【실전모의고사 8회 문제 1】 (50점)
[출제개념 : 삼각방정식의 대칭성과 실근의 합, 원에 내접하는 사각형과 코사인법칙]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 탐구 11581 변형 | 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03]
※ 다음 제시문을 읽고 물음에 대한 풀이 과정과 답을 제시하시오. (답만 기재하면 0점 처리)
가) 함수 $y = \sin(\pi x)$의 주기는 $2$이며, 직선 $x = \dfrac{1}{2}$ 및 $x = \dfrac{3}{2}$에 대하여 대칭이다.
나) 원에 내접하는 사각형 $\mathrm{ABCD}$에서 마주보는 두 내각의 합은 $\pi$이므로 $\cos C = -\cos A$이고 $\sin C = \sin A$이다.
[문제 1-1] 닫힌구간 $[0, 4]$에서 방정식 $\sin(\pi x) = \dfrac{1}{3}$의 모든 실근을 작은 것부터 차례대로 $x_1, x_2, x_3, x_4$라 할 때 답하시오.
(1) 대칭축을 이용하여 $x_1 + x_2$와 $x_3 + x_4$의 값을 각각 구하시오. (10점)
(2) 네 실근의 합 $x_1 + x_2 + x_3 + x_4$의 값을 구하시오. (10점)
[문제 1-2] 원에 내접하는 사각형 $\mathrm{ABCD}$에서 $\overline{\mathrm{AB}} = 3, \overline{\mathrm{BC}} = 4, \overline{\mathrm{CD}} = 5, \overline{\mathrm{DA}} = 2$일 때, 제시문 나)를 이용하여 답하시오.
(1) 대각선 $\overline{\mathrm{BD}}^2$를 $\cos A$에 대한 두 가지 식으로 나타내고 $\cos A$의 값을 구하시오. (15점)
(2) 사각형 $\mathrm{ABCD}$의 넓이를 구하시오. (15점)
【실전모의고사 8회 문제 2】 (50점)
[출제개념 : 다항함수의 대칭성과 정적분 항등식, 곡선으로 둘러싸인 넓이의 등분 조건]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.6 탐구 11582 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]
※ 다음 제시문을 읽고 물음에 대한 풀이 과정과 답을 제시하시오. (답만 기재하면 0점 처리)
가) 다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $f(-x) = -f(x)$를 만족시키면 $\int_{-a}^a f(x)\,dx = 0$이고, $f(-x) = f(x)$를 만족시키면 $\int_{-a}^a f(x)\,dx = 2\int_0^a f(x)\,dx$이다.
나) 삼차함수 $y = x(x - a)(x - b)$ ($0 < a < b$)와 $x$축으로 둘러싸인 두 부분의 넓이가 같을 필요충분조건은 $\int_0^b y\,dx = 0$, 즉 $b = 2a$이다.
[문제 2-1] 다항함수 $f(x) = x^3 + 3x^2 - 4x + 2$에 대하여 제시문 가)를 이용하여 다음 물음에 답하시오.
(1) 정적분 $\int_{-3}^3 f(x)\,dx$의 값을 구하시오. (10점)
(2) 정적분 $\int_{-2}^2 x f'(x)\,dx$의 값을 구하시오. (10점)
[문제 2-2] 실수 $k$ ($k > 2$)에 대하여 삼차함수 $g(x) = x(x - 2)(x - k)$의 그래프와 $x$축으로 둘러싸인 두 영역의 넓이가 서로 같을 때 답하시오.
(1) 제시문 나)를 이용하여 상수 $k$의 값을 구하시오. (15점)
(2) 곡선 $y = g(x)$와 $x$축으로 둘러싸인 두 영역의 넓이의 합을 구하시오. (15점)