[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.4 탐구 1 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]
✅ 최종 정답 요약: [1-1] \(12\)개, 최솟값 \(6\), 최댓값 \(432\) | [1-2] \(2\)개 | [1-3] \(186\)
[1줄 공식선언 (30%)]: \(X = 2^{m/3}\cdot 3^{n/4}\)이 자연수가 되려면 \(m\)은 \(3\)의 배수, \(n\)은 \(4\)의 배수여야 한다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: \(m \in \{3, 6, 9, 12\}\) (\(4\)개), \(n \in \{4, 8, 12\}\) (\(3\)개)이므로 순서쌍 개수는 \(4 \times 3 = 12\)개이다. 최솟값은 \((3, 4)\)일 때 \(2^1\cdot 3^1 = 6\), 최댓값은 \((12, 12)\)일 때 \(2^4\cdot 3^3 = 16 \times 27 = 432\)이다. 또한 \(\sqrt{X} = 2^{m/6}\cdot 3^{n/8}\)이 유리수(자연수)가 되려면 \(m \in \{6, 12\}\) (\(2\)개), \(n \in \{8\}\) (\(1\)개)이므로 \(2 \times 1 = 2\)개이다.
[3줄 최종결론 (30%)]: \(X\)가 자연수인 \(12\)개의 경우 모두 \(m/3 \ge 1,\; n/4 \ge 1\)이므로 항상 \(2^1\cdot 3^1 = 6\)을 인수로 갖는다. 따라서 \(12\)개 순서쌍 전체에서 \(\sum (m + n) = 3\sum m + 4\sum n = 3(3+6+9+12) + 4(4+8+12) = 90 + 96 = 186\)이다.
| 배점 단계 | 경북대학교 AAT 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
|---|
| [1-1] 6점 | • \(m \in \{3,6,9,12\},\; n \in \{4,8,12\}\)로 \(12\)개 도출 +3점 / 최솟값 \(6\), 최댓값 \(432\) 산출 +3점 |
| [1-2] 7점 | • \(\sqrt{X} = 2^{m/6}\cdot 3^{n/8}\) 변환 +3점 / \(m \in \{6,12\},\; n \in \{8\}\)로 \(2\)개 도출 +4점 |
| [1-3] 7점 | • 모든 자연수 \(X\)가 \(6\)의 배수임을 확인 +3점 / \(\sum(m+n) = 90 + 96 = 186\) 산출 +4점 |
⚠️ 경북대학교 AAT 감점 방어 & 수리논술 클리닉: 순서쌍 전체에 대한 \(\sum_{(m,n)} (m + n)\)을 계산할 때 \(m\)은 각 값마다 \(n\)의 개수(\(3\)번)만큼, \(n\)은 각 값마다 \(m\)의 개수(\(4\)번)만큼 더해짐에 유의하십시오.
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.40 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03]
✅ 최종 정답 요약: [2-1] \(\overline{\mathrm{BD}} = 2\sqrt{7},\; R = \dfrac{2\sqrt{21}}{3}\) | [2-2] \(\overline{\mathrm{BC}} = \overline{\mathrm{CD}} = \dfrac{2\sqrt{21}}{3},\; S = \dfrac{25\sqrt{3}}{3}\) | [2-3] \(\overline{\mathrm{AC}} = \dfrac{10\sqrt{3}}{3}\)
[1줄 공식선언 (30%)]: 코사인법칙 \(\overline{\mathrm{BD}}^2 = 4^2 + 6^2 - 2\cdot 4\cdot 6\cos 60^\circ\)를 적용한다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: \(\overline{\mathrm{BD}}^2 = 16 + 36 - 24 = 28 \implies \overline{\mathrm{BD}} = 2\sqrt{7}\)이고, 사인법칙에서 \(R = \dfrac{2\sqrt{7}}{2\sin 60^\circ} = \dfrac{2\sqrt{21}}{3}\)이다. \(\overline{\mathrm{BC}} = \overline{\mathrm{CD}} = x\)라 하면 \(\angle C = 120^\circ\)이므로 \(28 = x^2 + x^2 - 2x^2\cos 120^\circ = 3x^2 \implies x = \dfrac{2\sqrt{21}}{3}\)이다. 따라서 \(S = \triangle \mathrm{ABD} + \triangle \mathrm{CBD} = \dfrac{1}{2}\cdot 4\cdot 6\sin 60^\circ + \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{28}{3}\sin 120^\circ = 6\sqrt{3} + \dfrac{7\sqrt{3}}{3} = \dfrac{25\sqrt{3}}{3}\)이다.
[3줄 최종결론 (30%)]: \(\overline{\mathrm{BC}} = \overline{\mathrm{CD}}\)이므로 호 \(\mathrm{BC}\)와 호 \(\mathrm{CD}\)의 원주각이 같아 \(\angle \mathrm{BAC} = \angle \mathrm{DAC} = 30^\circ\)이다. 따라서 \(S = \triangle \mathrm{ABC} + \triangle \mathrm{ADC} = \dfrac{1}{2}\cdot 4\cdot\overline{\mathrm{AC}}\sin 30^\circ + \dfrac{1}{2}\cdot 6\cdot\overline{\mathrm{AC}}\sin 30^\circ = \dfrac{5}{2}\overline{\mathrm{AC}} = \dfrac{25\sqrt{3}}{3} \implies \overline{\mathrm{AC}} = \dfrac{10\sqrt{3}}{3}\)이다.
| 배점 단계 | 경북대학교 AAT 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
|---|
| [2-1] 6점 | • \(\overline{\mathrm{BD}} = 2\sqrt{7}\) 도출 +3점 / \(R = \dfrac{2\sqrt{21}}{3}\) 산출 +3점 |
| [2-2] 7점 | • \(3x^2 = 28 \implies x = \dfrac{2\sqrt{21}}{3}\) 도출 +4점 / 넓이 \(S = \dfrac{25\sqrt{3}}{3}\) 산출 +3점 |
| [2-3] 7점 | • 원주각 성질로 \(\angle \mathrm{BAC} = \angle \mathrm{DAC} = 30^\circ\) 유도 +4점 / \(\overline{\mathrm{AC}} = \dfrac{10\sqrt{3}}{3}\) 산출 +3점 |
⚠️ 경북대학교 AAT 감점 방어 & 수리논술 클리닉: 현의 길이가 같으면(\(\overline{\mathrm{BC}} = \overline{\mathrm{CD}}\)) 원주각의 크기도 같으므로 대각선 \(\mathrm{AC}\)가 \(\angle \mathrm{BAD} = 60^\circ\)를 \(30^\circ, 30^\circ\)로 이등분한다는 성질이 핵심입니다.
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.39 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]
✅ 최종 정답 요약: [3-1] \(L(t) = \dfrac{3t + 1}{\sqrt{4t^2 + 3t + 1} + 2t},\; \alpha = \dfrac{3}{4}\) | [3-2] \(\dfrac{7}{64}\) | [3-3] \(-\dfrac{1}{2}\)
[1줄 공식선언 (30%)]: \(L(t) = \sqrt{4t^2 + 3t + 1} - 2t = \dfrac{(4t^2 + 3t + 1) - 4t^2}{\sqrt{4t^2 + 3t + 1} + 2t} = \dfrac{3t + 1}{\sqrt{4t^2 + 3t + 1} + 2t}\)이다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: 분모·분자를 \(t\)로 나누면 \(\alpha = \lim_{t \to \infty} L(t) = \dfrac{3}{2 + 2} = \dfrac{3}{4}\)이다. 또한 \(L(t) - \dfrac{3}{4} = \dfrac{4\sqrt{4t^2 + 3t + 1} - (8t + 3)}{4} = \dfrac{16(4t^2 + 3t + 1) - (64t^2 + 48t + 9)}{4\bigl(4\sqrt{4t^2 + 3t + 1} + 8t + 3\bigr)} = \dfrac{7}{4\bigl(4\sqrt{4t^2 + 3t + 1} + 8t + 3\bigr)}\)이므로 \(t\)를 곱한 뒤 \(t \to \infty\)의 극한을 취하면 \(\dfrac{7}{4(8 + 8)} = \dfrac{7}{64}\)이다.
[3줄 최종결론 (30%)]: \(L(t) - 1 = \sqrt{4t^2 + 3t + 1} - (2t + 1) = \dfrac{(4t^2 + 3t + 1) - (4t^2 + 4t + 1)}{\sqrt{4t^2 + 3t + 1} + 2t + 1} = \dfrac{-t}{\sqrt{4t^2 + 3t + 1} + 2t + 1}\)이므로 \(\lim_{t \to 0+} \dfrac{L(t) - 1}{t} = \dfrac{-1}{1 + 0 + 1} = -\dfrac{1}{2}\)이다.
| 배점 단계 | 경북대학교 AAT 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
|---|
| [3-1] 6점 | • 유리화 식 \(\dfrac{3t+1}{\sqrt{4t^2+3t+1}+2t}\) 유도 +3점 / \(\alpha = \dfrac{3}{4}\) 산출 +3점 |
| [3-2] 7점 | • \(L(t) - \dfrac{3}{4}\)의 재유리화로 분자 상수 \(7\) 유도 +4점 / 극한값 \(\dfrac{7}{64}\) 산출 +3점 |
| [3-3] 7점 | • \(L(t) - 1\) 유리화로 분자 \(-t\) 도출 +4점 / 극한값 \(-\dfrac{1}{2}\) 산출 +3점 |
⚠️ 경북대학교 AAT 감점 방어 & 수리논술 클리닉: 무한대에서의 \(t\bigl(L(t) - \alpha\bigr)\) 극한은 \(\sqrt{4t^2 + 3t + 1} - \left(2t + \dfrac{3}{4}\right)\)을 한 번에 유리화하면 일차항까지 정확히 소거되어 분자에 상수 \(\dfrac{7}{16}\)만 남습니다.
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.44 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-07]
✅ 최종 정답 요약: [4-1] 극댓값 \(f(-1) = 16\), 극솟값 \(f(3) = -16\), 중점 \(\mathrm{M}(1, 0)\) | [4-2] \(l : y = -9x + 11,\; \mathrm{B}(3, -16)\) | [4-3] \(x_{n+1} = -2x_n + 3,\; x_6 = 33\)
[1줄 공식선언 (30%)]: \(f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x + 1)(x - 3) = 0\)에서 두 극점 \(x = -1, 3\)을 구한다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: 극댓값은 \(f(-1) = 16\), 극솟값은 \(f(3) = -16\)이며 중점은 \(\mathrm{M}(1, 0)\)이다. 또한 \(f'(0) = -9\)이므로 접선은 \(y = -9x + 11\)이고, \(2(0) + s = -\dfrac{-3}{1} = 3 \implies s = 3\)이므로 \(\mathrm{B}(3, -16)\)이다.
[3줄 최종결론 (30%)]: 제시문 (가)에 의해 모든 \(n \ge 1\)에서 \(2x_n + x_{n+1} = 3 \iff x_{n+1} - 1 = -2(x_n - 1)\)이다. 따라서 \(x_n - 1 = (x_1 - 1)(-2)^{n-1} = -(-2)^{n-1}\)이므로 \(x_6 = 1 - (-2)^5 = 1 + 32 = 33\)이다.
| 배점 단계 | 경북대학교 AAT 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
|---|
| [4-1] 6점 | • 극댓값 \(16\), 극솟값 \(-16\) 산출 +4점 / 중점 \(\mathrm{M}(1, 0)\) 도출 +2점 |
| [4-2] 7점 | • 접선 \(y = -9x + 11\) 도출 +3점 / \(2(0) + s = 3 \implies \mathrm{B}(3, -16)\) 산출 +4점 |
| [4-3] 7점 | • \(2x_n + x_{n+1} = 3 \implies x_{n+1} - 1 = -2(x_n - 1)\) 유도 +4점 / \(x_6 = 33\) 산출 +3점 |
⚠️ 경북대학교 AAT 감점 방어 & 수리논술 클리닉: 삼차함수의 변곡점 \(x\)좌표가 \(m = -\dfrac{b}{3a}\)일 때 접점 \(x_n\)과 재교점 \(x_{n+1}\) 사이에는 항상 \(x_{n+1} - m = -2(x_n - m)\)이라는 공비 \(-2\) 등비 관계가 성립합니다.
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.46 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]
✅ 최종 정답 요약: [5-1] \(\dfrac{1}{4}(\beta-\alpha)^4 - \dfrac{1}{3}(\beta-\alpha)^4 = -\dfrac{1}{12}(\beta-\alpha)^4\) 증명 완료 | [5-2] \(x(\mathrm{Q}) = -2t,\; S(t) = \dfrac{27}{4}t^4\) | [5-3] \(S(1) = \dfrac{27}{4}\), \(16\)배
[1줄 공식선언 (30%)]: \((x - \alpha)^2(x - \beta) = (x - \alpha)^3 - (\beta - \alpha)(x - \alpha)^2\)으로 분해하여 적분한다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: \(\Bigl[\dfrac{1}{4}(x-\alpha)^4 - \dfrac{\beta-\alpha}{3}(x-\alpha)^3\Bigr]_{\alpha}^{\beta} = \left(\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{3}\right)(\beta - \alpha)^4 = -\dfrac{1}{12}(\beta - \alpha)^4\)이다. \(f(x) = x^3 - 3x\)에서 \(x^2\)의 계수가 \(0\)이므로 \(2t + x(\mathrm{Q}) = 0 \implies x(\mathrm{Q}) = -2t\)이다. 따라서 두 교점 간격은 \(t - (-2t) = 3t\)이므로 \(S(t) = \dfrac{1}{12}(3t)^4 = \dfrac{81}{12}t^4 = \dfrac{27}{4}t^4\)이다.
[3줄 최종결론 (30%)]: \(t = 1\)일 때 \(S(1) = \dfrac{27}{4}\)이고, 점 \(\mathrm{Q}(-2, -2)\)에서의 접선이 만드는 넓이는 \(|t| = 2\)일 때와 같으므로 \(\dfrac{S(2)}{S(1)} = 2^4 = 16\)배이다.
| 배점 단계 | 경북대학교 AAT 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
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| [5-1] 6점 | • \((x-\alpha)^3 - (\beta-\alpha)(x-\alpha)^2\) 분해 +3점 / 적분 계산으로 \(-\dfrac{1}{12}(\beta-\alpha)^4\) 유도 +3점 |
| [5-2] 7점 | • \(x(\mathrm{Q}) = -2t\) 도출 +3점 / \(S(t) = \dfrac{1}{12}(3t)^4 = \dfrac{27}{4}t^4\) 산출 +4점 |
| [5-3] 7점 | • \(S(1) = \dfrac{27}{4}\) 산출 +3점 / 넓이 비 \(2^4 = 16\)배 도출 +4점 |
⚠️ 경북대학교 AAT 감점 방어 & 수리논술 클리닉: 삼차함수 위의 점 \(x = t\)에서 그은 접선으로 둘러싸인 넓이에서 재교점 \(x = -2t\)에서 다시 접선을 그으면 교점 간격이 \(2\)배로 늘어나므로 넓이는 항상 \(2^4 = 16\)배씩 커집니다.