🎯 경북대학교 맞춤형 출제 트랙: Track A (AAT 수리논술 — 제시문 기반 다단계 소문항 논증형) | 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그
[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.4 탐구 1 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]
[제시문 (가)] 양수 \(a\)와 자연수 \(m, n\) (\(n \ge 2\))에 대하여 \(\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}\)이며, 소인수분해된 수 \(2^p \cdot 3^q\) (\(p, q\)는 유리수)이 자연수가 되기 위한 필요충분조건은 \(p\)와 \(q\)가 모두 \(0\) 이상의 정수인 것이다.
\(2 \le m \le 12,\; 2 \le n \le 12\)인 두 자연수 \(m, n\)에 대하여 실수 \(X = \sqrt[3]{2^m} \cdot \sqrt[4]{3^n} = 2^{\frac{m}{3}} \cdot 3^{\frac{n}{4}}\)라 할 때, 다음 물음에 답하시오.
[문항 1-1] (6점) 실수 \(X\)가 자연수가 되도록 하는 두 자연수의 순서쌍 \((m, n)\)의 개수를 구하고, 그때 \(X\)의 최솟값과 최댓값을 각각 구하시오.
[문항 1-2] (7점) \(\sqrt{X}\)가 유리수가 되도록 하는 두 자연수의 순서쌍 \((m, n)\)의 개수를 구하시오.
[문항 1-3] (7점) \(X\)가 \(6\)의 배수가 되도록 하는 순서쌍 \((m, n)\)에 대하여 \(\sum_{(m, n)} (m + n)\)의 값을 구하시오.
[경북대학교 AAT 수리논술 답안 작성란 — 제1회 문항 1 (20점)]
• 소문항 [문항 1-1](6점), [문항 1-2](7점), [문항 1-3](7점)의 풀이 과정과 논거를 명확히 구분하여 서술하시오.
🎯 경북대학교 맞춤형 출제 트랙: Track A (AAT 수리논술 — 제시문 기반 다단계 소문항 논증형) | 대수 Ⅱ. 삼각함수
[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.40 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03]
[제시문 (가)] 원에 내접하는 사각형 \(\mathrm{ABCD}\)에서 마주보는 두 내각의 합은 \(\pi\)이므로 \(\cos(\angle \mathrm{BCD}) = -\cos(\angle \mathrm{BAD})\)이고 \(\sin(\angle \mathrm{BCD}) = \sin(\angle \mathrm{BAD})\)이다.
원에 내접하는 사각형 \(\mathrm{ABCD}\)에서 \(\overline{\mathrm{AB}} = 4,\; \overline{\mathrm{AD}} = 6,\; \overline{\mathrm{BC}} = \overline{\mathrm{CD}}\)이고 \(\angle \mathrm{BAD} = \dfrac{\pi}{3}\;(60^\circ)\)일 때, 다음 물음에 답하시오.
[문항 2-1] (6점) 삼각형 \(\mathrm{ABD}\)에 코사인법칙을 적용하여 대각선 \(\overline{\mathrm{BD}}\)의 길이를 구하고, 사각형 \(\mathrm{ABCD}\)가 내접하는 원의 반지름 \(R\)를 구하시오.
[문항 2-2] (7점) \(\angle \mathrm{BCD} = \dfrac{2\pi}{3}\;(120^\circ)\)임을 이용하여 \(\overline{\mathrm{BC}} = \overline{\mathrm{CD}}\)의 길이를 구하고, 사각형 \(\mathrm{ABCD}\)의 넓이 \(S\)를 구하시오.
[문항 2-3] (7점) 다른 대각선 \(\overline{\mathrm{AC}}\)의 길이를 사각형의 넓이 분할(\(\triangle \mathrm{ABC} + \triangle \mathrm{ADC} = S\))을 이용하여 구하시오.
[경북대학교 AAT 수리논술 답안 작성란 — 제1회 문항 2 (20점)]
• 소문항 [문항 2-1](6점), [문항 2-2](7점), [문항 2-3](7점)의 풀이 과정과 논거를 명확히 구분하여 서술하시오.
🎯 경북대학교 맞춤형 출제 트랙: Track A (AAT 수리논술 — 제시문 기반 다단계 소문항 논증형) | 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.39 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]
[제시문 (가)] 무리식이 포함된 \(\infty - \infty\) 꼴 또는 \(\dfrac{0}{0}\) 꼴의 극한은 분자 또는 분모에 켤레무리식을 곱하여 유리화한 뒤 공통인수를 약분하여 계산한다.
양수 \(t > 0\)에 대하여 직선 \(x = t\)가 두 곡선 \(y = \sqrt{4x^2 + 3x + 1},\; y = 2x\)와 만나는 점을 각각 \(\mathrm{P}, \mathrm{Q}\)라 하고, 선분 \(\mathrm{PQ}\)의 길이를 \(L(t)\)라 할 때, 다음 물음에 답하시오.
[문항 3-1] (6점) 선분 \(\mathrm{PQ}\)의 길이 \(L(t)\)를 유리화하여 분모가 무리식의 합인 형태로 나타내고, 극한값 \(\lim_{t \to \infty} L(t)\)를 구하시오.
[문항 3-2] (7점) [문항 3-1]에서 구한 극한값을 \(\alpha\)라 할 때, 극한값 \(\lim_{t \to \infty} t\bigl(L(t) - \alpha\bigr)\)를 구하시오.
[문항 3-3] (7점) \(t \to 0+\)일 때, 극한값 \(\lim_{t \to 0+} \dfrac{L(t) - 1}{t}\)를 구하시오.
[경북대학교 AAT 수리논술 답안 작성란 — 제1회 문항 3 (20점)]
• 소문항 [문항 3-1](6점), [문항 3-2](7점), [문항 3-3](7점)의 풀이 과정과 논거를 명확히 구분하여 서술하시오.
🎯 경북대학교 맞춤형 출제 트랙: Track A (AAT 수리논술 — 제시문 기반 다단계 소문항 논증형) | 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.44 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-07]
[제시문 (가)] 최고차항의 계수가 \(a\)인 삼차함수 \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\)의 그래프 위의 점 \(\mathrm{P}(t, f(t))\)에서의 접선 \(y = l(x)\)가 곡선과 다시 만나는 점의 \(x\)좌표를 \(s\)라 하면, \(f(x) - l(x) = a(x - t)^2(x - s)\)이므로 근과 계수의 관계에 의해 \(2t + s = -\dfrac{b}{a}\)가 성립한다.
삼차함수 \(f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 11\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.
[문항 4-1] (6점) 함수 \(f(x)\)의 극댓값과 극솟값을 각각 구하고, 두 극점을 잇는 선분의 중점(변곡점) \(\mathrm{M}\)의 좌표를 구하시오.
[문항 4-2] (7점) 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \(\mathrm{A}(0, 11)\)에서의 접선 \(l\)의 방정식을 구하고, 접선 \(l\)이 곡선 \(y = f(x)\)와 다시 만나는 점 \(\mathrm{B}\)의 좌표를 제시문 (가)를 이용하여 구하시오.
[문항 4-3] (7점) 점 \(\mathrm{B}\)에서의 곡선 \(y = f(x)\)의 접선이 곡선과 다시 만나는 점을 \(\mathrm{C}\)라 하고, 이 과정을 반복하여 얻은 점들의 \(x\)좌표 수열을 \(\{x_n\}\) (\(x_1 = 0,\; x_2 = x(\mathrm{B}),\; x_3 = x(\mathrm{C}), \dots\))이라 할 때, 점화식 \(x_{n+1} - 1 = -2(x_n - 1)\)을 유도하고 \(x_6\)의 값을 구하시오.
[경북대학교 AAT 수리논술 답안 작성란 — 제1회 문항 4 (20점)]
• 소문항 [문항 4-1](6점), [문항 4-2](7점), [문항 4-3](7점)의 풀이 과정과 논거를 명확히 구분하여 서술하시오.
🎯 경북대학교 맞춤형 출제 트랙: Track A (AAT 수리논술 — 제시문 기반 다단계 소문항 논증형) | 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.46 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]
[제시문 (가)] \(\alpha < \beta\)일 때 정적분 \(\int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)^2(x - \beta)\,dx\)는 \(u = x - \alpha\)로 평행이동(또는 \(x - \beta = (x - \alpha) - (\beta - \alpha)\)로 분해)하면 \(\int_{\alpha}^{\beta} \bigl((x - \alpha)^3 - (\beta - \alpha)(x - \alpha)^2\bigr)\,dx = -\dfrac{1}{12}(\beta - \alpha)^4\)이 된다.
삼차함수 \(f(x) = x^3 - 3x\)의 그래프 위의 점 \(\mathrm{P}(t, f(t))\) (\(t > 0\))에서의 접선 \(l_t\)가 곡선 \(y = f(x)\)와 다시 만나는 점을 \(\mathrm{Q}\)라 하고, 곡선 \(y = f(x)\)와 접선 \(l_t\)로 둘러싸인 영역의 넓이를 \(S(t)\)라 할 때, 다음 물음에 답하시오.
[문항 5-1] (6점) 제시문 (가)의 등식 \(\int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)^2(x - \beta)\,dx = -\dfrac{1}{12}(\beta - \alpha)^4\)을 \((x - \beta) = (x - \alpha) - (\beta - \alpha)\)로 분해하여 직접 적분함으로써 증명하시오.
[문항 5-2] (7점) 점 \(\mathrm{P}(t, f(t))\)에서의 접선 \(l_t\)가 곡선 \(y = f(x)\)와 다시 만나는 점 \(\mathrm{Q}\)의 \(x\)좌표를 \(t\)로 나타내고, 둘러싸인 넓이 \(S(t)\)를 \(t\)에 대한 식으로 나타내시오.
[문항 5-3] (7점) \(t = 1\)일 때의 넓이 \(S(1)\)을 구하고, 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \(\mathrm{Q}(-2, f(-2))\)에서의 접선과 곡선으로 둘러싸인 넓이는 \(S(1)\)의 몇 배인지 구하시오.
[경북대학교 AAT 수리논술 답안 작성란 — 제1회 문항 5 (20점)]
• 소문항 [문항 5-1](6점), [문항 5-2](7점), [문항 5-3](7점)의 풀이 과정과 논거를 명확히 구분하여 서술하시오.