(1) 단계별 풀이 (10점): $y - 1 = 2^{x-1} \iff x - 1 = \log_2(y - 1)$이므로 $g(x) = \log_2(x - 1) + 1$이다. 또한 $2^{x-1} + 1 = x$에 $x = 1, 2$를 대입하면 모두 성립하고 지수함수의 볼록성에 의해 교점은 $(1, 1), (2, 2)$뿐이다.
(2) 단계별 풀이 (10점): 증가함수 $f(x)$와 역함수 $g(x)$의 교점은 직선 $y = x$ 위에 있으므로 두 교점은 $(1, 1), (2, 2)$이고 거리는 $\sqrt{(2-1)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{2}$이다.
답: (1) $g(x) = \log_2(x-1)+1$, 교점 $(1, 1), (2, 2)$    (2) $\sqrt{2}$

(1) 단계별 풀이 (15점): $t = 2^x > 0$으로 놓으면 $h(t) = t^2 - 4t + k - 3 = (t - 2)^2 + k - 7$이다. $t > 0$ 범위에 꼭짓점 $t = 2$가 포함되므로 최솟값은 $h(2) = k - 7$이다.
(2) 단계별 풀이 (15점): 모든 $t > 0$에서 $h(t) \ge 0$이려면 최솟값 $k - 7 \ge 0 \implies k \ge 7$이므로 실수 $k$의 최솟값은 $7$이다.
답: (1) 최솟값 $k - 7$ ($t = 2$)    (2) $7$

(1) 단계별 풀이 (10점): $f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x + 1)(x - 2) = 0$에서 극댓값은 $M = f(-1) = -2 - 3 + 12 = 7$이고 극솟값은 $m = f(2) = 16 - 12 - 24 = -20$이다.
(2) 단계별 풀이 (10점): $-20 < k < 7$을 만족시키는 정수 $k$의 개수는 $7 - (-20) - 1 = 26$이다.
답: (1) $M = 7,\ m = -20$    (2) $26$개

(1) 단계별 풀이 (15점): 제시문 나)에 의해 구하는 극한값은 $f(2) = 16 - 12 - 24 = -20$이다.
(2) 단계별 풀이 (15점): 구간 $[-1, 2]$에서 $f'(x) = 6(x + 1)(x - 2) \le 0$이므로 $\int_{-1}^2 |f'(x)|\,dx = -\int_{-1}^2 f'(x)\,dx = -(f(2) - f(-1)) = -(-20 - 7) = 27$이다.
답: (1) $-20$    (2) $27$