=2\)로부터 \(k = 5\) 도출 +4점 / \(3^{2\alpha} + 3^{2\beta} = 90\) 산출 +3점 |
⚠️ 경북대학교 AAT 감점 방어 & 수리논술 클리닉: 원래 방정식의 근이 양수(\(x > 0\))라는 조건은 치환 변수 \(t = 3^x\)에서는 \(t > 0\)이 아니라 \(t > 3^0 = 1\)이라는 근의 분리 조건으로 바뀌어야 합니다.
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.41 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]
✅ 최종 정답 요약: [2-1] \(a = 3,\; b = 2,\; c = \dfrac{\pi}{3},\; d = 2\) | [2-2] \(x = \dfrac{5\pi}{12},\; \dfrac{11\pi}{12},\; \dfrac{17\pi}{12},\; \dfrac{23\pi}{12}\), 합 \(\dfrac{14\pi}{3}\) | [2-3] \(\dfrac{4\pi}{3}\)
[1줄 공식선언 (30%)]: \(a + d = 5,\; -a + d = -1\)을 연립하고 \(\dfrac{2\pi}{b} = \pi\) 및 \(\cos\left(\dfrac{\pi}{6}b - c\right) = 1\)을 적용한다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: \(a = 3,\; d = 2,\; b = 2\)이고 \(0 < c < \dfrac{\pi}{2}\)에서 \(\dfrac{\pi}{3} - c = 0 \implies c = \dfrac{\pi}{3}\)이다. 따라서 \(f(x) = 3\cos\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right) + 2\)이다. \(f(x) = 2 \iff \cos\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right) = 0\)에서 \(2x - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3\pi}{2}, \dfrac{5\pi}{2}, \dfrac{7\pi}{2}\)이므로 \(x = \dfrac{5\pi}{12}, \dfrac{11\pi}{12}, \dfrac{17\pi}{12}, \dfrac{23\pi}{12}\)이고 합은 \(\dfrac{56\pi}{12} = \dfrac{14\pi}{3}\)이다.
[3줄 최종결론 (30%)]: \(f(x) \le \dfrac{7}{2} \iff \cos\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right) \le \dfrac{1}{2}\)이다. 한 주기 길이 \(\pi\)마다 코사인 값이 \(\dfrac{1}{2}\)보다 큰 구간의 비율은 \(\dfrac{2\pi/3}{2\pi} = \dfrac{1}{3}\)이고 \(\dfrac{1}{2}\) 이하인 구간의 비율은 \(\dfrac{2}{3}\)이므로, 정확히 \(2\)주기인 구간 \([0, 2\pi]\)에서 해 구간의 길이의 총합은 \(2\pi \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{4\pi}{3}\)이다.
| 배점 단계 | 경북대학교 AAT 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
|---|
| [2-1] 6점 | • \(a=3, d=2, b=2\) 산출 +3점 / \(c = \dfrac{\pi}{3}\) 도출 +3점 |
| [2-2] 7점 | • 네 실근 도출 +4점 / 합 \(\dfrac{14\pi}{3}\) 산출 +3점 |
| [2-3] 7점 | • \(\cos(2x-\pi/3) \le 1/2\) 변환 +3점 / \(2\)주기 비율로 총 길이 \(\dfrac{4\pi}{3}\) 산출 +4점 |
⚠️ 경북대학교 AAT 감점 방어 & 수리논술 클리닉: 구간 \([0, 2\pi]\)가 주기 \(\pi\)의 정수배(\(2\)배)일 때는 평행이동 \(c\)에 관계없이 한 주기 안에서 부등식이 성립하는 구간의 길이 \(\dfrac{2\pi}{3}\)의 정확히 \(2\)배인 \(\dfrac{4\pi}{3}\)가 됩니다.
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.40 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]
✅ 최종 정답 요약: [3-1] \(a = -5,\; b = 8\), 우변 \((x - 1)(x - 2)^2\) | [3-2] \(f(1) = -1,\; f(2) = 0\) | [3-3] 최댓값 \(\dfrac{16\sqrt{3}}{9}\), 최솟값 \(-\dfrac{16\sqrt{3}}{9}\)
[1줄 공식선언 (30%)]: \(x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)\)이므로 우변에 \(x = 1, 2\)를 대입하면 모두 \(0\)이 되어야 한다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: 상수항이 \(-4\)이고 \((x - 1)(x - 2) = x^2 - 3x + 2\)를 인수로 가지므로 나머지 인수는 \((x - 2)\)여서 우변은 \((x - 1)(x - 2)^2 = x^3 - 5x^2 + 8x - 4\)이다! 따라서 \(a = -5,\; b = 8\)이다. \(x \ne 1, 2\)일 때 \(f(x) = \dfrac{(x - 1)(x - 2)^2}{(x - 1)(x - 2)} = x - 2\)이고 연속성에 의해 모든 실수 \(x\)에서 \(f(x) = x - 2\)이므로 \(f(1) = -1,\; f(2) = 0\)이다.
[3줄 최종결론 (30%)]: \(g(x) = (x - 2)(x^2 - 4x) = x^3 - 6x^2 + 8x\)이므로 \(g'(x) = 3x^2 - 12x + 8 = 0\)에서 \(x = 2 \pm \dfrac{2\sqrt{3}}{3} \in (0, 3)\)이다. \(g(0) = 0,\; g(2) = 0,\; g(3) = -3\)이고 극댓값은 \(g\left(2 - \dfrac{2\sqrt{3}}{3}\right) = \dfrac{16\sqrt{3}}{9}\), 극솟값은 \(g\left(2 + \dfrac{2\sqrt{3}}{3}\right) = -\dfrac{16\sqrt{3}}{9}\)이므로 최댓값은 \(\dfrac{16\sqrt{3}}{9}\), 최솟값은 \(-\dfrac{16\sqrt{3}}{9}\)이다.
| 배점 단계 | 경북대학교 AAT 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
|---|
| [3-1] 6점 | • \((x-1)(x-2)\) 인수 조건 적용 +3점 / \(a = -5,\; b = 8\) 및 \((x-1)(x-2)^2\) 도출 +3점 |
| [3-2] 7점 | • 연속성에 의해 \(f(x) = x - 2\) 확정 +4점 / \(f(1) = -1,\; f(2) = 0\) 산출 +3점 |
| [3-3] 7점 | • \(g'(x) = 3x^2 - 12x + 8 = 0\) 극점 도출 +4점 / 최댓값 \(\dfrac{16\sqrt{3}}{9}\), 최솟값 \(-\dfrac{16\sqrt{3}}{9}\) 산출 +3점 |
⚠️ 경북대학교 AAT 감점 방어 & 수리논술 클리닉: 삼차다항식이 \((x - 1)(x - 2)\)를 인수로 갖고 최고차항 계수가 \(1\), 상수항이 \(-4\)이면 나머지 일차인수의 상수항이 \(-4/2 = -2\)임을 이용하여 연립방정식 없이 즉시 \((x - 1)(x - 2)^2\)을 찾을 수 있습니다.
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.45 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-06, 12미적Ⅰ-02-07]
✅ 최종 정답 요약: [4-1] \(g'(c) = 3c^2 + 3\) (\(a < c < b\))로부터 부등식 증명 완료 | [4-2] \(10 \le f(3) \le 30\) | [4-3] \(c = \dfrac{\sqrt{39}}{3}\), 접선 \(y = 16x - \dfrac{26\sqrt{39}}{9}\)
[1줄 공식선언 (30%)]: \([a, b]\)에서 평균값 정리에 의해 \(\dfrac{g(b) - g(a)}{b - a} = g'(c) = 3(c^2 + 1)\)인 \(c \in (a, b)\)가 존재한다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: \(0 < a < c < b\)이므로 \(3(a^2 + 1) < 3(c^2 + 1) < 3(b^2 + 1)\)이고 양변에 \(b - a > 0\)을 곱하면 부등식이 성립한다. 또한 \(h_1(x) = f(x) - x^2\)은 \(h_1'(x) = f'(x) - 2x \ge 0\)이므로 \(f(3) - 9 \ge f(1) - 1 = 1 \implies f(3) \ge 10\)이고, \(h_2(x) = x^3 + x - f(x)\)는 \(h_2'(x) \ge 0\)이므로 \(30 - f(3) \ge 2 - 2 = 0 \implies f(3) \le 30\)이다.
[3줄 최종결론 (30%)]: \(\dfrac{g(3) - g(1)}{3 - 1} = \dfrac{36 - 4}{2} = 16 = 3c^2 + 3 \implies c^2 = \dfrac{13}{3} \implies c = \dfrac{\sqrt{39}}{3}\)이고, 접선은 \(y = 16(x - c) + c^3 + 3c = 16x - 2c^3 = 16x - \dfrac{26\sqrt{39}}{9}\)이다.
| 배점 단계 | 경북대학교 AAT 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
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| [4-1] 6점 | • 평균값 정리 \(g(b)-g(a) = 3(c^2+1)(b-a)\) 적용 +3점 / \(a < c < b\) 대소 비교로 증명 완성 +3점 |
| [4-2] 7점 | • 보조함수 \(f(x)-x^2\) 및 \(x^3+x-f(x)\)의 단조성 활용 +4점 / \(10 \le f(3) \le 30\) 산출 +3점 |
| [4-3] 7점 | • 평균변화율 \(16\) 및 \(c = \dfrac{\sqrt{39}}{3}\) 도출 +4점 / 접선 방정식 완성 +3점 |
⚠️ 경북대학교 AAT 감점 방어 & 수리논술 클리닉: 도함수 부등식 \(p'(x) \le f'(x) \le q'(x)\)가 주어졌을 때는 차이 함수 \(f(x) - p(x)\)와 \(q(x) - f(x)\)에 평균값 정리를 적용하면 가장 정밀한 상·하한을 얻을 수 있습니다.
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.1 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]
✅ 최종 정답 요약: [5-1] \(a = \dfrac{9}{4},\; b = -\dfrac{5}{2}\) | [5-2] \(f(x) = x^3 - 3x^2 + \dfrac{9}{2}x - \dfrac{1}{2}\), 극값 없음 | [5-3] \(4\)
[1줄 공식선언 (30%)]: 좌변과 그 도함수는 모두 \(x = 1\)에서 \(0\)이 되므로 우변을 \(g(x)\)라 할 때 \(g(1) = 0,\; g'(1) = 0\)이다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: \(g(1) = \dfrac{1}{4} - 1 + a + b + 1 = a + b + \dfrac{1}{4} = 0\)이고 \(g'(x) = x^3 - 3x^2 + 2ax + b\)에서 \(g'(1) = 1 - 3 + 2a + b = 2a + b - 2 = 0\)이다. 연립하면 \(a = \dfrac{9}{4},\; b = -\dfrac{5}{2}\)이다! 따라서 \(f(x) - f(1) = g'(x) = x^3 - 3x^2 + \dfrac{9}{2}x - \dfrac{5}{2}\)이고 \(f(1) = 2\)이므로 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + \dfrac{9}{2}x - \dfrac{1}{2}\)이다.
[3줄 최종결론 (30%)]: \(f'(x) = 3x^2 - 6x + \dfrac{9}{2} = 3(x - 1)^2 + \dfrac{3}{2} > 0\)이므로 \(f(x)\)는 실수 전체에서 순증가하여 극값을 갖지 않는다. 또한 \(f(x) = (x - 1)^3 + \dfrac{3}{2}(x - 1) + 2\)는 점 \((1, 2)\)에 대하여 대칭이므로 \(\int_{0}^{2} f(x)\,dx = 2 \times 2 = 4\)이다.
| 배점 단계 | 경북대학교 AAT 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
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| [5-1] 6점 | • \(g(1) = 0,\; g'(1) = 0\) 연립식 수립 +3점 / \(a = \dfrac{9}{4},\; b = -\dfrac{5}{2}\) 산출 +3점 |
| [5-2] 7점 | • \(f(x) = x^3 - 3x^2 + \dfrac{9}{2}x - \dfrac{1}{2}\) 도출 +4점 / \(f'(x) > 0\)으로 극값 없음 판정 +3점 |
| [5-3] 7점 | • \((1, 2)\) 대칭성 또는 직접 적분 적용 +4점 / 정적분 값 \(4\) 산출 +3점 |
⚠️ 경북대학교 AAT 감점 방어 & 수리논술 클리닉: 삼차함수 \(f(x)\)의 변곡점이 \((1, f(1)) = (1, 2)\)이므로 대칭 구간 \([0, 2]\)에서의 정적분은 직사각형 넓이 \((2 - 0) \times f(1) = 4\)와 항상 같습니다.