(1) 단계별 풀이 (10점): $[0, 2]$에서 두 실근 $x_1, x_2$는 대칭축 $x = \dfrac{1}{2}$에 대하여 대칭이므로 $\dfrac{x_1 + x_2}{2} = \dfrac{1}{2} \implies x_1 + x_2 = 1$이다. $[2, 4]$에서 $x_3, x_4$는 $x = \dfrac{5}{2}$에 대하여 대칭이므로 $x_3 + x_4 = 5$이다.
(2) 단계별 풀이 (10점): 따라서 모든 실근의 합은 $(x_1 + x_2) + (x_3 + x_4) = 1 + 5 = 6$이다.
답: (1) $x_1 + x_2 = 1,\ x_3 + x_4 = 5$    (2) $6$

(1) 단계별 풀이 (15점): $\triangle\mathrm{ABD}$에서 $\overline{\mathrm{BD}}^2 = 3^2 + 2^2 - 12\cos A = 13 - 12\cos A$이고, $\triangle\mathrm{BCD}$에서 $\overline{\mathrm{BD}}^2 = 4^2 + 5^2 + 40\cos A = 41 + 40\cos A$이다. 연립하면 $52\cos A = -28 \implies \cos A = -\dfrac{7}{13}$이다.
(2) 단계별 풀이 (15점): $\sin A = \sqrt{1 - 49/169} = \dfrac{2\sqrt{30}}{13}$이므로 사각형의 넓이는 $\dfrac{1}{2}(3 \cdot 2 + 4 \cdot 5)\sin A = 13 \times \dfrac{2\sqrt{30}}{13} = 2\sqrt{30}$이다.
답: (1) $\cos A = -\dfrac{7}{13}$    (2) $2\sqrt{30}$

(1) 단계별 풀이 (10점): 기함수 항 $x^3 - 4x$의 적분은 $0$이므로 $\int_{-3}^3 f(x)\,dx = 2\int_0^3 (3x^2 + 2)\,dx = 2\Big[x^3 + 2x\Big]_0^3 = 2(27 + 6) = 66$이다.
(2) 단계별 풀이 (10점): $f'(x) = 3x^2 + 6x - 4$이므로 $x f'(x) = 3x^3 + 6x^2 - 4x$이다. 따라서 $\int_{-2}^2 x f'(x)\,dx = 2\int_0^2 6x^2\,dx = 2\Big[2x^3\Big]_0^2 = 32$이다.
답: (1) $66$    (2) $32$

(1) 단계별 풀이 (15점): 제시문 나)에 의해 두 영역의 넓이가 같으려면 $x = 2$가 $0$과 $k$의 중점이어야 하므로 $k = 4$이다.
(2) 단계별 풀이 (15점): 대칭성에 의해 두 영역의 넓이는 같으므로 넓이의 합은 $2\int_0^2 (x^3 - 6x^2 + 8x)\,dx = 2\Big[\dfrac{1}{4}x^4 - 2x^3 + 4x^2\Big]_0^2 = 2(4 - 16 + 16) = 8$이다.
답: (1) $k = 4$    (2) $8$