【실전모의고사 9회 문제 1】 (50점)
[출제개념 : 중복조합과 부정방정식의 정수해 개수, 이항정리와 이항계수의 성질]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: KICE_2028) PDF p.4 탐구 11591 변형 | 성취기준: 12확통01-02, 12확통02-02]
※ 다음 제시문을 읽고 물음에 대한 풀이 과정과 답을 제시하시오. (답만 기재하면 0점 처리)
가) 서로 다른 $n$개에서 중복을 허락하여 $r$개를 택하는 중복조합의 수는 ${}_n\mathrm{H}_r = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_r$이다.
나) 이항정리에 의해 $(1 + x)^n = \sum_{r=0}^n {}_n\mathrm{C}_r x^r$이며, 양변에 $x = 1$을 대입하면 $\sum_{r=0}^n {}_n\mathrm{C}_r = 2^n$이다.
[문제 1-1] 방정식 $x + y + z + w = 12$를 만족시키는 정수해의 개수에 대하여 제시문 가)를 이용하여 답하시오.
(1) 음이 아닌 정수해 $(x, y, z, w)$의 순서쌍의 개수를 구하시오. (10점)
(2) 모든 미지수가 $2$ 이상의 자연수인 해 $(x, y, z, w)$의 순서쌍의 개수를 구하시오. (10점)
[문제 1-2] 다항식 $(2x^2 - \dfrac{1}{x})^6$의 전개식과 이항계수에 대하여 제시문 나)를 이용하여 다음 물음에 답하시오.
(1) $(2x^2 - \dfrac{1}{x})^6$의 전개식에서 상수항을 구하시오. (15점)
(2) $\sum_{k=1}^{10} k \cdot {}_{10}\mathrm{C}_k$의 값을 구하시오. (15점)
【실전모의고사 9회 문제 2】 (50점)
[출제개념 : 롤의 정리와 평균값 정리, 절댓값 함수의 미분가능성과 극값]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.4 탐구 11592 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]
※ 다음 제시문을 읽고 물음에 대한 풀이 과정과 답을 제시하시오. (답만 기재하면 0점 처리)
가) 함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속이고 열린구간 $(a, b)$에서 미분가능할 때, $\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c)$를 만족시키는 $c \in (a, b)$가 적어도 하나 존재한다.
나) 다항함수 $h(x)$에 대하여 함수 $|h(x) - k|$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하려면 $h(x) = k$의 모든 실근에서 $h'(x) = 0$이어야 한다.
[문제 2-1] 함수 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$에 대하여 제시문 가)를 이용하여 다음 물음에 답하시오.
(1) 닫힌구간 $[1, 3]$에서 롤의 정리를 만족시키는 상수 $c$ ($1 < c < 3$)의 값을 구하시오. (10점)
(2) 닫힌구간 $[0, 3]$에서 평균값 정리를 만족시키는 모든 상수 $c$ ($0 < c < 3$)의 값의 합을 구하시오. (10점)
[문제 2-2] 사차함수 $h(x) = 3x^4 - 4x^3$에 대하여 제시문 나)를 이용하여 다음 물음에 답하시오.
(1) 함수 $h(x)$의 도함수 $h'(x)$를 구하고, $h'(x) = 0$을 만족시키는 모든 실수 $x$를 구하시오. (15점)
(2) 함수 $|h(x) - k|$가 $x = a$ 한 점에서만 미분가능하지 않도록 하는 실수 $k$의 값을 구하시오. (15점)