(1) 단계별 풀이 (10점): 음이 아닌 정수해의 개수는 ${}_4\mathrm{H}_{12} = {}_{15}\mathrm{C}_{12} = {}_{15}\mathrm{C}_3 = \dfrac{15 \cdot 14 \cdot 13}{6} = 455$이다.
(2) 단계별 풀이 (10점): $x' = x - 2, y' = y - 2, z' = z - 2, w' = w - 2 \ge 0$으로 치환하면 $x' + y' + z' + w' = 4$이므로 개수는 ${}_4\mathrm{H}_4 = {}_7\mathrm{C}_4 = 35$이다.
답: (1) $455$    (2) $35$

(1) 단계별 풀이 (15점): 일반항은 ${}_6\mathrm{C}_r (2x^2)^{6-r}(-x^{-1})^r = {}_6\mathrm{C}_r 2^{6-r}(-1)^r x^{12-3r}$이다. 상수항은 $12 - 3r = 0 \implies r = 4$일 때이므로 ${}_6\mathrm{C}_4 \cdot 2^2 \cdot (-1)^4 = 15 \times 4 = 60$이다.
(2) 단계별 풀이 (15점): $k \cdot {}_{10}\mathrm{C}_k = 10 \cdot {}_9\mathrm{C}_{k-1}$이므로 $\sum_{k=1}^{10} k \cdot {}_{10}\mathrm{C}_k = 10 \sum_{j=0}^9 {}_9\mathrm{C}_j = 10 \times 2^9 = 5120$이다.
답: (1) $60$    (2) $5120$

(1) 단계별 풀이 (10점): $f(1) = f(3) = 0$이고 $f'(c) = 3c^2 - 12c + 11 = 0$에서 $c = \dfrac{6 \pm \sqrt{3}}{3}$인데, 두 값 모두 열린구간 $(1, 3)$에 속한다.
(2) 단계별 풀이 (10점): $\dfrac{f(3) - f(0)}{3 - 0} = \dfrac{0 - (-6)}{3} = 2$이므로 $3c^2 - 12c + 11 = 2 \iff 3c^2 - 12c + 9 = 3(c - 1)(c - 3) = 0$이다. $0 < c < 3$인 상수는 $c = 1$이다.
답: (1) $c = \dfrac{6 \pm \sqrt{3}}{3}$    (2) $c = 1$

(1) 단계별 풀이 (15점): $h'(x) = 12x^3 - 12x^2 = 12x^2(x - 1) = 0$이므로 $x = 0$ (중근) 또는 $x = 1$이다.
(2) 단계별 풀이 (15점): $x = 0$은 변곡점($h(0) = 0, h'(0) = 0$)이므로 $k = h(0) = 0$일 때 $h(x) = x^3(3x - 4) = 0$의 근 중 $x = 0$에서는 미분가능하고 $x = \dfrac{4}{3}$ 한 점에서만 미분가능하지 않다. 따라서 $k = 0$이다.
답: (1) $h'(x) = 12x^2(x - 1),\ x = 0, 1$    (2) $k = 0$