🎯 경북대학교 맞춤형 출제 트랙: Track A (AAT 수리논술 — 제시문 기반 다단계 소문항 논증형) | 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수
[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.4 탐구 1 변형 | 성취기준: 12대수01-05, 12대수01-06]
[제시문 (가)] 지수방정식 \(a^{2x} - p\,a^x + q = 0\) (\(a > 1\))에서 \(t = a^x\) (\(t > 0\))로 치환한 이차방정식 \(t^2 - pt + q = 0\)의 두 양의 실근을 \(t_1, t_2\)라 하면, 원래 방정식의 두 실근 \(\alpha, \beta\)에 대하여 \(a^{\alpha} + a^{\beta} = t_1 + t_2 = p\)이고 \(a^{\alpha + \beta} = t_1 t_2 = q\)가 성립한다.
실수 \(x\)에 대한 지수방정식 \(9^x - 2(k + 1)\cdot 3^x + 27 = 0\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[문항 1-1] (6점) 주어진 지수방정식이 서로 다른 두 실근 \(\alpha, \beta\)를 갖기 위한 필요충분조건은 치환된 이차방정식 \(t^2 - 2(k + 1)t + 27 = 0\)이 서로 다른 두 양의 실근을 갖는 것임을 설명하고, 이때 \(\alpha + \beta\)의 값을 \(k\)에 관계없이 구하시오.
[문항 1-2] (7점) 주어진 방정식이 서로 다른 두 실근을 갖도록 하는 실수 \(k\)의 값의 범위를 구하고, 두 실근이 모두 양수(\(\alpha > 0,\; \beta > 0\))가 되도록 하는 실수 \(k\)의 값의 범위를 구하시오.
[문항 1-3] (7점) 두 실근의 차가 \(\beta - \alpha = 1\) (\(\alpha < \beta\))일 때, 상수 \(k\)의 값과 \(3^{2\alpha} + 3^{2\beta}\)의 값을 각각 구하시오.
[경북대학교 AAT 수리논술 답안 작성란 — 제2회 문항 1 (20점)]
• 소문항 [문항 1-1](6점), [문항 1-2](7점), [문항 1-3](7점)의 풀이 과정과 논거를 명확히 구분하여 서술하시오.
🎯 경북대학교 맞춤형 출제 트랙: Track A (AAT 수리논술 — 제시문 기반 다단계 소문항 논증형) | 대수 Ⅱ. 삼각함수
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.41 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]
[제시문 (가)] 양수 \(a, b\)에 대하여 함수 \(f(x) = a\cos\bigl(b(x - c)\bigr) + d\)의 최댓값은 \(a + d\), 최솟값은 \(-a + d\), 주기는 \(T = \dfrac{2\pi}{b}\)이며, 그래프는 \(f(x)\)가 최댓값 또는 최솟값을 갖는 모든 직선 \(x = x_0\)에 대하여 선대칭이다.
세 양수 \(a, b, c\) (\(0 < c < \dfrac{\pi}{2}\))와 상수 \(d\)에 대하여 함수 \(f(x) = a\cos(bx - c) + d\)가 다음 세 조건을 만족시킨다.
(가) 함수 \(f(x)\)의 최댓값은 \(5\), 최솟값은 \(-1\)이고 주기는 \(\pi\)이다.
(나) \(f\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = 5\)이다.
다음 물음에 답하시오.
[문항 2-1] (6점) 조건 (가), (나)를 이용하여 네 상수 \(a, b, c, d\)의 값을 각각 구하시오.
[문항 2-2] (7점) 닫힌구간 \([0, 2\pi]\)에서 방정식 \(f(x) = 2\)를 만족시키는 모든 실근을 구하고 그 합을 구하시오.
[문항 2-3] (7점) 닫힌구간 \([0, 2\pi]\)에서 부등식 \(f(x) \le \dfrac{7}{2}\)을 만족시키는 \(x\)의 구간의 길이의 총합을 구하시오.
[경북대학교 AAT 수리논술 답안 작성란 — 제2회 문항 2 (20점)]
• 소문항 [문항 2-1](6점), [문항 2-2](7점), [문항 2-3](7점)의 풀이 과정과 논거를 명확히 구분하여 서술하시오.
🎯 경북대학교 맞춤형 출제 트랙: Track A (AAT 수리논술 — 제시문 기반 다단계 소문항 논증형) | 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.40 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03, 12미적Ⅰ-01-04]
[제시문 (가)] 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \((x - a)(x - b)f(x) = p(x)\) (\(a \ne b\), \(p(x)\)는 다항함수)를 만족시키면, \(x = a, b\)에서 \(p(a) = p(b) = 0\)이고 \(f(a) = \lim_{x \to a} \dfrac{p(x)}{(x - a)(x - b)}\)이다.
실수 전체의 집합에서 연속인 함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 등식 \((x^2 - 3x + 2)f(x) = x^3 + ax^2 + bx - 4\)를 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.
[문항 3-1] (6점) 등식의 양변에 \(x = 1,\; x = 2\)를 각각 대입하여 상수 \(a, b\)의 값을 구하고, 우변의 삼차다항식을 인수분해하시오.
[문항 3-2] (7점) 함수 \(f(x)\)가 실수 전체에서 연속임을 이용하여 \(f(1)\)과 \(f(2)\)의 값을 각각 구하시오.
[문항 3-3] (7점) 닫힌구간 \([0, 3]\)에서 함수 \(g(x) = f(x) \cdot (x^2 - 4x)\)의 최댓값과 최솟값을 각각 구하시오.
[경북대학교 AAT 수리논술 답안 작성란 — 제2회 문항 3 (20점)]
• 소문항 [문항 3-1](6점), [문항 3-2](7점), [문항 3-3](7점)의 풀이 과정과 논거를 명확히 구분하여 서술하시오.
🎯 경북대학교 맞춤형 출제 트랙: Track A (AAT 수리논술 — 제시문 기반 다단계 소문항 논증형) | 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.45 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-06, 12미적Ⅰ-02-07]
[제시문 (가)] 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속이고 열린구간 \((a, b)\)에서 미분가능한 함수 \(f(x)\)에 대하여 모든 \(x \in (a, b)\)에서 \(m \le f'(x) \le M\)이면, 평균값 정리에 의해 \(m(b - a) \le f(b) - f(a) \le M(b - a)\)가 성립한다.
미분가능한 함수 \(f(x)\)와 삼차함수 \(g(x) = x^3 + 3x\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[문항 4-1] (6점) \(0 < a < b\)인 임의의 두 실수 \(a, b\)에 대하여 닫힌구간 \([a, b]\)에서 함수 \(g(x) = x^3 + 3x\)에 평균값 정리를 적용함으로써 부등식 \(3(a^2 + 1)(b - a) < g(b) - g(a) < 3(b^2 + 1)(b - a)\)가 성립함을 증명하시오.
[문항 4-2] (7점) 실수 전체에서 미분가능한 함수 \(f(x)\)가 \(f(1) = 2\)이고 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(2x \le f'(x) \le 3x^2 + 1\)을 만족시킬 때, 제시문 (가)를 이용하여 \(f(3)\)이 가질 수 있는 값의 범위를 구하시오. (또는 도함수 부정적분 비교와 평균값 정리 적용)
[문항 4-3] (7점) 닫힌구간 \([1, 3]\)에서 함수 \(g(x) = x^3 + 3x\)의 평균변화율과 같은 순간변화율을 갖는 점 \(x = c\)를 구하고, 곡선 \(y = g(x)\) 위의 점 \((c, g(c))\)에서의 접선의 방정식을 구하시오.
[경북대학교 AAT 수리논술 답안 작성란 — 제2회 문항 4 (20점)]
• 소문항 [문항 4-1](6점), [문항 4-2](7점), [문항 4-3](7점)의 풀이 과정과 논거를 명확히 구분하여 서술하시오.
🎯 경북대학교 맞춤형 출제 트랙: Track A (AAT 수리논술 — 제시문 기반 다단계 소문항 논증형) | 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.1 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]
[제시문 (가)] 미분가능한 함수 \(f(x)\)가 항등식 \(\int_{a}^{x} (x - t)f'(t)\,dt = g(x)\)를 만족시킬 때, 좌변을 \(x\int_{a}^{x} f'(t)\,dt - \int_{a}^{x} t f'(t)\,dt\)로 전개하여 양변을 \(x\)에 대하여 미분하면 \(\int_{a}^{x} f'(t)\,dt = f(x) - f(a) = g'(x)\)가 된다.
다항함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 등식 \(\int_{1}^{x} (x - t)f'(t)\,dt = \dfrac{1}{4}x^4 - x^3 + ax^2 + bx + 1\)을 만족시키고 \(f(1) = 2\)일 때, 다음 물음에 답하시오.
[문항 5-1] (6점) 주어진 항등식의 양변에 \(x = 1\)을 대입한 식과 한 번 미분한 뒤 \(x = 1\)을 대입한 식을 연립하여 상수 \(a, b\)의 값을 각각 구하시오.
[문항 5-2] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 다항함수 \(f(x)\)를 구하고, 함수 \(f(x)\)의 극값을 구하시오.
[문항 5-3] (7점) 정적분 \(\int_{0}^{2} f(x)\,dx\)의 값을 구하시오.
[경북대학교 AAT 수리논술 답안 작성란 — 제2회 문항 5 (20점)]
• 소문항 [문항 5-1](6점), [문항 5-2](7점), [문항 5-3](7점)의 풀이 과정과 논거를 명확히 구분하여 서술하시오.