【실전모의고사 7회 문제 1】 (50점)
[출제개념 : 지수·로그함수의 역함수 대칭성과 교점 기하, 이차부등식 해의 조건]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.3 탐구 11571 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]
※ 다음 제시문을 읽고 물음에 대한 풀이 과정과 답을 제시하시오. (답만 기재하면 0점 처리)
가) 지수함수 $y = a^x$ ($a > 1$)와 로그함수 $y = \log_a x$의 그래프는 직선 $y = x$에 대하여 대칭이다.
나) 치환 $t = a^x$ ($t > 0$)를 이용하면 지수방정식과 지수부등식을 $t$에 대한 이차방정식 및 이차부등식으로 변환할 수 있다.
[문제 1-1] 함수 $f(x) = 2^{x-1} + 1$과 그 역함수 $g(x) = f^{-1}(x)$에 대하여 제시문 가)를 이용하여 다음 물음에 답하시오.
(1) 역함수 $g(x)$의 식을 구하고, 곡선 $y = f(x)$와 직선 $y = x$의 두 교점의 좌표를 모두 구하시오. (10점)
(2) 두 곡선 $y = f(x), y = g(x)$의 두 교점 사이의 거리를 구하시오. (10점)
[문제 1-2] 모든 실수 $x$에 대하여 부등식 $4^x - 2^{x+2} + k - 3 \ge 0$이 항상 성립하도록 할 때, 제시문 나)를 이용하여 답하시오.
(1) $t = 2^x$ ($t > 0$)로 치환하여 $t$에 대한 이차함수의 최솟값을 $k$로 나타내시오. (15점)
(2) 주어진 부등식이 모든 실수 $x$에서 성립하도록 하는 실수 $k$의 최솟값을 구하시오. (15점)
【실전모의고사 7회 문제 2】 (50점)
[출제개념 : 삼차함수의 극값과 방정식 실근의 개수, 정적분으로 정의된 함수의 극한]
[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.6 탐구 11572 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-03-04]
※ 다음 제시문을 읽고 물음에 대한 풀이 과정과 답을 제시하시오. (답만 기재하면 0점 처리)
가) 삼차방정식 $f(x) = k$가 서로 다른 세 실근을 가질 필요충분조건은 삼차함수 $f(x)$의 극댓값 $M$과 극솟값 $m$에 대하여 $m < k < M$인 것이다.
나) 연속함수 $f(t)$의 한 부정적분을 $F(t)$라 하면 $\lim_{x \to a} \dfrac{1}{x - a}\int_a^x f(t)\,dt = F'(a) = f(a)$이다.
[문제 2-1] 삼차함수 $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x$에 대하여 제시문 가)를 이용하여 다음 물음에 답하시오.
(1) 함수 $f(x)$의 극댓값 $M$과 극솟값 $m$을 각각 구하시오. (10점)
(2) 방정식 $f(x) = k$가 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 정수 $k$의 개수를 구하시오. (10점)
[문제 2-2] 위에서 주어진 함수 $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x$에 대하여 제시문 나)를 이용하여 다음 물음에 답하시오.
(1) 극한 $\lim_{x \to 2} \dfrac{1}{x - 2}\int_2^x f(t)\,dt$의 값을 구하시오. (15점)
(2) 정적분 $\int_{-1}^2 |f'(x)|\,dx$의 값을 구하시오. (15점)